Главная > Векторная алгебра
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

9. ИНВЕРСИЯ

Точки связаны преобразованием инверсии, имеющей центр О и показатель (или степень) тогда и только тогда, когда

где а к — действительное число. Условие (21) можно переписать в виде позволяющем заключить, что векторы От и ОМ коллинеарны, а при положительном к и одинаково направлены.

Предположим, что — дифференцируемая вектор-функция действительной переменной так что функция описывающая дугу пространственной кривой в окрестности точки , имеет в точке касательную. Пусть обозначает эту дугу; применив к каждой ее точке наше преобразование инверсии, получим дугу (С) кривой, проходящей через точку М. Продифференцировав (21), приходим к соотношению

которое после умножения слева на переписывается в виде

Рассматривая его вместе с (20), убеждаемся, что касательная к (С) в точке М и касательная к в точке симметричны относительно плоскости, перпендикулярной вектору и делящей отрезок пополам.

Рис. 3.

Приведем еще одно общее свойство преобразования инверсии. Пусть — вторая пара точек, связанных инверсией к). Полагая выводим соотношение

и в результате приходим к хорошо известной формуле, связывающей расстояние между точками и расстояние между их образами при инверсии:

Преобразование плоскости при инверсии. Запишем уравнение плоскости Q, имеющей вектор нормали и и проходящей через точку с радиус-вектором

Если обозначить

то это уравнение будет выглядеть так:

При преобразовании инверсии (21) образы точек этой плоскости удовлетворяют уравнению

Если то в результате преобразования получается та же плоскость

Если уравнение образа плоскости записывается в виде

Поскольку где координаты точки М, для которой то ясно, что получено уравнение сферы, проходящей через начало координат О. Центр этой сферы находится в точке С с радиус-вектором ; эта точка получается при преобразовании инверсии из точки О с радиус-вектором которая симметрична точке О относительно плоскости

Рис. 4.

Аналогичным образом можно рассмотреть и преобразование сферы при инверсии, а также исследовать свойства произведения инверсий.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru