4. БИКВАТЕРНИОНЫ

Предыдущие рассуждения показывают, что каждое четное число Дирака А при можно привести к каноническому виду

и в этом выражении R — четное -число, удовлетворяющее условиям (27), а именно

Далее мы проверим, что такие числа R являются экспонентами от бивекторов и представляют вращения в действительном пространстве-времени теории относительности, подобно тому как экспоненты от пространственных бивекторов, являющиеся унитарными кватернионами, представляют пространственные вращения. Записав теперь волновую функцию в каноническом виде (28), мы можем в общих чертах объяснить ее физический смысл и тем самым отчасти оправдать предыдущее построение.

1°. В каждой точке пространства-времени неотрицательная величина задает плотность вероятности присутствия

частицы, и эта вероятность должна быть нормирована во всем пространстве формулой

(здесь — элемент объема трехмерного пространства, а интеграл берется по всему пространству Q). Эта формула означает, что присутствие частицы где-либо в пространстве — достоверное событие.

2°. В каждой точке если известно -число можно с помощью вращения фиксированной системы отсчета в пространстве векторов у перейти к новой системе, которая называется собственной системой отсчета для частицы. Базисные векторы собственной системы связаны с плотностями характеристик поля (ток, спин, электромагнитные моменты), и требуется, чтобы градиенты этих величин можно было находить как функции характеристических параметров частицы (масса, заряд) и внешнего электромагнитного поля, в которое помещена частица. Мы увидим, что в теории Дирака эти градиенты позволяют описать эволюцию частицы.

3°. Остается интерпретировать угол в любой пространственно-временной точке Это довольно тонкая задача, поскольку значение оказывается связанным с различными состояниями частицы, имеющими отрицательную энергию.

Итак, приведение волновой функции к каноническому виду (28) играет важнейшую роль. Эта функция составляется из элементов, которые имеют прямой и точный смысл, физический или геометрический, поэтому в результате сама волновая функция утрачивает тот несколько мистический характер, который она носит при стандартном подходе. Применяемый математический аппарат оказывается более адекватным реальной действительности.

Важное значение четных -чисел до недавнего времени не было выявлено, вот почему для них не существует общепринятого специального наименования. Их нельзя назвать спинорами, потому что они не подходят под определение спиноров, которое будет приведено в дальнейшем. На самом деле такое число является суммой положительного и отрицательного спиноров. Естественно было бы назвать их октанионами, чтобы напомнить о восьми компонентах, а еще лучше бикватернионами в соответствии с их структурными свойствами, детальным анализом которых мы теперь займемся.

Прежде всего отметим, что название «бикватернион» оправдывается следующим разложением (с учетом ):

здесь а и b — действительные числа, и тем самым

где — два кватерниона.

Такое разложение всегда возможно, и оно единственно. Отсюда немедленно выводим, что

1°. Множество таких А имеет структуру восьмимерного векторного пространства над полем действительных чисел.

2°. Это множество обладает структурой кольца, так как произведение двух кватернионов является кватернионом, и, следовательно, записав

можно произведение представить в виде

Тем самым показано, что определена операция внутреннего умножения элементов.

Перейдем теперь к доказательству того, что бикватернионы не образуют тело. Для этого проверим, можно ли найти бикватернион который был бы правым обратным для бикватерниона Значит, нам надо исследовать равенство

для справедливости которого требуется, в силу единственности разложения А на два кватерниона, выполнение двух равенств:

Но кватернионы образуют тело, поэтому из второго уравнения выводим в случае ненулевого q, что

и, подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем

Так как кватернион, такой Q существует и притом единствен тогда и только тогда, когда

    (28)

В таком случае Q также существует, и поэтому существует единственный правый обратный бикватернион Наконец, если то из условия вытекает, что а условие — при определяет и тем самым определен обратный элемент

В итоге получаем: если то правый обратный элемент существует в том и только том случае, когда выполняется условие (28).

Таким образом, для описания множества тех бикватернионов, для которых не существует правых обратных, нам остается изучить ограничение, налагаемое этим условием (28).

Введем

тогда невыполнение (28) означает, что Но ведь, будучи кватернионом, представим в виде где а и — действительные числа. Значит, равенство можно переписать в виде

а это равносильно требованию

потому что при действительном а альтернатива исключается.

Следовательно, и, стало быть, общий вид бикватерниона, не имеющего правого обратного, таков:

Отметим еще, что удовлетворяет условию и, как будет показано ниже, множество таких бикватернионов изоморфно множеству спиноров.

Можно проверить, что у этих бикватернионов не существует и левых обратных, а значит, множество всех бикватернионов не образует тела.

Векторное пространство бикватернионов можно нормировать,

вводя для норму либо формулой

либо формулой

где S обозначает скалярную часть бикватерниона, заключенного в скобки. Обе формулы определяют одну и ту же величину потому что

и, значит, скалярная часть этого произведения совпадает с первым выражением для Отметим еще, что

Таким образом, из вытекает, что следовательно, т. е. выполняется первое свойство, фигурирующее в определении нормы.

Второе и третье характеристические свойства нормы проверяются без труда. Можно доказать, что действительное векторное пространство бикватернионов является пространством Банаха, так как оно нормировано и имеет конечную размерность (и, стало быть, все нормы эквивалентны), а потому это пространство окажется и полным.

Поскольку введенная норма евклидова, парам бикватернионов можно сопоставить скалярное произведение, удовлетворяющее неравенству Шварца. По определению

иначе говоря,

Все свойства скалярного произведения (симметричность, билинейность, положительная определенность соответствующей квадратичной формы) легко проверяются.