Глава II. ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
1. ВНУТРЕННЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Пусть на
задана квадратичная форма, которая определяет действительный квадрат
каждого вектора а, необязательно положительный. На основании тождества
выводим для любых векторов а и b:
Из теории квадратичных форм известно, что справа в этом равенстве стоит симметричная билинейная форма, ассоциированная с квадратичной формой
Полагаем
Будем называть
внутренним произведением векторов а и b. Немедленно замечаем, что
Если квадратичная форма положительно определена, т. е.
— положительное число для каждого ненулевого вектора а, внутреннее произведение называется скалярным произведением. Отметим еще, что в этом случае всякий ненулевой вектор а имеет обратный
определяемый соотношением