Главная > ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ. T.IV ОПТИКА (Д.В.Сивухин)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. До сих пор при рассмотрении скорости распространения волн мы предполагали, что соблюдается принцип суперпозиции и отсутствует дисперсия. При несоблюдении принципа суперпозиции и наличии дисперсии вопрос о скорости распространения волн становится очень сложным. Ниже предполагается, что принцип суперпозиции соблюдается, но имеется дисперсия. Сначала рассмотрим плоские волны, распространяющиеся в одном направлении, принимаемом за направление оси X.
Бегущую плоскую монохроматическую волну запишем в виде
E=E0cos(ωtkx+δ),

где E0 и δ — постоянные. При рассмотрении таких вөлн дисперсия не играет роли, поскольку частота ω имеет единственное значение.

Для выяснения смысла скорости распространения рассмотрим уравнение
ωtkx+δ= const 

Әто есть уравнение плоскости, перпендикулярной к оси X, на которой постоянна фаза волны. Дифференцируя его, получим: ωdtkdx=0, откуда
dxdt=ωk

Таким образом, ω/k есть скорость распространения поверхности постоянной фазы, ранее обозначавцаяся через v. Она называется фазовой скоростью волны. С такой скоростью распространяется синусоидальная волна типа (8.1) без изменения своей формы.

Если бы среда не обладала дисперсией, то говорить о какой-либо другой скорости распространения волны не было бы необходимости. Действительно, произвольное плоское возмущение, распространяющееся в направлении оси X, согласно теореме Фурье можно представить в виде суперпозиции монохроматических волн вида (8.1). При отсутствии дисперсии все эти волны имели бы одну и ту же фазовую скорость, так что форма возмущеңия все время оставалась бы одной и той же. Возмущение в целом бежало бы вперед без изменения вида со скоростью, равной той же фазовой скорости. Не то будет при наличии дисперсии. Тогда монохроматические волны разных частот будут распространяться вперед с разными скоростями, вследствие чего форма всего возмущения будет непрерывно деформироваться (исключение составляют только монохроматические волны, распространяющиеся по-прежнему без изменения формы). В этих условиях понятие скорости распространения утрачивает тот ясный смысл, какой оно имело при отсутствии дисперсии, При определенных условиях, однақо, можно сохранить представление о скорости распространеения нёменохроматических волн и в средах, обладающих дисперсией, Важнейшей после фазовой скорости является так называемая групповая скорость.
2. Рассмотрим сначала в действительности не существующую непоглощающую среду, в которой фазовая скорость v выражается линейной функцией длины волны λ;
v=a+bλ

а следовательно, частота ω — линейной функцией волнового числа
ω=ak+2πb

Произвольное плоское возмущение, распространяющееся в среде, разложим на монохроматические волны, Их число, вообще говоря, будет бесконечно велико. Однако можно ограничиться случаем, когда оно равно трем. Это, как будет видно из дальнейшего; не отразится на общности рассуждений и результатов. На рис. 29 представлены эти три синусоиды в какой-то момент времени. Форма результирующего возмущения зависит от их взаимного расположения. Не нарушая общности, можно принять, что в этот момент какие-то три гребня синусоид A,B,C пространственно совпадают друг с другом.

Допустим ради определенности, что фазовая скорость v возрастает с возрастанием длины волны λ (если предположить противоположное, то рассуждения и окончательный результат не изменятся).
Рис. 29.

Таким образом, если λ1>λ2>λ3, а v1,v2,v3 — соответствующие фазовые скорости, то v1>v2>v3. При распространении, например, вправо более длинные волны будут обгонять более короткие, что приведет к непрерывному изменению формы результирующего возмущения. Гребни A,B,C начнут расходиться, гребни A1,B1,C1 разойдутся еще больше, а гребни A2,B2,C2 будут сближаться. Если начало координат поместить в точку, в которой находились гребни A,B,C в начальный момент, то координаты гребней A2,B2, C2 в произвольный момент времени t представятся выражениями
xA2(t)=v1tλ1,xB2(t)=v2tλ2,xC2(t)=v3tλ3.

В момент времени τ, определяемый условиями
T. e.
v1τλ1=v2τλ2=v3τλ3,
τ=λ1λ2v1v2=λ2λ3v2v3=λ1λ3v1v3=dλdv=1b,

гребни A2,B2,C2 пространственно совпадут, так что первоначальное взаимное расположение синусоид, а с ним и форма всего возмущения восстановятся. Только роль гребней A,B,C перейдет к гребням A2,B2,C2, что, очевидно, никак не может отразиться на форме результирующего возмущения. Полученный результат при линейном законе дисперсии (8.4), имеет общее значение, т. е. справедлив для произвольного числа синусоид и произвольного начального расположения их.

Таким образом, по истечении времени τ=dλ/dv, называемого временем восстановления, происходит периодическое восстановление формы возмущения. Например, в рассмотренном нами случае трех синусоид в начале координат, где накладывались гребни A,B,C, в начальный момент времени был максимум возмущения. В точности такой же максимум появился через время τ в другом месте пространства, где наложились гребни A2,B2,C2. Распространение возмущения носит как бы прыгающий характер, причем от прыжка к прыжку проходит время τ. Естественно определить скорость возмущения как отношение расстояния, проходимого возмущением за один «прыжок», к промежутку времени между последовательными прыжками. Так определенная величина называется групповой скоростью возмущения. В разобранном примере это будет отношение расстояния между двумя последовательными положениями максимума возмущения к времени восстановлеРис. 30. ния τ. В момент времени t=0 координата максимума xмакс (0)=0. В момент τ координата такого же максимума будет
xмакс (τ)=v1τλ1=v2τλ2=v3τλ3=vτλ.

За время τ максимум проходит путь
xмакс (τ)xмакс (0)=vτλ.

Следовательно, групповая скорость будет u=vλ/τ, или
u=vλdvdλ.

Эта формула впервые была получена Рэлеем (1842-1919) и носит его имя. На рис. 30 приведена графическая иңтерпретация этой формулы, принадлежащая П. С. Эренфесту (1880-1933). На нем в координатах λ,v представлен график AB прямой (8.4). Так как u=vλdv/dλ=a, то эта прямая отсекает на оси ординат отрезок BO, длина которого равна групповой скорости u. Формулу (8.6) можно записать в виде

или
u=v+1λdvd(1/λ)=dd(1/λ)(vλ),
u=dωdk

Легко также преобразовать (8.6) к виду
u=cn(1+λndndλ¯).

3. Полученные результаты строго справедливы при линейном законе дисперсии (8.4) (или (8.5)). Однако, если возмущение занимает небольшую спектральную область, то эти результаты остаются приближенно верными и в диспергирующих непоглощающих средах. Возмущение такого типа называется группой волн. Точнее, группой волн называется волновое образование, занимающее столь узкую спектральную область, что в пределах этой области приращение фазовой скорости у с достаточной точностью может считаться пропорциональным соответствующему прирацению длины волны λ, а следовательно, приращение частоты ω — пропорциональным соответствующему приращению волнового числа k. Это значит, что в пределах рассматриваемой спектральной области обе зависимости v=v(λ) и ω=ω(k) могут быть аппроксимированы линейными функциями λ и k, а именно
v=v(λ0)+(dvdλ)λ=λ0(λλ0),ω=ω(k0)+(dωdk)k=k0(kk0),

где λ0 — какая-то длина волны, лежащая внутри спектральной области, занимаемой группой, а k0=2π/λ0 — соответствующее ей волновое число. При допустимости такой аппроксимации можно говорить и о времени приближенного восстановления формы возмущения τ=dλ/dv, и о распространении возмущения с групповой скоростью u, определяемой выражением (8.6) или (8.7). На диаграмме Эренфеста в случае группы волн играет роль только малый участок кривой v=v(λ), который можно приближенно считать прямолинейным и заменить соответствующим отрезком касательной. Групповая скорость u представится длиной отрезка OB, отсекаемого этой касательной на оси ординат (рис. 31).
4. Учет высших членов в разложении (8.9) или (8.10) приводит к следующему характеру распространения возмущения. Рис. 31 . Возмущение идет вперед, но его форма непрерывно изменяется. Однако по истечении времени τ=dλ/dv возмущение принимает форму, почти совпадающую с исходной, причем за это время оно продвигается вперед на расстояние x=uτ. Можно сказать, что происходит передача энергии возмущения с групповой скоростью u. По истечении последующего промежутка времени той же длительности произойдет то же самое, и т. д. Вообще, в любой момент t+τ возмущение воспроизводит с малыми искажениями свою форму, какую оно имело в момент t, перемещаясь за время τ на расстояние иτ. Но если возмущение распространяется достаточно долго, то малые изменения, претерпеваемые им за следующие друг за другом равные лромежутки времени длительностью τ, будут накапливаться и могут настолько сильно исказить само возмущение, что его форма потеряет всякое сходство с исходной.

Чтобы оценить требующееся для этого время, дополним разложение (8.10) членом второй степени по ( kk0 ). С учетом формулы (8.7) можно написать:
ω=ω0+u0(kk0)+12(dudk)0(kk0)2,

где нуликом обозначены значения соответствующих величин при k=k0. Пусть δk максимальное значение разности kk0. Тогда соответствующее максимальное изменение фазы, обусловленное наличием квадратичного члена, будет t2|dudk|(δk)2. Если это изменение мало по сравнению с величиной порядка π, то оно мало скажется на относительной разности фаз между синусоидами, входящими в группу, и тогда форма возмущения будет мало искажаться -наличием квадратичного члена. Таким образом, чтобы на интервале времени t происходило периодическое восстановление исходной формы возмущения, необходимо выполнение условия
t2πdu/dk(δk)2.

Если перейти к длинам волн, то это условие преобразуется к виду
tλ2|du/dλ|(δλ)2.

Если же интервал времени t порядка или больше правой части этого неравенства, то о восстановлении исходной формы возмущения говорить не приходится.
5. Выше предполагалось, что плоские монохроматические волны, входящие в волновое образование, распространяются в одном и том же направлении. Рассмотрим теперь случай, когда такие волны занимают по-прежнему узкую область частот, но распространяются в разных направлениях, лежащих в пределах узкого конуса. Соответствующее волновое образование называется волновым пакетом. Его можно представить тройным интегралом
E(r,t)=k0xk0x+Δkxk0y+Δkyk0zk0y+Δkza(k)ei(ωtkr)dkxdkijdkz,

или сокращенно
E(r,t)=a(k)ei(ωtkr)dk.

Частоту ω следует рассматривать как функцию волнового вектора k. Видом этой функции определяется закон дисперсии волн. Если среда изотропна, то функция ω(k) может зависеть только от длины векmора k, но не от его направления. Но в анизотропных средах, например кристаллах, необходимо учитывать и зависимость ω om направления k. Поэтому ниже вид функции ω(k) не конкретизируется, а рассуждения проводятся в общем виде. Полагая ω=ω0+ +Δω,k=k0+Δk, аппроксимируем Δω линейным выражением
Δω=ωkxΔkx+ωkyΔky+ωkzΔkz=(uΔk),

где через u обозначен вектор с компонентами
ux=ωkx,uy=ωky,uz=ωkz.

Сокращенно его записывают в символической форме:
u=ωk

После подстановки соответствующих значений в выражение (8.13) оно преобразуется в
E=A(r,t)ei(ω0tk0r),

где введено обозначение
A(r,t)=a(k)ei(ΔωtΔkr)dk=a(k)ei(utr)Δkdk.

Отсюда видно, что в точке M, движущейся со скоростью t¨ по закону r=ut+r0(r0= const ), амплитуда A остается постоянной. В такой точке совершаются гармонические колебания
E=Aei(ω0tk0r)=Aei[(ω0k0u)tk0r0]

с частотой ω0k0u. По истечении времени τ фаза этих колебаний изменяется на (ω0k0u)τ. Если это изменение равно 2π, т. е.
τ=2πω0k0u2πωku,

то вектор E в движущейся точке M в любой момент времени t примет то же значение, какое он имел в более ранний момент tτ. Так как это справедливо при любом значении параметра r0, то происходит периодическое восстановление формы возмущения с периодом τ, причем за это время возмущение перемещается вперед на расстояние uτ. В результате мы снова приходим к представлению о распространении возмущения с групповой скоростью u, определяемой выражением (8.16).

В изотропных средах векторы u и k параллельны. В этом случае (8.18) легко преобразовать к прежнему виду τ=dλ/dv. Однако в анизотропных средах векторы u и k, вообще говоря, не параллельны, и надо пользоваться более общими выражениями (8.16) и (8.18).

Конечно, и здесь из-за наличия членов высших степеней, отброшенных в разложении (8.14), за время τ происходит не точное, а лишь приближенное восстановление формы возмущения. За это время возмущение претерпевает малые, может быть едва заметные, искажения. Но на больших интервалах времени эти искажения накапливаются и исходная форма возмущения сможет претерпеть существенные изменения.
6. Изложенные соображения позволяют легко решить вопрос о скорости движения энераии или светового сигнала в диспергирующих средах в тех областях спектра, в которых применимо понятие групповой скорости (т. е. вдали от полос поглощения). Прежде всего заметим, что фазовая скорость не имеет ничего общего со скоростью движения энергии. Фазовой скоростью устанавливается только связь между фазами колебаний в различных точках пространства. Связь такого типа в принципе может существовать и без передачи энергии, как это видно из следующего примера.

Вообразим длинную цепочку спортсменов, расположенных вдоль прямой линии на равных расстояниях друг от друга. Пусть они выполняют одно и то же гимнастическое упражнение, например периодическое движение руками, и притом так, что каждый впереди стоящий спортсмен начинает движение с некоторым запаздыванием по отношению к спортсмену, стоящему за ним. Пусть время запаздывания одно и то же для всех спортсменов. При наблюдении со стороны будет казаться, что по цепочке бежит волна с определенной фазовой скоростью, значение которой зависит от расстояния между соседними спортсменами и от времени запаздывания, о котором говорилось выше. Наличие такой волны, конечно, не означает, что каждый спортсмен приводит в движение впереди стоящего спортсмена. Так и возможность распространения в среде плоской монохроматической волны еще не дает оснований для заключения о переносе энергии с фазовой скоростью.

Строго плоская монохроматическая волна непригодна для наблюдения передачи энергии, поскольку она не имеет ни начала, ни конца во времени и в пространстве. Сама постановка вопроса о передаче энергии требует отказа от такой идеализации. Необходимо перейти к волновому возмущению, ограниченному в пространстве по крайней мере с одного конца, т. е. имеющему передовой фронт, перед которым возмущение отсутствует. Подходящим волновым образованием может служить группа волн. Если выполнено условие (8.12), то средняя скорость энергии, переносимой группой, совпадает с групповой скоростью. Действительно, форма группы, какую она имела в момент t, восстанавливается без заметного искажения в более поздний момент времени t+τ. При этом группа вместе с локализованной в ней энергией за время τ перемещается вперед на расстояние x=uτ. Так как такое восстановґение формы имеет место, каков бы ни был момент времени t, то движение энергии c групповой скоростью будет происходить на протяжении как угодно длинного промежутка времени, даже если за это время группа существенно изменит свою форму.

Итак, в области, далекой от области сильного поглощения, скорость движения энергии в группе волн совпадает с групповой скоростью. То же самое приближенно справедливо и для скорости движения энергии в волновом возмущении, занимающем сравнительно широкую спектральную область, если только в пределах этой спектральной области групповая скорость u=u(λ) меняется мало. Если ширина спектральной области δλ, занимаемой группой, стремится к нулю, то группа в пределе переходит в монохроматическую волну. Можно поэтому сказать, что средняя скорость переноса энергии в монохроматической волне совпадает с групповой скоростью. Это утверждение следует понимать именно в приведенном смысле, рассматривая монохроматическую волну как предельный случай квазимонохроматической. Нельзя ограничиться идеализированной плоской строго монохроматической волной, отвлекаясь от представления ее как предельного случая квазимонохроматической волны. При такой абстрактной постановке вопроса утрачивается связь с реальными явлениями, а потому с точки зрения физики она бессмысленна.

Прямые измерения скорости света сводятся к измерению расстояния, проходимого световым сигналом за определенный промежуток времени. Из изложенного выше следует, что этот метод практически дает групповую скорость. То же самое, как показывает подробный анализ, относится ко всем известным косвенным методам измерения скорости света. Фазовую скорость, точнее — отношение фазовых скоростей в двух различных средах, можно определить по отношению показателей преломления, используя формулу волновой теории (3.7), в которую входят фазовые скорости света в рассматриваемых средах (см. § 64).
7. Остановимся еще на вопросе о скорости распространения передового фронта волнового возмущения. Речь идет о волне, резко ограниченной передовым фронтом, перед которым никакого возмущения нет. Скорость такого фронта точно совпадает со скоростью света в вакууме c. В этом легко убедиться, исходя из основных представлений электронной теории. Согласно этой теории, всякую среду следует рассматривать как вакуум, в который вкраплены молекулы и атомы вещества. Свет распространяется в вакууме между атомами и молекулами вещества, т. е. всегда со скоростью c. Когда световое возмущение достигает какого-либо атома, электроны и атомные ядра приходят в колебания и сами становятся центрами излучения новых электромагнитных волн. Эти вторичные волны накладываются на первичную волну и тем самым определяют все волновое поле в среде. Но из-за инерции электроны и ядра не сразу приходят в колебания. Пока электроны и ядра не пришли в колебания, они не излучают вторичные волны, а потому не оказывают влияния на распространение возмущения. Поэтому ясно, что передовой фронт должен распространяться в среде с той же скоростью, что и в вакууме. Но почему же при измерении скорости света получается не c, а другая величина? Дело в том, что передовой фронт несет слишком малую энергию, а приемники света недостаточно чувствительны, чтобы ее обнаружить. Количественные расчеты, выполненные впервые Зоммерфельдом (1868-1951) и более подробно Л. Бриллюэном (1889-1969), показали, что это действительно так.

1
Оглавление
email@scask.ru