2. КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ
Прежде всего докажем такую теорему:
Существует такой бивектор В, что либо 
, либо 
, причем в последнем случае 
Поскольку 
-число R четно, оно представляет собой сумму скаляра S, бивектора W и псевдоскаляра Р:
Если 
то на основании теоремы из гл. IV существуют такие скаляры 
что
— действительное число.
Условие 
поэтому означает, что
т. е.
Вводя 
соотношением 
получаем равносильную систему 
Возьмем 
Тогда система сведется к единственному условию
которое можно переписать в виде
Предположим теперь, что 
Это не ограничивает общности рассмотрения, так как в левой части (37) фигурируют и 
. Попытаемся удовлетворить (37), выбрав
(38)
где 
действительное число,
где 
— действительное число.
Уравнения
определяют величины 
находим из уравнений
Следовательно,
и так как и 
будучи коллинеарны w, коммутируют, то
т. е.
причем 
— положительное число.
Значит, возможно представление
где 
— действительные числа, 
бивектор, квадрат которого равен 1. В результате для R получаем каноническое разложение
и здесь 
Остается рассмотреть случай 
Тогда из условия 
вытекает, что
Значит, с необходимостью 
а следовательно, 
Если 
то 
. И поскольку 
Тогда 
, где 
Если же 
то
