12. ВНУТРЕННИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МУЛЬТИВЕКТОРОВ

1°. Рассмотрим выражение (8) и приравняем друг другу -векторы, фигурирующие в обеих частях равенства. Мы немедленно получаем соотношение, показывающее, что (8)

справедливо и для мультивекторов:

2°. В таком случае внутреннее произведение двух мультивекторов можно определить рекуррентной формулой. Если , полагаем

Таким образом, это внутреннее произведение оказывается (q — -вектором, и оно дистрибутивно по отношению ко вторым сомножителям Сохраним свойство дистрибутивности и относительно полагая по определению

Наконец, при зададим формулой

    (12)

Данное определение кажется довольно произвольным, но в его пользу говорит следующее замечание. При можно определить посредством рекуррентного соотношения

которое выглядит как естественное обобщение (11). Тогда нетрудно увидеть, что (12) является следствием последней формулы и свойства:

Для того чтобы оправдать данные определения, необходимо все-таки доказать, что при всех

Это нетрудно сделать, принимая во внимание свойство дистрибутивности, потому что достаточно проверить равенство

Однако равняется нулю, если содержат неодинаковые поэтому остается рассмотреть только случай, когда при соответствующем целом . Но тогда и тем самым коммутативность произведения доказана.