5. СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

Волновые функции плоских решений не обладают свойством однозначности из-за присутствия нецелого множителя j в показателе экспоненты. Эти волновые функции изменяют знак при изменение угла на , так что не имеет смысла говорить о значении этой функции в каждой точке пространства. Уже по этой причине они не могут рассматриваться как вполне реальные объекты. Но при такой смене знака не меняются полевые величины, которые представляют собой квадратичные формы от волновых функций, и именно эти величины имеют точный физический смысл. В привычной теории Дирака можно строить однозначные волновые функции в эрмитовом векторном пространстве, вводя решения, выражающиеся через сферические гармоники. Применяя векторную алгебру, следует заменить такие

функции волновыми функциями, представляющими собой бикватернионы в пространстве-времени.

Два уравнения (65) всегда остаются в силе, и мы будем искать их решения, полагая

В задаче, обладающей сферической симметрией, обозначает радиус-вектор, а Р является функцией единичного вектора и, направленного вдоль радиус-вектора. Следовательно, можно записать

и это выражение вводит широту 0 наряду с долготой , фигурировавшей в определении приведенном в начале этой главы.

Подставляя эти выражения в (70), получим дифференциальную систему Дирака (71). Решениями ее окажутся функции

где — целое число, а С и D выражаются с помощью функций Лежандра:

если — целое положительное число или нуль. Кроме того, должны выполняться соотношения

или

С точностью до числовых множителей полиномы Лежандра от действительной переменной определяются равенством

а функции Лежандра — равенством

Эти числовые множители можно определить из приводившегося ранее условия нормировки, записанного в неподвижной системе отсчета.

Вычисление угла показывает, что он имеет величину порядка приведенной скорости так что в нерелятивистском приближении всегда можно полагать массу равной , а не впрочем, на собственных значениях энергии, не зависящих от , это обстоятельство не скажется.

Таким образом, применяя векторную алгебру, можно решать задачи теории Дирака, и решения имеют ясный физический смысл.