1. Большинство кристаллов оптически анизотропны, т. е. их оптические свойства в разных направлениях не одинаковы. Наиболее важным проявлением этой анизотропии является двойное лучепреломление в кристаллах. Изучение этого явления и связанной с ним поляризации света составит основное содержание настоящей главы.

Фундаментальные уравнения Максвелла справедливы без всяких изменений и в кристаллических средах. В отсутствие электрических зарядов и токов они имеют вид
\[
\operatorname{rot} \boldsymbol{H}=\frac{1}{c} \dot{\boldsymbol{D}}, \quad \operatorname{rot} \boldsymbol{E}=-\frac{1}{c} \dot{\boldsymbol{H}} .
\]

Но материальные уравнения усложняются. Изотропные среды характеризуются скалярной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon(\omega)$. Для характеристики оптических свойств кристаллов требуются девять величин $\varepsilon_{j k}(\omega)$, образующих тензор диэлектрической проницаемости, или диэлектрический тензор. Он вводится посредством соотношений
\[
D_{j}=\sum_{k} \varepsilon_{j k} E_{k} \quad(j, k=x, y, z) .
\]

Для прозрачных кристаллов, как можно показать, исходя из закона сохранения энергии, диэлектрический тензор симметричен, т. е. $\varepsilon_{i j}=\varepsilon_{j i}$ (см. §80). Разумеется, в различных системах координат компоненты диэлектрического тензора имеют разные значения. При переходе от одной системы координат к другой они преобразуются как компоненты всякого тензора. Благодаря тензорной связи между $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{E}$ направления этих векторов в кристаллах; вопбще говоря, не совпадают.
2. Если среды прозрачны и однородны, то в них могут распространяться плоские монохроматические волны. Каждую из них можно записать в виде
\[
\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0} e^{l(\omega t-k r)}, \quad \boldsymbol{H}=\boldsymbol{H}_{0} e^{i(\omega t-k r)}, \quad \boldsymbol{D}=\boldsymbol{D}_{0} e^{l(\omega t-k r)} .
\]

Рассмотрим сначала свойства таких воли, которые вытекают из одних только фундаментальных уравнений (75.1) без использования материальных уравнений (75.2). Как и в случае изотропных сред,
\[
\operatorname{rot} \boldsymbol{H}=-\boldsymbol{i} \boldsymbol{k} \boldsymbol{H}], \quad \dot{\boldsymbol{D}}=-i \omega \boldsymbol{D}, \ldots
\]

Подставив эти выражения в (75.1) и вводя единичный вектор волновой нормали $N$ по формуле $\boldsymbol{k}=\frac{\omega}{v} N$, получим
\[
\boldsymbol{D}=-\frac{c}{v}[N H], \quad \boldsymbol{H}=\frac{c}{v}[N E],
\]

где $v$ – нормальная скорость волны, т. е. фазовая скорость, с которой распространяется волновой фронт в направлении волновой нормали $N$. Присоединим к этим формулам еще выражение для вектора Пойнтинга
\[
S=\frac{c}{4 \pi}[E H] \text {. }
\]

Фундаментальное значение этого вектора в кристаллооптике состоит в том, что он определяет направление световых лучей, т. е. линий, вдоль которых происходит распространение энергии света. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что направление $S$ совпадает с направлением вектора групповой скорости $\boldsymbol{u}=d \omega / d \boldsymbol{k}$ (см. § 8). Это будет сделано в §81. B кристаллах векторы $S$ и $N$, вообще говоря, не совпадают по направлению. Именно с этим связано двойное лучепреломление, а также коническая рефракция.
Из формул (75.5) видно, что векторы $\boldsymbol{D} u$ Рис. 257. Н взаимно перпендикулярны. Кроме того, они перпендикулярны ковнновой нормали $N$,
т. е. параллельны фронту волны. Значит, плоские волны в кристалле поперечны в отношении векторов $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{H}$. Однако в общем случае они. не поперечны в отношении вектора $\boldsymbol{E}$. Четыре вектора $\boldsymbol{E}, \boldsymbol{D}, \boldsymbol{N}, \boldsymbol{S}$ лежат в одной плоскости, перпендикулярной к вектору $\boldsymbol{H}$. Взаимное расположение этих векторов показано на рис. 257. Из него видно, что заданием в кристалле направления вектора $\boldsymbol{E}$ (или D) однозначно определяется направление вектора $\boldsymbol{D}$ (или $\boldsymbol{E}$ ) и с точностью до $180^{\circ}$ направления всех остальных векторов $\boldsymbol{H}, \boldsymbol{N}, \boldsymbol{S}$. Определяется также величина нормальной скорости волны $v$. Действительно, если задано направление вектора $\boldsymbol{E}$, то уравнение (75.2) однозначно определит направление вектора $D$, а с ним и плоскость $(E, D)$, к которой перпендикулярен вектор $\boldsymbol{H}$. Тем самым с точностью до $180^{\circ}$ определится направление $\boldsymbol{H}$, а следовательно, и направления векторов $N$ и $\boldsymbol{S}$. Исключение составляет случай, когда направления векторов $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{D}$-совпадают. Тогда всякая прямая, перпендикулярная к вектору $\boldsymbol{E}$, может служить направлением магнитного поля. Те же рассуждения применимы и к случаю, когда задано направление вектора $\boldsymbol{D}$. Для определения $v$ исключим из (75.5) вектор $\boldsymbol{H}$ :
\[
D=\frac{c^{2}}{v^{2}} E-\frac{c^{2}}{v^{2}}(N E) N .
\]

Так как $(\boldsymbol{D} \boldsymbol{N})=0$, то отсюда скалярным умножением на $\boldsymbol{D}$ находим
\[
v^{2}=c^{2} \frac{(D E)}{D^{2}} .
\]

Таким образом, электрический вектор ( $\boldsymbol{E}$ или $\boldsymbol{D}$ ) в кристалле в известном смысле является главным. Это и понятно, так как именно он определяет электрическую поляризацию среды, а возбуждение последней составляет сущность процесса распространения электромагнитных волн в материальных средах.