1. ПРИСОЕДИНЕННАЯ АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА

Каждому временному вектору сопоставим пространственные векторы полагая при этом квадраты По своим алгебраическим свойствам эти аналогичны рассмотренным ранее векторам, порождающим алгебру пространства 3, так что элементы 3 можно считать четными -числами из пространственно-временной алгебры. Будем говорить, что возникающая алгебра пространства соответствует и назовем элементы такой алгебры -числами. Естественно, что ничем, кроме значений квадратов, пространственные векторы не отличаются от пространственных векторов

Пусть А — произвольный элемент 4. Его четная часть

Ф, как нетрудно видеть, окажется -числом. Нечетная же часть Ф такова, что четно и, значит, это произведение тоже является некоторым -числом Поэтому и можно записать

где являются -числами.

Отметим еще, что

Без этого наши обозначения в главах III и IV не были бы согласованы.

Теперь обратимся к одному свойству этой подалгебры, которое играет важную роль в теории Дирака. Сформулируем его в виде такой теоремы:

Существует линейная биекция между множеством четных -чисел Дирака и множеством спиноров Дирака, представленных в виде комплексных столбцов.

Обозначим через А произвольное четное -число Дирака, разложение которого по базису подпространства четных -чисел имеет вид

Напомним конкретную реализацию у, переписав — обычная мнимая единица):

При таком выборе у вычислим произведения векторов, образующие базис для четных -чисел:

Введем теперь отображение посредством следующих операций:

1°. Сопоставим четному матрицу М из 4 строк и 4 столбцов, пользуясь матричным представлением (22) векторов у и вычисленными выше произведениями векторов, образующими базис подпространства четных дираковых -чисел.

2°. Полученную матрицу М умножим справа на фиксированную матрицу имеющую один столбец:

В результате от матрицы М останется ее первый столбец. Обозначим

Тогда по определению полагаем

Матрицу М можно выразить через коэффициент разложения А по базису четных -чисел. Нам достаточно явно выписать только первый столбец:

Согласно данному определению,

Легко видеть, что для любых четных -чисел и произвольных действительных чисел

так что отображение линейно.

Для обращения в нуль необходимо, чтобы обращались в нуль действительные числа

Это означает, что ядро линейного отображения , т. е. множество всех таких А, образами которых является нулевой спинор, есть нуль, т. е. из равенства нулю следует равенство нулю А:

Эта запись означает, что нуль — единственное четное -число, которое переводится в нулевой спинор при отображении .

Следовательно, инъективно, т. е. различные четные -числа Дирака всегда имеют своими образами при отображении несовпадающие спиноры. В самом деле, если то не может оказаться, что

потому что из такого равенства вытекало бы, что

Но тогда, как было показано, в противоречии с нашим предположением, что .

Отображение также и сюръективно, т. е. является отображением на все векторное пространство спинорных столбцов F, ибо заданием коэффициентов а, b, с, d столбца F определяется четное -число А с теми же коэффициентами, для которого Значит, линейное отображение инъективно и сюръективно, т. е. биективно, и наша теорема доказана.

Мы увидим, что множество четных -чисел А имеет структуру кольца, тогда как множество спиноров подчиняется обычным правилам действий с матрицами, определяющим менее богатую структуру, поскольку не задана операция умножения столбцов, сопоставляющая двум спинорам снова спинор. Поэтому замена спиноров Дирака, действующих в эрмитовом векторном пространстве, четными -числами, которые являются суммами и произведениями векторов пространства-времени специальной теории относительности, не может не повлечь за собой и физических следствий. Такая замена должна привести к обогащению теории, и впоследствии мы покажем, что, перейдя к представлению волновых функций элементарных частиц не спинорами, а четными -числами Дирака, мы сможем получить некоторую классификацию фундаментальных частиц.

Нам понадобится еще одно замечание. Пусть А — нечетное -число и, стало быть,

Введем четное -число А соотношением

Таким образом устанавливается биекция между множеством четных и нечетных -чисел, а следовательно, и биекция между множеством -чисел А и множеством спиноров Дирака, представленных столбцами из четырех комплексных чисел. Обозначим эту последнюю биекцию Из равенств

выводим, что только при условии т. е. ядро линейного отображения сводится к единственному -числу. Это нулевое -число, одновременно и четное, и нечетное, является общим элементом двух дополнительных подпространств, а именно подпространств -чисел и -чисел А, прямая сумма которых образует все пространство