1. При наличии непараксиальных лучей, а также при отсутствии осевой симметрии оптической системы (примером может служить цилиндрическая линза) сферическая волна, исходящая из светящейся точки, после прохождения через оптическую систему перестает быть сферической. В результате светящаяся точка уже не будет изображаться оптической системой в виде точки. Связанные с этим искажения оптических изображений называются гео. метрическими или лучевыми аберрациями оптических систем. Помимо лучевых существуют еще хроматическая аберрация, т. е. появление окрашенных каемок в изображении, когда оно получается в белом свете, а также волновые или дифракционные аберрации, обусловленные дифракцией света. Учет последних необходим при рассмотрении разрешающей способности оптических и спектральных приборов, а также других тонких вопросов, связанных с получением оптических изображений. Однако сначала мы отвлечемся от хроматической и дифракционных аберраций, предполагая, что световые пучки, формируюцие изображение, – монохроматические и к ним применима геометрическая оптика.
2. Напомним сначала необходимые сведения из дифференциальной геометрии. Пусть $S$ – какая-то гладкая поверхность, а $O$ произвольная точка на ней (рис. 53а). Нормаль к поверхности $S$ в точке $O$ обозначим через $N$. Проведем через $N$ плоскость $\Pi$, пересекающую поверхность $S$ вдоль некоторой кривой $L$. Если плоскость ПІ вращать вокруг нормали $N$ в пределах $180^{\circ}$, то кривизна кривой $L$, вообще говоря, будет изменяться, достигая в каком-то положении $L_{1}$ максимума, а в другом положении $L_{2}$ – минимума. В дифференциальной геометрии доказывается, что нормальные сечения поверхности $S$ максимальной и минимальной кривизны взаимно перпендикулярны. Эти сечения называются главными нормальными сечениями поверхности $S$, проходящими через точку $O$. Линии, по Рис 53a. которым они пересекают поверхность $S$ в окрестности точки $O$, называются линиями кривизны, а радиусы кривизны последних $R_{1}$ и $R_{2}$ – главными радиусами кривизны поверхности $S$. Если знаки $R_{1}$ и $R_{2}$ одинаковы, то линии кривизны обращены вогнутостями в одну и mу же сторону; если разные, то в противоположные стороны. Если в точке $O R_{1}=R_{2}$, то эта точка называется точкой закругления поверхности.
3. Пусть теперь поверхность $S$ является волновым фронтом. Возьмем на ней какую-то элементарную площадку $d S$. Бесконечно узкий пучок лучей волнового фронта, проходящий через эту площадку, называется астигматическим, если главные радиусы кри.визны $R_{1}$ и $R_{2}$ не совпадают между собой. Луч, проходящий через центр площадки $d S$, называется главным ${ }^{1}$ ).

Вообще говоря, две нормали к поверхности $S$ не пересекаются в одной точке. Однако нормали, восстановленные в бесконечно близких точках, лежащих на одной и той же линии кривизны, пересекаются в одной точке (если пренебречь величинами высших порядков малости). Заметив это, возьмем в качестве элемента $d S$ бесконечно малую площадку $A B D C$, имеющую форму криволиней-
-1) При отсутствии симметрии площадки понятие ее центра, строго говоря, теряет смысл. Однако и в этом случае можно указать какую-то, хотя и не совсем четко определенную, точку в середине площадки, которую можно рассматривать как центр последней.

ного четырехугольника, сторонами которого служат линии кривизны поверхности $S$ (рис. 53б). Лучи, лежащие в главных сечения элемента волнового фронта $d S$, проходящих через его центр, сходятся в различных точках $F_{1}$ и $F_{2}$, называемых фокальными точками; расстояние $F_{1} F_{2}$ называется астигматической разнастью элементарного пучка. Лучи, проходящие через противоположные стороны $A B$ и $C D$, пересекутся в точках $M_{1}$ и $N_{1}$ соответственно. Лучи, исходящие из всякой промежуточной линии кривизны между сторонами $A B$ и $C D$, сойдутся в какой-то промежуточной точке бесконечно малого отрезка $M_{1} N_{1}$, проходящего через фокальную точку $F_{1}$. Аналогично, лучи, исходящие из линий кривизны
Рис. 53б.

между сторонами $B D$ и $A C$, пересекутся в какой-то точке другого бесконечно малого отрезка $M_{2} N_{2}$, проходящего через вторую фокальную точку $F_{2}$.

Отрезки $M_{1} N_{1}$ и $M_{2} N_{2}$ называются фокальными отрезками элементарного астигматического пучка лучей, исходящих от элемента волнового фронта $A B C D$. Если элементарный астигматический пучок лучей исходит из светящейся точки, то фокальные отрезки $M_{1} N_{1}$ и $M_{2} N_{2}$ принято называть изобрансениями этой точки, даваемыми астигматическим пуиком, хотя точечного изображения в этом случае и не существует. Если элемент $A B C D$ обладает симметрией прямоугольника, то отрезки $M_{1} N_{1}$ и $M_{2} N_{2}$ будут перпендикулярны между собой, а также к главному лучу пучка. В общем случае это может быть и не так. При бесконечном уменьшении поперечных размеров пучка лучей отрезки $M_{1} N_{1}$ и $M_{2} N_{2}$ стягиваются в фокальные точки $F_{1}$ и $F_{2}$.

Таким образом, в отличие от гомоцентрического пучка, бесконечно узкий астигматический пучок дает не одно, а два точечных изображения $F_{1}$ и $F_{2}$ светящейся точки. Конечный пучок лучей можно разложить на элементарные астигматические пучки, каждому из которых соответствует пара фокальных точек. Геометрическое место этих точек есть двухлистная поверхность, называемая каустической поверхностью, или каустикой.
З А ДА Ч А
Точечный источник света́ $P$ помещен в прозрачной однородной среде, ограниченной плоскостью. Световые лучи, исходящие из $P$, испытывают преломление на этой плоскости. Найти для них каустическую поверхность.

Р еш е ние. Қаустика преломленных лучей состоит из двух листов. Один из них есть геометрическое место фокальных точек меридиональных яучей, т. е. лучей, лежащих в плоскости падения главного луча элементарного астигматического пучка. Другой – геометрическое местө фокальных точек экваториальных лучей, т. е. лучей, лежащих в перпендикулярной плоскости, проходящей через главный луч элементарного пучка.

Пусть $n$ – показатель преломления среды, в которой помещен источник $P$. Показатель преломления пространства, с которым граничит эта среда, примем за единицу. Введем прямоугольную систему координат с началом $O$, расположенным на границе среды. За ось $Z$ примем нормаль к поверхности среды, направив эту ось в стоРис. 54 рону точки $P$ (рис. 54). Ввиду осевой симметрии достаточно найти сечение каустическсй поверхности плоскостью, проходящей через ось Z. Прямую, вдоль которой эта плоскость пересекает границу среды, примем за ось $X$.

Найдем сначала кауетику для меридиональных преломленных лучей, Уравнение преломленного луча $A B$ будет
\[
z=-\operatorname{ctg} \varphi(x-h \operatorname{tg} \psi),
\]

где $h$ – расстояние от точки $P$ до границы среды, $\phi$ – угол падения из среды на эту границу, $\varphi$ – угол преломления. Для бесконечно близкого луча $P A^{\prime} B^{\prime}$ углы $\varphi$ и $\psi$ получат приращения $d \varphi$ и $d \psi$. Приращение координаты $z$ при одном и том же значении абсциссы $x$ при этом будет равно
\[
d z=\frac{x-h \operatorname{tg} \psi}{\sin ^{2} \varphi} d \varphi+\frac{h \operatorname{ctg} \varphi}{\cos ^{3} \psi} d \psi,
\]

или с использованием закона преломления $\sin \varphi=n \sin \psi$ :
\[
d z=\frac{x-h \operatorname{tg} \psi}{\sin ^{2} \varphi} d \varphi+\frac{h \operatorname{ctg} \varphi \cos \varphi}{n \cos ^{3} \psi} d \varphi .
\]

Координаты $x_{m}$ и $z_{m}$ точки $P_{m}$, в которой пересекатся продолження бесконечно близких меридиональных лучей $A B^{\prime}$ и $A^{\prime} B^{\prime}$, найдутся отсюада, если приращение ¿z приравнять нулго, Это дает
\[
x_{m}=h\left(\operatorname{tg} \psi-\frac{\cos ^{2} \varphi \cdot \sin \varphi}{n \cos ^{3} \phi}\right), \quad z_{m}=h \frac{\cos ^{3} \varphi}{n \cos ^{3} \psi} .
\]

Это и есть уравнение каустики для меридиональных лучей. Используя его, нетрудно вывести формулу
\[
l_{m}=l \frac{\cos ^{2} \varphi}{n \cos ^{2} \psi}
\]

где $l$-расстояние от предмета $P$ до точки выхода $A$ преломленного луча, а $l_{m}$ – расстояние меридионального изображения $P_{m}$ до той же точки.

Еще проще находится каустика для экваториальных лучей. Пусть $P A B$ один из лучей, исходящих из точки $P$ (рис. 54). Если этот луч вращать вокруг перпендикуляра $O P$ к преломляющей поверхности, то получится конус падающих и соответствующий ему конус преломленных лучей. Вершиной второго конуса будет точка $P_{9}$, в которой продолжение преломленного луча $A B$ пересекает перпендикуляр $P O$. Бесконечно малые пучки падающих и преломленных лучей, лежащих на поверхностях указанных конусов, для которых луч РАВ является главным, будут, очевидно, расположены в плоскостях, перпендикулярных к плоскости падения луча $P A B$. Значит, лучи этих пучков будут экваториальными, а точка $P_{9}$ – изображением в этих лучах. Таким образом, все фокальные точки экваториальных лучей расположатся на перпендикуляре $P O$, т. е. каустика таких лучей выродится в отрезок этого перпендикуляра. Расстояние $l_{9}$ точки $P_{2}$ от точки выхода преломленного луча $A B$ будет $P_{9} A=l \sin \psi / \sin \varphi$, т. е.
\[
l_{9}=\frac{l}{n} \text {. }
\]

Результаты вычислений представлены на рис. 55 для $n=1,5$ (стекло). Каустика экваториальных лучей представляется вертикальным отрезком $O P^{\prime}$, длина которого равна $h / n$. Сечение каустики меридиональных лучей плоскостью
Рис. 55.

рисунка есть кривая $B P^{\prime} A$, для которой $P^{\prime}$ является точкой возврата. Продолжения преломленных лучей, изображенные на рисунке пунктирными прямыми, касаются кривой $B P^{\prime} A$. Таким образом, если начертить еще сечение волнового фронта вышедших преломленных лучей, то для этого сечения кривая $B P^{\prime} A$ будет вөолютой. Сама каустика меридиональных лучей получится от вращения этой эволюты вокруг вертикальной прямой $P O$. Для параксйльных пучков фокальные точки меридиональных и экваториальных лучей совпадают и получаются в $P^{\prime}$. Крайние точки $A$ и $B$ каустики меридиональных лучей получаются от пересечения предельных лучей полного отражения $P A$ и $P B$ с границей среды. Предлагаем читателю начертить каустику меридиональных и экваториальных лучей для случая $n<1$.