5. КВАТЕРНИОНЫ

Будем называть кватернионами те для которых . В таком случае, обозначая скаляр можно представить А в виде

где а — вектор, квадрат которого равен действительное число.

Мы намереваемся изучить математические структуры, которые связаны с множеством кватернионов.

Прежде всего отметим, что это множество обладает структурой четырехмерного действительного векторного пространства и является подпространством 3. Принадлежащие ему элементы образуют линейно независимую систему, по которой разлагается любой кватернион. Действительно, равенство

с одной стороны, требует, чтобы а с другой стороны, должно быть т. е. в результате

Это векторное подпространство будем обозначать Пространство кватернионов можно нормировать, полагая, на

пример,

Напомним, что введение нормы в векторном пространстве Е над полем К (в данном случае это будет поле действительных чисел R) означает задание на Е функции, сопоставляющей каждому элементу неотрицательное число таким образом, что

1° равносильно условию

Говорят, что Е, снабженное нормой, является нормированным векторным пространством, или, короче, нормированным пространством; размерность Е может быть при этом конечной или бесконечной.

Легко проверить, что является нормой но это не единственная норма, возможная в пространстве В самом деле, нетрудно убедиться, что можно ввести и другую норму для А, полагая

здесь, как и в других местах книги, обозначает абсолютную величину действительного числа X. Однако эти две нормы эквивалентны, иначе говоря, они определяют одну и ту же топологию в Уточним оба эти момента.

Две нормы называются эквивалентными, если существуют два таких положительных числа а и b, что

Непосредственно усматривается, что всякая норма эквивалентна самой себе Если v эквивалентна v, то и v эквивалентна v, потому что

Кроме того, из эквивалентности норм и норм вытекает эквивалентность v и Действительно, тогда существуют такие положительные числа что

и, следовательно,

в то время как

Таким образом, это понятие действительно определяет отношение эквивалентности на множестве норм.

Остается рассмотреть вопрос о топологиях, индуцированных нормами. Вот точная формулировка важного результата, который может быть при этом получен:

Всякая последовательность Коши, которая сходится по норме v, сходится также и по эквивалентной норме V.

Принимая во внимание, что пространство действительных чисел полно, так как в нем сходится всякая последовательность Коши, заключаем, что также является полным нормированным векторным пространством, т. е. пространством Банаха.

Одну из эквивалентных норм в пространстве можно связать со скалярным произведением в этом пространстве. В самом деле, отметим, что

так как и, следовательно,

Определим скалярное произведение двух кватернионов, обозначаемых теперь буквами q и

Векторное пространство является евклидовым, поскольку введенное скалярное произведение обладает всеми свойствами евклидова скалярного произведения и норма евклидова.

Наконец, обсудим еще одно важное обстоятельство: кватернионы, открытые Гамильтоном, дают нам пример некоммутативного тела. Для доказательства этого утверждения необходимо лишь показать, что операция умножения превращает в некоммутативную группу, так как структура аддитивной группы заложена в структуре векторного пространства, а

свойства дистрибутивности, как уже отмечалось, вытекают из структуры алгебры Клиффорда, являющейся ассоциативным кольцом с единицей.

Если q — ненулевой кватернион то для него существует обратный элемент

потому что

Однако тело некоммутативно, так как для двух кватернионов, записанных в виде

где s, a, s, a — действительные числа и a, d — векторы единичной длины, произведение

в общем случае отличается от ибо из равенства вытекает условие равносильное требованию т. е. требованию коллинеарности векторов .

Вскоре мы увидим, что кватернионы очень просто связаны с вращениями вокруг начала координат в трехмерном евклидовом пространстве: они явно задают ось вращения и угол поворота, причем направление оси совпадает с направлением вектора а. Произведению двух вращений соответствует кватернион, полученный перемножением двух соответствующих кватернионов, так что два вращения коммутируют только в том случае, когда коммутируют соответствующие кватернионы, и, согласно предыдущим рассуждениям, это означает, что совпадают оси таких вращений. Для того чтобы установить эти результаты, мы будем действовать с экспонентами вида которые можно ввести в виде ряда

Отсюда

так что

и мы будем называть такие экспоненты унитарными кватернионами. Мы покажем, что между этими унитарными кватернионами и пространственными вращениями существует столь же тесная связь, как между комплексными числами с модулем 1 и вращениями плоскости.