Глава IV. АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

Эта действительная алгебра конструируется с помощью четырехмерного векторного пространства, обладающего базисом , в котором временной вектор имеет квадрат, равный 1, а три пространственных вектора имеют квадрат, равный —1. Векторы эти ортогональны друг другу, т. е. удовлетворяют условию

Прежде всего покажем, что такие четверки векторов существуют, воспользовавшись для этого реализацией векторного пространства как пространства матриц. Рассматривая матричное представление

где — единичная -матрица, а — матрицы Паули, введенные в предыдущей главе, легко проверить, что упомянутые выше условия для выполняются. Произведения линейных комбинаций таких матриц у обладают всеми свойствами клиффордовой структуры, перечисленными в первой главе. Что касается размерности соответствующего векторного пространства то можно отметить, что

То,

образуют базис пространства размерности 16 над полем действительных чисел . Поскольку при вычислении всевозможных произведений в этой алгебре можно систематически пользоваться

соотношениями ортогональности для у, нетрудно показать, что в разложении нулевого элемента 4 по выписанной системе мультивекторов могут встретиться лишь нулевые коэффициенты. Например, для отыскания коэффициента при достаточно умножить обе части разложения на затем, умножая на проверим, что коэффициент при тоже равен нулю, и т. д.

Убедившись, что

мы в дальнейшем заменим на i, а единицу на 1; такая запись не должна вызвать недоразумений, поскольку 4 является алгеброй над полем действительных чисел, но все-таки важно отметить, что, вычисляя с помощью представления (22), мы не получим в результате Следовательно, в данном случае замена на i является всего лишь удобным обозначением.

Итак, элемент А, принадлежащий пространству можно представить в виде

т. е. А является суммой

скаляра

вектора

бивектора

тривектора

псевдоскаляра

здесь все коэффициенты X — действительные числа. Далее будем называть -числом.

Следует еще упомянуть квадратичную форму, ассоциированную с этой алгеброй. Если

то Положив где t обозначает время, а с — скорость света, и считая координатами в пространстве, получим квадратичную форму специальной

теории относительности:

Теперь введем три важные операции:

1°. Изменение знака, т. е. направления каждого вектора, преобразующее А в

Если то А — четное -число, а если , то нечетное.

2°. Изменение порядка сомножителей на обратный во всех произведениях, которое переводит А в

так, например,

3°. Умножение слева на в результате чего А преобразуется в дуальное -число Вообще говоря, так как i антикоммутирует со всеми векторами. Например,

Следовательно, если то i коммутирует с А, но если , то i антикоммутирует с А.

Скаляры и псевдоскаляры, векторы и тривекторы дуальны друг другу, а бивекторы дуальны самим себе.