6. ВРАЩЕНИЯ
Пусть векторы 
связаны соотношением
Полагая 
разложим 
так, что
и аналогичным образом разложим 
представив его в виде
Поскольку и коммутирует с а и i, имеем тогда
а так как v антикоммутирует с а, то
Рис. 1.
откуда, как в предыдущем разделе, находим
Полученная связь между векторами v и v выражает тот факт, что v получается поворотом v на угол 
вокруг вектора а (рис. 1). Принимая во внимание, что 
этот результат можно переписать так:
Тем самым мы располагаем удобным способом вычисления компонент вектора 
полученного из вектора 
при вращении 
и можем выписать также общий вид матрицы вращения.
В самом деле, пусть (X, Y, Z) — это компоненты вектора 
— компоненты 
относительно ортонормированного базиса трехмерного евклидова пространства, и пусть 
— компоненты единичного вектора, задающего ось вращения, так что 
Равенство (19) позволяет записать уравнения преобразования:
Выписать общий вид матрицы вращения теперь не представляет никакого труда.
