2. ПОЛЕВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Потенциалы электромагнитного поля определены с точностью до калибровки, поэтому уравнение (43) должно обладать калибровочной инвариантностью. Подвергая А калибровочному преобразованию: можно убедиться, что (43) не изменится, если вместо взять

В самом деле, тогда

и для проверки утверждения достаточно подставить в (43) А и Ч вместо А и

Полевые величины являются числами Дирака; поэтому их можно представить в виде

и, предполагая известными, можно находить d с помощью этого соотношения. Учитывая, что величины должны быть инвариантными при калибровочных преобразованиях, мы приходим к требованию

Это условие эквивалентно коммутативности d и Кроме того, будучи действительными, полевые величины не должны отличаться от дуальных им величин. Таким образом, среди чисел d могут остаться только следующие базисные векторы

Мы сохранили взаимно дуальные d-числа 1 и , потому что физическую интерпретацию получат только скалярные части соответствующих им

Указанные -числа определяют следующие физические величины:

скаляр и скаляр

вектор тока

бивектор

спин

Займемся теперь интерпретацией канонической формы (28) бикватерниона:

Так как R задает лоренцево вращение, то в каждой точке пространства-времени с его помощью определяется собственный базис ем, связанный с базисом ум выбранной вначале неподвижной системы отсчета преобразованием

Этот базис и соответствующая ему система отсчета называются

собственными из-за того, что в этой системе равна нулю трехмерная пространственная скорость частицы. В самом деле, вектор интерпретируется как четырехмерная скорость. Но его квадрат равен 1:

и, следовательно, пространственная составляющая должна обращаться в нуль.

Что касается величины , то ею определяется плотность вероятности присутствия электрона в точке в то время как угловая переменная (3 оказывается равной углу Такабаяси смысл (3 будет разъяснен в дальнейшем.

Принимая во внимание (48), можно выражения для полевых величин записать в виде

Тем самым мы ввели два трехмерных пространственных вектора и h, описывающие плотности электрического и магнитного моментов, а именно

Плотность спина а является пространственным вектором:

Нетрудно убедиться в выполнении соотношений Паули — Кофинка, так что по аналогии с обычной теорией Дирака можно получить следующую физическую интерпретацию рассматриваемых полевых величин:

1°. есть вектор потока плотности вероятности; F через посредство векторов и h связывается с плотностью моментов электрического и магнитного поля электрона, причем последнюю необходимо умножить на магнетон Бора:

После умножения на представляет собой плотность

спина, так что в единицах электрон обладает спином половина.

2°. Эти плотности должны быть проинтегрированы по областям пространства для получения средних значений физических величин. Именно эти средние имеют прямой физический смысл. Однако не они, а соответствующие плотности обладают простыми трансформационными свойствами релятивистских величин. В частности, волновая функция должна быть нормирована путем интегрирования плотности в неподвижной системе отсчета. В сочетании с условием которое далее будет выведено, это гарантирует сохранение нормировки в процессе эволюции изучаемой физической системы.

3°. С собственной системой отсчета можно связать четверку векторов:

но лишь два из них, определяются независимо от выбора калибровки. Роторы и дивергенции этих векторов имеют прямое отношение к задачам теории электрона.