Эффект Допплера был открыт самим Допплером в 1842 г. на акустических волнах. В дальнейшем теория этого эффекта была перенесена без всяких изменений в оптику. При этом предполагалась справедливость волновой эфирной теории света. Место воздуха, в котором распространяются звуковые волны, в оптике занял световой эфир. В остальном все рассуждения в акустике и оптике были абсолютно тождественны. Эфирная теория безвозвратно ушла в область истории. Но акустический эффект Допплера полностью сохранил свое значение. Поэтому имеет смысл изложить здесь теорию этого эффекта. Поскольку, однако, этот том посвящен оптике, мы по-прежнему будем говорить о световых волнах в эфире. Для перехода к акустике слово «эфир» надо заменить словом «воздух», а световые волны – волнами звука.

В эфирной теории, помимо источника и наблюдателя, в явлении принимает участие промежуточная среда – световой эфир. С этим связаны усложнение и неопределенность эфирной теории эффекта Допплера, поскольку в каждом конкретном случае мы не можем сказать, как движутся источник и наблюдатель относительно «неуловимого» эфира. Различные теории эфира отличались друг от друга прежде всего тем, как они выбирали систему отсчета, в которой эфир покоится и, следовательно, ведет себя как оптически изотропная среда. Пусть в эфире распространяется плоская монохроматическая волна. Ее частоту в системе отсчета, в которой эфир покоится, обозначим через $\omega$, а волновой вектор – qерез $k=\omega N / c$, где $N$ – единичный вектор, в направлении которого волна распространяется, Фаза волны в указанной системе отсчета представится выражением $\varphi=\omega t-k r$. Пусть относительно эфира равномерно движутея источник со скоростью $\boldsymbol{V}_{\text {и }}$ и наблюдатель со скоростью $\boldsymbol{V}_{\mathrm{H}}$. Их радиусы-векторы будут соответственно $r_{\text {и }}=V_{\text {и }} t$ и $r_{\mathrm{H}}=V_{\text {н }} t$. Фазы колебаний в этих движущихся точках определятся выражениями $\varphi_{\text {и }}=\left(\omega-k V_{\text {и }}\right) t$ и $\varphi_{\text {н }}=\left(\omega-k V_{\text {н }}\right) t$. Отсюда следует, что источник в системе отсчета, где он покоится, излучает волны с частотой $\omega_{\text {и }}=\omega-\boldsymbol{k} \boldsymbol{V}_{\text {и }}$, а частота, воспринимаемая наблюдателем, определяется выражением $\omega_{\text {н }}=\omega-\boldsymbol{k} \boldsymbol{V}_{\text {н }}$. Почленным делением с учетом соотношения $\boldsymbol{k}=\omega \boldsymbol{N} / \mathrm{c}$ исключаем промежуточную частоту $\omega$ и находим
\[
\frac{\omega_{\mathrm{II}}}{\omega_{и}}=\frac{1-\left(N V_{\mathrm{H}}\right) / c}{1-\left(N V_{\text {и }}\right) / c} .
\]

Это и есть основная формула, определяющая допплеровское изменение частоты в теории эфира и в акустике. Мы видим, что в этой теории частота $\omega_{\text {н }}$ определяется движением как источника, так и наблюдателя относительно эфира, а также направлением распространения $N$ волны в самом «неподвижном» эфнре. В этом ее отличие от теории относительности, в которой эфира нет, а потому эффект Допплера зависит только от скорости источника относительно наблюдателя $\left(\boldsymbol{V}_{\mathrm{н}}-\boldsymbol{V}_{\mathrm{H}}\right)$. В частности, при одной и той же относительной скорости $\left(\boldsymbol{V}_{\text {и }}-\boldsymbol{V}_{\mathrm{H}}\right)$ формула (108.1) приводит к разным результатам, в зависимости от того, что движется: источник или наблюдатель. Қогда движется источник, а наблюдатель неподвижен, она дает
\[
\omega_{\mathrm{H}}=\frac{\omega_{\mathrm{r}}}{1-N V_{\mathrm{r}} / c} .
\]

Если же движется наблюдатель, а источник остается в покое, то
\[
\omega_{\mathrm{H}}=\omega_{\mathrm{U}}\left(1-N V_{\mathrm{H}} / c\right) .
\]

В линейном приближении, когда в формуле (108.1) можно пренебречь квадратами обоих отношений $V_{\text {и }} / c$ и $V_{\text {н }} / c$, она переходит в
\[
\frac{\omega_{\mathrm{H}}}{\omega_{\text {и }}}=1+\frac{N}{c}\left(V_{\text {и }}-V_{\text {н }}\right) .
\]

В эту формулу входит лишь относительная скорость $\left(\boldsymbol{V}_{\text {и }}-\boldsymbol{V}_{\mathrm{H}}\right)$, а не скорости $\boldsymbol{V}_{\text {и }}$ и $\boldsymbol{V}_{\text {н }}$ в отдельности. Однако формула еще не определяет изменения частоты, поскольку в нее входит также направление распространения волны $N$ в «неподвижном» эфире. Действительно, хотя волна и посылается источником к наблюдателю, ее направление из-за аберрации будет изменяться с изменением движения эфира. Только в частном случае, когда источник или наблюдатель покоятся относительно эфира, эта неопределенность исчезает, а формула (108.4) совпадает с тем, что дает в первом порядке теория относительности. Тогда ей можно придать вид
\[
\omega_{\mathrm{H}}=\left(1+V_{N} / c\right),
\]

где $V_{N}$ – скорость источника относительно наблюдателя по лучу зрения. Она считается положительной, когда источник приближается к наблюдателю, и отрицательной, когда он удаляется.

Все изложенное показывает, какие существенные упрощения и определенность внесла теория относительности в теорию эффекта Допплера и аберрации света.
I..
З АД А Ч А
На рис. 335 приведена схема опыта Фуко по өпределению скорости света в материальной среде. Лучи от источника $S$, пройдя через стеклянную пластинку $M$ и линзу $L$, отражаются от плоского зеркала $R$, которое может вращаться вокруг чи, перпендикулярной к плоскости чертежа, Линза $L$ дает изображение источника $S$ на поверхности вогнутого зеркала $C$, центр кривизиы которого совпадает с осью вращения зеркала $R$. Сосуд $P$ наполняют исследуемым веществом, в котором измеряется скорость света. Если зеркало $R$ неподвижно, то лучи, отраженные от $C$ и $R$, снова сойдутся в точке $S$. Зеркало $M$ отклонит часть лучей в сторону и даст действительное изображение источника в $S_{1}$. При вращении зеркала $R$ изображение $S_{1}$ смещается в $S_{1}^{\prime}$. По величине смещения $S_{1} S_{1}^{\prime}$ можно вычислить скорость света в исследуемом веществе. При отражении от движущегося зеркала происходит допплеровское изменение частоты света. Учитывая это, показать, что метод Фуко дает групповую скорость света.
Рис. 335 .
P ешения и е. Не теряя общности, воздушные зазоры между $R$ и $P$, а также между $P$ и $C$ можно считать бесконечно тонкими и во всех расчетах пренебречь толщиной этих зазоров.

Обычный расчет проводится следующим образом. На прохождение расстояния от $R$ до $C$ и обратно волновой фронт, распространяющийся с фазовой скоростью $v$, затрачивает время $T=2 D / v$, где $D$ – расстояние между зеркалами $R$ и $C$. За это время $R$ повернется на угол $\varphi=T \Omega$, если $\Omega$ – угловая скорость вращения зеркала. Луч, отраженный от зеркала $R$, вращается с вдвое большей скоростью. За то же время он повернется на угол $\alpha=2 \varphi=2 T \Omega=(4 D / v) \Omega$. Угол $\alpha$ легко рассчитать по величине смещения $S_{1} S_{1}^{\prime}$. Таким образом,
\[
v=4 D \Omega / \alpha \text {. }
\]

В этом рассуждении не принято во внимание допплеровское изменение частоть при отражении света от вращающегося зеркала $R$. Поэтому оно не дает ответа, что за скорость вычисляется по формуле (108.6).

Поместим начало координат на оси вращающегося зеркала $R$ и направим ось $Y$ по линии пересечения плоскости этого зеркала с плоскостью чертежа. Так как линейные скорости различных точек вращающегося зеркала различны, то и изменение частоты волны при ее отражении от зеркала будет разным в зависимости от того, в каком месте зеркала произошло отражение. Благодаря этому различные точки волнового фронта будут распространяться в среде с различными фазовыми скоростями. Это поведет к вращению волнового фронта в среде. Если за направление положительного вращения принять направление вращения зеркала $R$, то для угловой скорости вращения волнового фронта в среде можно написать
\[
\Omega^{\prime}=\frac{1}{\cos \varphi} \frac{d v}{d y}=\frac{1}{\cos \varphi} \frac{d v}{d \omega} \frac{d \omega}{d y},
\]

где $\varphi$ – угол падения светового луча на зеркало $R$. Так как $v=\omega / k$, то
\[
\frac{d v}{d \omega}=\frac{1}{k}-\frac{\omega}{k^{2}} \frac{d k}{d \omega}=\frac{v}{\omega}-\frac{v^{2}}{\omega u},
\]

где $u$ – групповая скорость. Остается определить $d \omega / d y$. Если $о$ – частота волны, отраженной от зеркала в точке с координатой $y$, а $\omega+d \omega-$ с координатой $y+d y$, то в первом порядке $d \omega / \omega=-\frac{2}{c} \Omega \cos \varphi d y$, откуда
\[
\frac{1}{\cos \varphi} \frac{d \omega}{d y}=-2 \Omega \frac{\omega}{c}=-2 \Omega \frac{\omega}{n v},
\]

где $n$ – показатель преломления. Таким образом,
\[
\Omega^{\prime}=\left(\frac{v^{2}}{\omega u}-\frac{v}{u}\right) 2 \Omega \frac{\omega}{n v}=\frac{2 \Omega}{n}\left(\frac{v}{u}-1\right) .
\]

Отраженный от зеркала $C$ волновой фронт будет также поворачиваться при распространении в веществе с угловой скоростью $\Omega^{\prime}$ и притом, как легко сообразить, в том же направлении, что и падающий волновой фронт. С другой стороны, на прохождение слоя вещества толщиной $2 D$ волновой фронт затрачивает время $T=2 D / v$, За это время он повернется в среде на угол $\Omega^{\prime} T=\frac{4 D \Omega}{n v}\left(\frac{v}{u}-1\right)$. По выходе из сосуда $P$ в вакуум волновой фронт преломляется, вследствие чего угол поворота увеличивается в $n$ раз и становится равным
\[
n \Omega^{\prime} T=\frac{4 D \Omega}{v}\left(\frac{v}{u}-1\right)=\frac{4 D \Omega}{u}-\frac{4 D \Omega}{v} .
\]

Этот поворот надо прибавить к повороту $4 D \Omega / v$, найденному ранее без учета эффекта Допплера, Таким обрєзом, измеряемый угол поворота $\alpha$ в действительности равен
\[
\alpha=\frac{4 D \Omega}{v}+\left(\frac{4 D \Omega}{u}-\frac{4 D \Omega}{v}\right)=\frac{4 D \Omega}{u},
\]

так что вместо формулы (108.6) получится
\[
u=4 D \Omega / \alpha \text {. }
\]

Следовательно, метод вращающегося зеркала Фуко дает групповую скорость.