9. ИНВЕРСИЯ

Точки связаны преобразованием инверсии, имеющей центр О и показатель (или степень) тогда и только тогда, когда

где а к — действительное число. Условие (21) можно переписать в виде позволяющем заключить, что векторы От и ОМ коллинеарны, а при положительном к и одинаково направлены.

Предположим, что — дифференцируемая вектор-функция действительной переменной так что функция описывающая дугу пространственной кривой в окрестности точки , имеет в точке касательную. Пусть обозначает эту дугу; применив к каждой ее точке наше преобразование инверсии, получим дугу (С) кривой, проходящей через точку М. Продифференцировав (21), приходим к соотношению

которое после умножения слева на переписывается в виде

Рассматривая его вместе с (20), убеждаемся, что касательная к (С) в точке М и касательная к в точке симметричны относительно плоскости, перпендикулярной вектору и делящей отрезок пополам.

Рис. 3.

Приведем еще одно общее свойство преобразования инверсии. Пусть — вторая пара точек, связанных инверсией к). Полагая выводим соотношение

и в результате приходим к хорошо известной формуле, связывающей расстояние между точками и расстояние между их образами при инверсии:

Преобразование плоскости при инверсии. Запишем уравнение плоскости Q, имеющей вектор нормали и и проходящей через точку с радиус-вектором

Если обозначить

то это уравнение будет выглядеть так:

При преобразовании инверсии (21) образы точек этой плоскости удовлетворяют уравнению

Если то в результате преобразования получается та же плоскость

Если уравнение образа плоскости записывается в виде

Поскольку где координаты точки М, для которой то ясно, что получено уравнение сферы, проходящей через начало координат О. Центр этой сферы находится в точке С с радиус-вектором ; эта точка получается при преобразовании инверсии из точки О с радиус-вектором которая симметрична точке О относительно плоскости

Рис. 4.

Аналогичным образом можно рассмотреть и преобразование сферы при инверсии, а также исследовать свойства произведения инверсий.