Глава IX. АТОМ ВОДОРОДА

Будем называть скалярным потенциалом произведение где U — потенциал поля электрического заряда, помещенного в начале неподвижной системы координат, оси которой направлены вдоль векторов Решения уравнения (43) для движения в таком внешнем поле будем искать в виде

считая L бикватернионом, зависящим только от пространственных координат. Тогда в соответствии с уравнением (63) Е оказывается собственным значением энергии в стационарном состоянии.

Уравнение Дирака (43) записывается в виде

Преобразуем его, умножив слева на и справа на

Разложив L в сумму кватернионов

после ряда простых преобразований сведем уравнение (69) к эквивалентной системе из двух уравнений:

1. ПЛОСКИЕ РЕШЕНИЯ

Уровни энергии. Существуют плоские решения (70), т. е. не зависящие от одной из пространственных координат; их легко получить как в формализме векторной алгебры Х), так и с

помощью алгебры матриц. Отыскивая такие решения, мы вновь находим известные точные значения уровней энергии. Достаточно рассмотреть функции М и N вида

где является расстоянием от переменной точки, лежащей в плоскости до начала координат, — единичный вектор в направлении радиус-вектора точки, равняется это так называемое внутреннее квантовое число, принимающее только полуцелые положительные значения: Оператор градиента запишем в полярных координатах

где

Подставив указанные выражения в (70), легко получить хорошо известную систему дифференциальных уравнений Дирака:

Для отыскания ее решений воспользуемся стандартным методом. Так как мы ищем положительные значения Е, которые меньше, чем , то окажутся положительными числа

возьмем Неизвестные функции F и G представим в виде

Подчеркнем, что в этих выражениях у обозначает некоторое действительное число, а не вектор, индекс принимает целочисленные значения от 1 до и все числа действительные.

Кроме вытекающего из такого представления условия обращения

М и N в нуль на бесконечности наложим еще условие обращения в нуль в начале координат

Далее запишем

где Z - атомный номер, постоянная тонкой структуры, значение которой близко к

Под ставив выражения (72) в (71), найдем, что

и, кроме того, получим рекуррентные соотношения, позволяющие путем итераций определить а и b с точностью до множителя, который будет найден впоследствии из условия нормировки. Таким образом удается получить выражение для уровней энергии, учитывающее тонкую структуру подуровней, отвечающих одному и тому же значению главного квантового числа 1

Для практических расчетов часто достаточно ограничиться в этом выражении двумя первыми членами разложения по степеням малого параметра а. В таком приближении для основного состояния значение энергии равняется

где R — постоянная Ридберга для неподвижного ядра. Мы предполагали, что центральный заряд неподвижен, тогда как на самом деле неподвижен центр тяжести системы ядро — отрицательный электрон, т. е. ядро вовлекается в движение; для учета этого эффекта при приближенных вычислениях надо в выражении для Е правую часть умножить на где Р — атомный вес.

Приняв фундаментальную постоянную для атома водорода равной 13,5378, получаем для раз ионизованных атомов с значения уровней энергии, которые хорошо воспроизводят величины из «Таблицы констант» Бауэра и

Сюрдена, так что абсолютная погрешность не превосходит 0,02 эВ. Однако если взять для величину 13,605 эВ, то при отклонение составит 6,75 эВ, так что, если считать формулы теории Дирака точными, приходится сделать вывод: либо экспериментальные величины из упомянутой Таблицы несколько занижены, особенно при больших значениях Z, либо чересчур велико это второе значение фундаментальной постоянной для атома водорода.