ВВЕДЕНИЕ

Создание исчисления, позволяющего оперировать геометрическими величинами по правилам алгебры, издавна было целью исследований многих математиков. Об этом мечтал еще Лейбниц, этого пытался добиться Карно. Однако первые действительно важные систематические построения такого рода были сделаны ирландцем У. Р. Гамильтоном (1805 — 1865), который в поисках объектов, обобщающих комплексные числа, открыл кватернионы (отказавшись при этом от свойства коммутативности произведения), и немцем X. Грассманом (1809—1877), который около 1844 г. ввел понятия внешнего, а затем и внутреннего произведения для мультивекторов. В 1878 г. англичанину У. К. Клиффорду (1845-1879) удалось объединить эти две разные схемы в рамках единой алгебры, охватывающей и обычное векторное исчисление в пространстве трех измерений, разработанное в окончательном виде американцем Дж. У. Гиббсом (1839—1903). Однако лишь в 1930 г. эта алгебра — творение, в основном, англо-саксонское — приобрела столь важные приложения в физике, что потребовалось ее математически корректное изложение.

Конструкция такой алгебры предполагает, что заданы векторное пространство размерности над полем действительных чисел и квадратичная форма на Тогда внутреннее произведение двух векторов по определению есть значение симметричной билинейной формы, ассоциированной с данной квадратичной формой, а внешнее произведение, или бивектор, можно рассматривать как геометрический объект: если а и b неколлинеарны, то представляет собой ориентированную плоскость, натянутую на векторы а и b. Направление бивектора определяется ориентацией плоскости векторов а и b, а его величина равняется площади параллелограмма, построенного на а и b. Этот бивектор антисимметричен, т. е. противоположен что записывается так:

Теперь можно определить клиффордово произведение векторов а и b, обозначив его просто

Произведение в общем случае не коммутативно, поскольку

но ассоциативно (если перемножается более двух векторов).

Скаляры называются также -векторами, и вообще -вектором называется внешнее произведение векторов из оно обозначается

и геометрически представляет собой ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах Это произведение вполне антисимметрично, т. е. меняет знак при перестановке любых двух соседних сомножителей, и имеет С компонент, где — число сочетаний из элементов по . Кроме того, вводится внутреннее произведение вектора и -вектора, что позволяет определить произведение Клиффорда для произвольного числа векторов, и такое произведение оказывается суммой -векторов с

Поскольку -вектор имеет С? составляющих, он является элементом векторного пространства размерности а произведение произвольного набора -векторов окажется, следовательно, элементом векторного пространства, являющегося прямой суммой своих подпространств и имеющего размерность

Элементы этого пространства, обозначаемого впредь называют -числами или числами Клиффорда.

Этот беглый обзор формализма векторной алгебры позволяет читателю понять, о чем пойдет речь; требуемые уточнения будут приведены в дальнейшем. Значение такой алгебры для геометрии и физики проявляется в многочисленных приложениях; в геометрии это описание вращений и инверсии, а в физике область применений включает электромагнетизм, в частности уравнения Лоренца для электрона, лоренцевы вращения в специальной теории относительности и, наконец, уравнение Дирака, которое мы будем записывать в несколько необычной форме, подсказывающей изящное изложение теории.

Однако векторная алгебра есть нечто большее, нежели просто новая форма записи известных результатов, ибо даже в теории Дирака она способствует открытию свойств, которые не были сформулированы с помощью алгебры матриц. Применяя векторную алгебру, можно пойти дальше и записать релятивистское уравнение нуклона, волновая функция которого вследствие существования пионного поля не может быть выражена спинором.

Как увидит читатель, для успешного описания волновых функций элементарных частиц не требуется ни матриц, ни эрмитовых векторных пространств. Понадобятся только операции с произведениями векторов в обычном пространстве-времени, и вместо того, чтобы вводить абстрактное пространство изотопического спина, можно будет получить этот спин с помощью обычного спина посредством вращений и гомотетий-вращений в собственном пространстве частицы. При этом выявляется связь заряда нуклона с компонентами пионного поля. Эти результаты, которые можно получить только с помощью векторной алгебры, представляют собой существенный прогресс уже в познавательном плане.

Не следует относиться безразлично к выбору того или иного математического метода, ибо разные методы не вполне эквивалентны с точки зрения их отношения к реальности. Французская система образования почти не прививает сейчас вкуса к слишком конкретным описаниям, считая их малоадекватными. Происхождение такой ориентации определенно связано с наводнением современной физики абстрактными пространствами и с математизацией все новых научных дисциплин. Однако стоит вспомнить одну очень старую картезианскую традицию: для того чтобы лучше понять явления реального мира, их расчленяют на отдельные части и путем подробного изучения этих частей пытаются найти законы, управляющие явлением в целом. Это, конечно, идет в ущерб более синтетическому изучению, так что в некотором смысле эта маленькая книжка поведет читателя по новым путям.