Глава VII. СПИНОРЫ

Алгебра Клиффорда построенная на основе пространства обладает структурой кольца. Действительно, будучи векторным пространством, является абелевой аддитивной группой, а закон умножения элементов, вообще говоря, некоммутативен, но дистрибутивен по отношению к сложению. В таких кольцах существуют идеалы. Умножая специально выделенный элемент слева на произвольные элементы кольца, получим тот идеал, элементы которого называют спинорами. Если во всех этих произведениях изменить порядок множителей, т. е. умножать на произвольные элементы справа, то получается другой идеал Такой правый идеал называют сопряженным исходному левому идеалу, а его элементы именуют сопряженными спинорами.

1. СПИНОРЫ ПАУЛИ

Пусть — элемент — выбранный в этой алгебре базисный вектор единичной длины. Говорят, что является положительным спинором, если и отрицательным спинором, если

Произвольно заданному -числу из всегда можно сопоставить левый идеал положительных спиноров, выбрав в качестве фиксированного элемента, по которому строится идеал,

Ведь тогда

и равенство сохранится при умножении обеих частей слева на любые

Можно также построить левый идеал отрицательных спиноров, умножая слева элементы на

потому что

Ясно, что есть сумма положительного и отрицательного спиноров, так как

Идеалы положительных и отрицательных спиноров независимы. Для доказательства достаточно проверить, что из

следует, что . Действительно, умножим предыдущее равенство справа на . Получается соотношение

и простая комбинация двух равенств дает

т. е. поскольку и

Определим базисы линейных подпространств спиноров Для этого элементы разложим следующим образом:

(индекс суммирования к пробегает значения 1, 2, 3), где являются суммами скаляров и псевдоскаляров.

Тогда

т. е. числа Паули образуют базис для Аналогично получаем, что базис для образуют