Глава III. АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА

В этой главе речь пойдет о трехмерном пространстве евклидовой геометрии. Рассмотрим матрицы Паули

где — обычная мнимая единица. Эти матрицы удовлетворяют соотношениям

где j, при — единичная -матрица.

Все эти матрицы принадлежат векторному пространству комплексных -матриц, и нетрудно проверить, что базис этого пространства образуют матрицы

Обозначим стхстгз тогда легко видеть, что так что . В дальнейшем мы будем вместо матрицы писать i, а вместо писать 1, не опасаясь спутать в равенстве матрицу I с обычной мнимой единицей. Подчеркнем, что впредь будут играть роль векторов обычного евклидова пространства образующих ортонормированный базис, и при таком соответствии элемент из

можно отождествить с вектором из имеющим координаты относительно ортонормированного базиса.

Что касается произведений векторов из то все они принадлежат пространству 3, каждый элемент которого представим в виде суммы следующих слагаемых:

1° скаляра

2° вектора

3° бивектора

4° псевдоскаляра

Таким образом, если то

Рассмотрим теперь три операции над элементами этой алгебры Клиффорда (две из них упоминались в гл. II).

1°. Изменение направления всех векторов на противоположное, в результате чего А преобразуется в

Элемент А называется четным, если , и нечетным, если .

2°. Обращение порядка сомножителей в каждом произведении, которое превращает А в элемент А (читается: А с тильдой):

потому что

3°. Умножение на i, которое преобразует А в дуальное число Клиффорда . В нашем случае i коммутирует со всеми векторами, например

Таким образом, дуальной скаляру величиной оказывается псевдоскаляр и наоборот, в то время как вектор дуален псевдовектору, а псевдовектор — вектору, поскольку на основании соотношений

имеем