8. СИММЕТРИИ

Пусть и — единичный вектор нормали к плоскости Р, которая проходит через начало координат О. обозначим

Рис. 2.

Для точек жирным шрифтом векторы

а ОМ и ОМ будут обозначать длины

Предположим теперь, что связаны условием

Разложив правую часть:

находим, что

или

Последнее соотношение показывает, что вектор перпендикулярен Р. Докажем, что точка М симметрична точке М относительно плоскости Р; для этого достаточно проверить, что точка Н — середина отрезка ММ — принадлежит Р.

Но ведь поэтому скалярное произведение

,

очевидно, равняется нулю.

Установив это, можно сразу же получить выражение для произведения двух симметрий. Если v — единичный вектор нормали ко второй плоскости, проходящей через образ точки М при зеркальном отражении относительно этой плоскости, то, обозначив запишем связь между и

Пусть угол между векторами и и v равен а, единичный вектор, направленный одинаково с Тогда можно написать

т. е.

Это выражение показывает, что — унитарный кватернион и вектор OS получается из ОМ поворотом на угол 2а вокруг n.

Этот результат, основанный на том, что произведение двух унитарных кватернионов является унитарным кватернионом, подсказывает нам такое замечание о свойствах нормы в норма произведения кватернионов равна произведению их норм.

Действительно, рассмотрим кватернионы . Можно выбрать так, чтобы

и, следовательно,

Таким образом,

и, значит,

поскольку произведение двух экспонент в правой части является унитарным кватернионом.