Глава I. АЛГЕБРА КЛИФФОРДА

Мы будем строить алгебру Клиффорда над полем действительных чисел на основе -мерного действительного векторного пространства

Векторы из будем обозначать строчными буквами а, b, а любые произведения векторов, независимо от числа сомножителей, — заглавными буквами Предполагается, что

1°. А, В, С,... сами являются элементами действительного векторного пространства так что

и если 0 — нулевой вектор этого пространства, то

Далее, для действительных чисел X и

и, кроме того, умножение на число 1 не меняет элементы

Из этих свойств следует, что если то либо либо А = 0.

2°. В определено ассоциативное умножение, связанное со сложением условиями дистрибутивности (введена структура кольца), т. е. произведение АВ также является элементом и

3°. Действительные числа, или скаляры, А, являются элементами и коммутируют со всеми элементами, т. е.

4°. Для любого а из квадрат является скаляром.

Элементы пространства называют тогда с-числами или числами Клиффорда.

В случае евклидовых пространств размерности а также пространства-времени специальной теории относительности можно определить произведение двух векторов как произведение двух матриц, сопоставленных векторам; при этом все предыдущие аксиомы очевидным образом выполняются. В общем случае произведения векторов, являющиеся элементами и, будут определены как функции по отношению к некоторому базису этого пространства. Тем самым они будут определены сразу во все базисах, и необходимости обращаться к матричному представлению векторов не возникнет.