3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Пусть — канонический базис — набор из к векторов пространства Построим произведение

принимая во внимание предыдущие аксиомы, выражающие структуру алгебры Клиффорда, и свойства канонического базиса: (или — 1) и Получим в результате сумму вида

где через обозначено произведение в котором все различны. Через всегда обозначается просто набор векторов

Множество всевозможных произведений имеет структуру векторного пространства которое удобно определенным образом разложить на векторные подпространства. В зависимости от четности числа сомножителей может иметь компоненты, принадлежащие следующим подпространствам:

(к четно) векторное пространство размерности 1; его элементы, обозначаемые здесь или скаляры, или -векторы;

(к нечетно) векторное пространство размерности , совпадающее с его элементы — векторы или

(к четно) векторное пространство бивекторов или

( и к одинаковой четности и пространство -векторов

Наконец, выделим одномерное векторное подпространство псевдоскаляров где

Все коэффициенты действительные. Можно проверить, что или —1. Так как у нас в приложениях будет встречаться только случай мы условимся обозначать а обычную мнимую единицу во избежание путаницы будем обозначать Г.

Далее будет показано, что образуют базис назовем его базисом, индуцированным каноническим базисом, введенным в Отсюда следует, что размерность векторного подпространства -векторов равняется , и, значит, размерность самого пространства равна

Замечание. Итак, произведение оказывается определенным в некотором базисе и построение этого базиса и соответствующих компонент А начинается с выбора канонического базиса в Следовательно, произведение корректно определено как элемент пространства его можно разложить по любому базису и А остается инвариантным при заменах базиса Ею индуцирующих изменения базиса в векторном пространстве