Глава VIII. ТЕОРИЯ ДИРАКА

1. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Это уравнение

Здесь — векторы некоторого неподвижного базиса А обозначает потенциал, являющийся вектором в пространстве-времени, а параметры просто выражаются через собственную массу и заряд электрона. Искомая функция бикватернион — волновая функция частицы.

Необходимо показать, что это векторное уравнение эквивалентно уравнению Дирака в обычной матричной форме.

С этой целью сначала заменим векторы соответствующими матрицами, которые были определены в гл. IV соотношениями (22). Заметим, что если и — столбец, определенный формулой (23) той же главы, то эти матрицы удовлетворяют соотношениям

где, как всегда, Г — обычная мнимая единица. В подробной записи эти соотношения выглядят так:

Затем умножим обе части (43) на и и положим

где — линейное биективное отображение, определенное в гл. IV.

С учетом соотношений (44) уравнение (43) превратится в уравнение

Пусть — заряд электрона, а — его собственная масса, h — постоянная Планка и с — скорость света; положим

Перепишем (46) в виде

Наконец, поскольку (т. е. ), исходное уравнение (43) преобразуется к виду

(здесь индексы суммирования принимают значения .

Умножая полученное уравнение слева на приводим его к обычной форме уравнения Дирака

ибо так что фигурирующие в (47) матрицы удовлетворяют условиям Дирака.

Из этого рассмотрения вытекает, что каждому бикватерниону являющемуся решением (43), сопоставляется при отображении ЗГ такой столбец Ф из комплексных чисел, т. е. такой спинор Дирака, который является решением матричного уравнения (47); при этом в (43) и (47) используется одна и та же базисная система у-матриц. Таким образом, каждому «векторному» решению (43) соответствует «матричное» решение (47).

Теперь для доказательства эквивалентности уравнений (43) и (47) следует показать, что каждому решению (47) можно сопоставить решение (43). Пусть Ф — решение (47), записанное относительно некоторого базиса При отображении столбцу

Ф соответствует бикватернион F. Обозначив векторы символами так, чтобы

положим

Затем, как уже делалось выше, перейдем к матричному представлению (22) для векторов и образуем столбец . Обозначая в соответствии с получаем

Но в правой части этого равенства стоит нуль, так как Ф является решением (47), и, следовательно,

Однако С — нечетное -число, поэтому

В результате оказывается, что служит решением уравнения (43), записанного в том же базисе 38, что и матричное уравнение (47). Значит, эквивалентность уравнений установлена, и потому все результаты теории Дирака можно получить с помощью аппарата векторной алгебры.

В заключение еще раз подчеркнем, что в дальнейшем i всюду обозначает единичный псевдоскаляр, т. е. матрицу так что его не следует путать с обычной мнимой единицей, обозначаемой Г.