3. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ

Интересно получить решения в отсутствие внешнего поля, когда уравнение имеет вид

Решенля эти записываются в форме

где не зависят от причем и задает вращение пространства-времени, а постоянный вектор находится из соотношения

Для проверки достаточно вычислить

в последнем равенстве учтено, что и — постоянное -число. Однако

а . Отсюда

поскольку результате

Теперь достаточно заметить, что являются скалярами, коммутирующими с и, так что можно записать

Следовательно, удовлетворяет (50) тогда и только тогда, когда

Но, учитывая, что коммутирует с после умножения последнего равенства справа на получаем

Поскольку отсюда вытекает, что

т. е. получено условие (52).

Проверка завершена, однако указанными решениями (51) не исчерпываются все решения уравнения (50), которые представляют собой плоские волны. Действуя так же, как выше, можно убедиться, что функции

тоже являются решениями (50). Такие плоские волны получаются из функций (51) в результате изменения знака вектора , следовательно, они являются решениями прежнего вида, но отвечающими уравнению, в котором отрицателен параметр и, стало быть, собственная масса По этой причине говорят, что решения (53) соответствуют состояниям частицы с «отрицательной энергией». Вместе с волнами, имеющими положительную

энергию, они образуют полную систему, т. е. произвольное решение уравнения Дирака можно с помощью процедуры разложения представить как суперпозицию плоских волн с положительными и отрицательными энергиями.

Если теперь сравнить выражения (51) и (53) с канонической формой (28), то можно заметить, что в в то время как в Это наводит на мысль о связи величины со знаком энергии, однако к интерпретации мы еще вернемся в общем случае, т. е. при наличии внешнего поля.