9. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ

Так как сумма двух бикватернионов Ч и является бикватернионом то и можно привести к каноническому виду

пусть при этом

здесь — лоренцевы вращения, — плотности вероятности, а — соответствующие углы. Мы рассмотрим только суперпозиции волн с положительной непотенциальной энергией, так что можно считать и наложим такое условие и на результирующую волну.

Произведение также определяет лоренцево вращение, поэтому можно представить его в виде где действительные числа, бивектор, имеющий квадратом 1.

При наложенных условиях соотношение эквивалентно системе уравнений

Вообще говоря, не обязаны равняться нулю, и последнее уравнение не удовлетворяется, так что наложенных ограничений недостаточно. Потребуем, чтобы волны имели одинаковые энергии; тогда, выбрав в качестве системы отсчета собственную систему для получаем условие

где векторы суть -скорости для частиц 4% и в одной и той же пространственно-временной точке. Значит, могут отличаться друг от друга только вращением пространства. Вычисления показывают, что в таком случае и (67) сводится к единственному условию

а это не что иное, как формула дифракции.

Пусть, например, взяты плоские монохроматические волны:

где обозначает разность фаз. Все наложенные условия оказываются выполненными, и (68) превращается в формулу, описывающую дифракцию электронов в релятивистской теории Дирака.