3. ВЕКТОРЫ И БИВЕКТОРЫ

Пусть , где как всегда, есть индекс суммирования, принимающий значения 0, 1, 2, 3. Рассмотрим произведение

Условимся векторы пространства Паули обозначать жирным шрифтом:

для того чтобы отличать их от векторов пространства-времени, которые всегда обозначаются курсивом. Таким образом,

Разложим бивектор по базису подпространства бивекторов

Если для линейных комбинаций векторов с этими действительными коэффициентами ввести обозначения

то в силу соотношений

можно всякий бивектор В записывать как сумму

где — векторы пространства.

Теперь докажем такое утверждение:

Произведение четного -числа А на число А с тильдой представляет собой сумму скаляра и псевдоскаляра.

В самом деле, поскольку А четно, так что

Но ведь

являются суммами скаляра и псевдоскаляра; тем самым нужное свойство АА доказано.

Следовательно, при это произведение представимо в виде

если ввести действительные параметры и Р соотношениями

из которых однозначно определяется а Р находится с точностью до слагаемого, кратного

Обозначив убеждаемся, что R удовлетворяет двум условиям:

как будет показано далее, эти условия характеризуют лоренцевы вращения.

Приведем еще одно следствие (26). Рассмотрим квадрат бивектора

Если а то — действительное число, и тогда бивектор В называют простым. В таком случае

1°. Если бивектор В называется временным.

2°. Если называется изотропным.

3°. Если называется пространственным.

Если же а то бивектор называется составным. Справедливо такое утверждение:

Каждый составной бивектор В равен сумме где — скаляры, один из бивекторов пространственный, а другой временной.

Положим

где действительное число. Тогда

Выберем таким образом, чтобы оказался скаляром, т. е. так, чтобы обратилось в нуль выражение

Такой выбор всегда возможен, так как по предположению В — составной бивектор. Проделав это, запишем

Мы получим нужную линейную комбинацию бивекторов, положив