1. Если какой-либо закон природы представлен в виде $A=B$, причем при переходе от одной системы отсчета к другой величины $A$ и $B$ остаются неизменными, то эти величины и самый закон называются инвариантными относительно этого перехода. Более общим является понятие ковариантности. Если при переходе от одной системы отсчета к другой величины $A$ и $B$ хотя и не остаются неизменными, но преобразуются одинаково, то закон $A=B$ сохраняется и в новой системе отсчета. В этом случае говорят, что закон $A=B$ ковариантен относительно рассматриваемого преобразования систем отсчета. Часто термин «инвариантность закона» употребляют в смысле его ковариантности.

До теории относительности допустимыми считались только галилеевы преобразования координат. Относительно этих преобразований уравнения механики Ньютона были ковариантны (инвариантны), тогда как уравнения электродинамики Максвелла-Лорентца – не ковариантны. Теория относительности показала, что от галилеева преобразования надо отказаться и заменить его преобразованием Лорентца. Тогда принцип относительности требует, чтобы законы природы были ковариантны относительно преобразования Лорентца. Этому требованию уравнения электродинамики удовлетворяют, а уравнения механики Ньютона не удовлетворяют. Поэтому механика Ньютона должна быть изменена.

В ньютоновской механике сила, действующая на тело в какой-то момент времени, определяется положением всех взаимодействующих тел в тот же момент. Но в теории относительности понятие «тот же момент времени» зависит от выбора системы отсчета. Невозможно автоматически преобразовать каждый закон сил ньютоновской механики в лорентц-ковариантную форму. Допустимы . только такие теории, из которых может быть исключено понятие действия на расстоянии. Такая возможность существует в теории столкновений. Последняя исходит из идеализированного представления, что взаимодействие имеет место только в продолжение того промежутка времени, когда расстояние между телами или точечными частицами бесконечно мало по сравнению с размерами самих тел или другими характерными расстояниями, определяющими характер процессов столкновения. До и после этого бесконечно малого промежутка времени тела движутся свободно. К процессам столкновений применимы законы сохранения импульса и энергии, но им надо придать лорентц-ковариантную форму. Это и является целью настоящего параграфа. Дальнодействие можно исключить также при рассмотрении движения электрически заряженных частиц в электромагнитных полях. Однако изложение относящихся сюда вопросов электродинамики потребовало бы слишком много места, а потому мы ограничимся только рассмотрением процессов столкновения.
2. Для решения поставленной задачи проще и логичнее всего воспользоваться понятием четырехмерного вектора (или, короче, 4-вектора) в пространстве Минковского. Каждое «точечное» событие в таком пространстве характеризуется совокупностью четырех координат $x, y, z, \tau \equiv c t$. При переходе от системы отсчета $S$ к системе отсчета $S^{\prime}$ разности координат двух точек преобразуются по формулам
\[
\Delta x^{\prime}=\frac{\Delta x-\beta \Delta \tau}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad \Delta y^{\prime}=\Delta y, \quad \Delta z^{\prime}=\Delta z, \quad \Delta \tau^{\prime}=\frac{\Delta \tau-\beta \Delta x}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]

как это следует из (105.12). Напомним, что квадрат интервала между рассматриваемыми точками есть инвариант:
\[
\Delta \tau^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}=\operatorname{Inv} .
\]

Мы воспользовались частным преобразованием Лорентца (105.12), в котором предполагается, что координатные оси $X, Y, Z$ параллельны осям $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}$, а система $S^{\prime}$ движется относительно $S$ вдоль оси $X$. Можно было бы взять любую ориентацию осей и любое направление движения, но это только услөжнило бы запись, ничего не меняя по существу.

Назовем четырехмерным вектором совокупность четырех величин $A_{x}, A_{y}, A_{z}, A_{\tau}$, которые при переходе от одной системы отсчета $\kappa$ другой преобразуются так же, как разности координат двух точек в пространстве Минковского, т. е.
\[
A_{x^{\prime}}^{\prime}=\frac{A_{x}-\beta A_{\tau}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad A_{y^{\prime}}^{\prime}=A_{y}, \quad A_{z^{\prime}}^{\prime}=A_{z}, \quad A_{\tau^{\prime}}^{\prime}=\frac{A_{\tau}-\beta A_{x}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Величины $A_{x}, A_{y}, A_{z}$ называются пространственными, а $A_{\imath}$-временной составляющей четырехмерного вектора. Пространственные составляющие мы объединим в обычный трехмерный вектор $\boldsymbol{A}$ и будем обозначать четырехмерный вектор через ( $A, A_{\tau}$ ). Из тождественности законов преобразования (111.1) и (111.3) следует, что четырехмерный вектор ( $\boldsymbol{A}, A_{\tau}$ ) обладает инвариантом:
\[
A_{\tau}^{2}-A^{2}=\text { Inv. }
\]

Если какой-либо закон природы записан в четырехмерной векторной форме $\left(\boldsymbol{A}, A_{\tau}\right)=\left(\boldsymbol{B}, B_{\tau}\right)$, то он лорентч-ковариантен, так как обе части написанного равенства при преобразовании Лорентца преобразуются одинаково. Четырехмерная векторная форма эквивалентна двум уравнениям: $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$ и $A_{\tau}=B_{\tau}$. Этим замечанием мы и воспользуемся для решения поставленной задачи. Именно, мы постулируем, что закон сохранения импульса и энергии можно записать в виде равенства четырехмерных векторов. Задача состоит в том, чтобы найти вид этих векторов.

3. Рассмотрим частицу, движущуюся со скоростью $\boldsymbol{v}$ относительно неподвижной системы отсчета $S$. Пусть $d r$ – ее перемещение за время $d t=d \tau / c$. Эти величины образуют четырехмерный вектор $(d r, c d t)$. Очевидно, он останется четырехмерным вектором и после умножения его составляющих на одну и ту же постоянную. Возьмем в качестве таковой $m_{0} / d t_{0}$, где $m_{0}$ – некоторая постоянная, а $d t_{0}=d t \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$ – собственное время, которое, как известно, является инвариантом. Тогда получим четырехмерный вектор
\[
m_{0}\left(\frac{d r}{d t_{0}}, c \frac{d t}{d t_{0}}\right)=m(\boldsymbol{v}, c),
\]

где введено обозначение
\[
m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} .
\]

Допустим теперь, что частиџа движется медленно, так что величиной $v^{2} / c^{2}$ можно пренебречь. Возьмем в качестве $m_{0}$ массу частицы, как она определяется в нерелятивистской механике. Тогда пространственная составляющая четырехмерного вектора ( 111.5 ) будет $m_{0} \boldsymbol{v}$. Вектор $m_{0} \boldsymbol{v}$ в ньютоновской механике называется импульсом. Поэтому в релятивистской механике естественно определить импульс выражением
\[
\boldsymbol{P}=m \boldsymbol{v}=\frac{m_{0} \boldsymbol{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}},
\]

поскольку в пределе при малых скоростях оно переходит в нерелятивистское выражение $m_{0} \boldsymbol{v}$. Величина $m_{0}$ называется массой покоя, а $m$ – массой движения или релятивистской массой. Таким образом, $(\boldsymbol{P}, m c)$ есть четырехмерный вектор, а величина $(m c)^{2}-P^{2}-$ его инвариант. Значение этого инварианта легко найти: при $v=0$ он обращается в $\left(m_{0} c\right)^{2}$, а потому
\[
(m c)^{2}-P^{2}=\left(m_{0} c\right)^{2} .
\]

Остается выяснить физический смысл временной части четырехмерного вектора (111.5). Для этого замечаем, что $d P / d t$ есть сила, действующая на частицу. Работа этой силы на перемещении $\boldsymbol{v} d t$ равна $d A=\boldsymbol{v} d \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P} d \boldsymbol{P} / m$ или на основании (111.8) $d A=c^{2} d m$. Энергия частицы найдется интегрированием этого выражения по $m$. Если постоянную интегрирования положить равной нулю, то получится формула
\[
\mathscr{E}=m c^{2}=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} .
\]

Величина $\mathscr{E}$ называется полной энергией частицы. Для покоя щейся частицы $m=m_{0}$, так что (111.9) переходит в
\[
\mathscr{E}_{0}=m_{0} c^{2} \text {. }
\]

Величина $\mathscr{C}_{0}$ называется энереией покоя частицы.

Формула (111.9), впервые в общем виде полученная Эйнштейном, устанавливает взаимосвязь между массой и энергией. Кинетическая энергия частицы определяется выражением
\[
K=\mathscr{E}-\mathscr{E}_{0}=\left(m-m_{0}\right) c^{2} .
\]

При медленных движениях это выражение переходит в обычную формулу $K=1 / 2 m_{0} v^{2}$.
Импульс и энергия теперь объединены в четырехмерный вектор
\[
(\boldsymbol{P}, m c)=(\boldsymbol{P}, \mathscr{E} / c),
\]

называемый вектором импульса – энерги. Его инвариантом относительно преобразования Лорентца является
\[
\left(\frac{\mathscr{E}}{c}\right)^{2}-P^{2}=\left(m_{0} c\right)^{2}=\operatorname{Inv} .
\]

Тем самым в теории относительности законы сохранения импульса и энергии перестают быть независимыми законами, а объединяются в единый закон сохранения четырехмерного вектора импульса энергии. Его называют также законом сохранения импульса энергии.

Остается ответить на два вопроса. Во-первых, почему при вычислении работы сила была определена так же, как в нерелятивистской механике, т. е. как производная $d \boldsymbol{P} / d t$ ? Во-вторых, почему энергия всегда определяется с точностью до несущественной произвольной постоянной, здесь же она определена однозначно? Ответ на оба вопроса, в сущности, один и тот же. Он состоит в том, что на величину $\mathscr{E}$, вычисленную выше и названную полной энергией, было наложено требование, чтобы она (после деления на с) была временной компонентой четырехмерного вектора (111.5). Если энергию не определить однозначно, то она этому требованию удовлетворять не будет.

Для системы невзаимодействующих частиц, а также частиц, взаимодействующих только при столкновениях, четырехмерный вектор импульса – энергии определяется как сумма четырехмерных векторов импульса – энергии этих частиц. При этом в теории относительности достигается однообразная трактовка упругих и неупругих столкновений. Независимо от характера столкновения сохраняется трехмерный вектор импульса системы. Следовательно, должна сохраняться и энергия, как (умноженная на с) временная компонента четырехмерного вектора. Вместе с энергией сохраняется и релятивистская масса. Только при упругих и неупругих столкновениях она по-разному распределяется между массой покоя и массой, связанной с кинетической энергией макроскопического движения. Например, при столкновении двух одинаковых неупругих шаров, движущихся с одинаковыми скоростями навстречу друг другу, исчезновение. кинетической энергии макроскопического движения (т. е. переход его во внутреннее молекулярное движение) проявляется в эквивалентном увеличении массы покоя системы: масса нагретого шара больше, чем масса такого же холодного шара. При упругих же столкновениях остаются неизменными и масса покоя, и масса, связанная с кинетической энергией макроскопического движения.

Существуют частицы (фотоны, нейтрино), для которых масса покоя равна нулю. Для них связь (111.13) между энергией и импульсом имеет вид
\[
P=\mathscr{E} / c \text {. }
\]

Такие частицы всегда движутся со скоростью $c$. Иначе, как видно из формул (111.7) и (111.9), импульс и энергия таких частиц обращались бы в нуль.
ЗАДАчИ
1. Две одинаковые частицы движутся в лабораторной системе навстречу друг другу с одной и той же скоростью $v$. Найти относительную скорость $V$ каждой из них относительно другой. Қакой энергией $\mathscr{E}^{\prime}$ в лабораторной системе отсчета должна обладать одна из частиц, чтобы получить ту же относительную скорость, если вторая частица (мишень) неподвижна? (Принцип действия ускорителя на встречных пучках.)
Р ешение и По теореме сложения скоростей
\[
V=\frac{2 v}{1+v^{2} / c^{2}} .
\]

Искомая полная энергия, которую надо было бы сообщить одной частице, равна
\[
\mathscr{E}^{\prime}=\frac{\mathscr{E}_{0}}{\sqrt{1-V^{2} / c^{2}}},
\]

где $\mathscr{E}_{0}$ – энергия покоя частицы. Фактическая энергия, которой обладает частица, $\mathscr{E}=\mathscr{E}_{0} / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$. Отсюда нетрудно получить
\[
\mathscr{E}^{\prime}=2 \frac{\mathscr{E}^{2}}{\mathscr{E}_{0}}-\mathscr{E}_{0}
\]

а для кинетической энергии
\[
K^{\prime}=2\left(\frac{\mathscr{E}_{2}}{\mathscr{E}_{0}}-\mathscr{E}_{0}\right) \text {. }
\]
(Другое решение см. в т. I, § 28.)
2. Вывести формулу, являющуюся релятивистским обобщением формулы Циолковского (см. т. J, § 21) для движения ракеты. Считать, что скорости ракеты и газовой гтруи направлены вдоль одной прямой.
Решение. На основании законов сохранения импульса и энергии
\[
m v+m_{\mathrm{ra3}} v_{\mathrm{ra} 3}=\text { const }, \quad m+m_{\text {газ }}=\text { const, }
\]

где $m$ и $m_{\text {газ }}$ – релятивистские массы ракеты и газов, а $v$ и $v_{\text {газ }}$ – их скорости в произвольный момент времени. Газы, уже покинувшие ракету, не влияют на ее движение. Поэтому можно считать, что в рассматриваемый момент времени $m_{\text {газ }}=0$. Тогда не возникает неопределенности, что следует понимать под $v_{\text {газ }}$. Однако, поскольку газы непрерывно образуются, $d m_{\text {газ }}
eq 0$, Дифференцируя предыдущие уравнения, получим
\[
m d v+\left(v-v_{\text {газ }}\right) d m=0 .
\]

По релятивистскому закону сложения скоростей
\[
v_{\text {газ }}=\frac{v-u}{1-v u / c^{2}},
\]

где 4 – скорость газовой струи относительно ракеть Исключение $v_{\text {газ }}$ приводит к уравнению
\[
\cdot d v+u \frac{1-v^{2} / c^{2}}{1-v u / c^{2}} \frac{d m}{m}=0 .
\]

Воспользовавшись формулой (111.6), после несложных преобразований найдем
\[
\frac{d v}{v^{2}-c^{2}}=\frac{u}{c^{2}} \frac{d m_{0}}{m_{0}} .
\]

Предполагая скорость $и$ газовой струи постоянной и интегрируя, получим искомый результат:
\[
\frac{\left(m_{0}\right)_{\text {нач }}}{m_{0}}=\left(\frac{1+v / c}{1-v / c}\right)^{c / 2 u} .
\]