6. ВРАЩЕНИЯ
Пусть векторы
связаны соотношением
Полагая
разложим
так, что
и аналогичным образом разложим
представив его в виде
Поскольку и коммутирует с а и i, имеем тогда
а так как v антикоммутирует с а, то
Рис. 1.
откуда, как в предыдущем разделе, находим
Полученная связь между векторами v и v выражает тот факт, что v получается поворотом v на угол
вокруг вектора а (рис. 1). Принимая во внимание, что
этот результат можно переписать так:
Тем самым мы располагаем удобным способом вычисления компонент вектора
полученного из вектора
при вращении
и можем выписать также общий вид матрицы вращения.
В самом деле, пусть (X, Y, Z) — это компоненты вектора
— компоненты
относительно ортонормированного базиса трехмерного евклидова пространства, и пусть
— компоненты единичного вектора, задающего ось вращения, так что
Равенство (19) позволяет записать уравнения преобразования:
Выписать общий вид матрицы вращения теперь не представляет никакого труда.