1. До Қирхгофа принцип Гюйгенса — Френеля оставался гипотезой. Кирхгоф в 1883 г, вывел формулу, которую можно рассматривать как уточненную формулировку указанного принципа. Приведем вывод формулы Кирхгофа, хотя в дальнейшем и не будем ею пользоваться. Читатель может опустить его без ущерба для понимания дальнейшего. Допустим, что среда, в которой распространяется свет, однородна, Будем характеризовать световое поле какой-то величиной $E$. Под $E$ можно понимать либо вектор $\boldsymbol{E}$, либо вектор $\boldsymbol{B}$, либо одну из их проекций на декартовы оси координат. Эта величина ‘удовлетворяет волновому уравнению
\[
\Delta E-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}}=0,
\]

которое в случае монохроматического поля ;переходит в
Putc. 170 .
\[
\Delta E+k^{2} E=0 .
\]

Найдем значение $E$ в произвольной точке пространства $P$ (рис. 170). Обозначим через $r$ перехенное расстояние какой-либо точки $A$ от $P$. Величина
\[
\chi=\frac{1}{r} e^{-i k r},
\]

рассматриваемая как функция точки $A$, также удовлетворяет уравпению
\[
\Delta \chi+k^{2} \gamma=0 .
\]

Окружим точку $P$ произвольной замкнутой поверхностью $F$, и притом та่кой, что в окружаемом ею пространстве нет источников света. Функция $\chi$ обрацается в бесконечность в точке $P$. Исключим эту точку, окружив ее сферой $f$ достаточно малого радиуса $R$ с центром в $P$. Тогда во всем прострапстве между сферой $f$ и поверхностью $F$ функцин $E$ и $\chi$, а также их производные будут конечнел и непрерывны. $\mathrm{K}$ ним можно примснить формулу Грина (1793-1841)
\[
\int(E \Delta \chi-\chi \Delta E) d V=-\int_{F+f}\left(E \frac{\partial \chi}{\partial n}-\chi \frac{\partial E}{\partial n}\right) d F,
\]

где $V$ — объем пространства между поверхностями $f$ и $F$, а $\boldsymbol{n}$ — внутренняя нор. маль по отнәшению к этому пространству. Так как в указанном пространстее источников света нет, то в нем справедливы уравнения (43.1) и (43.3). Следовательно,
\[
E \Delta \chi-\chi \Delta E=-k^{2}(E \chi-\chi E)=0,
\]
a потому
\[
\oint_{f}\left(E \frac{\partial \chi}{\partial n}-\chi \frac{\partial E}{\partial n}\right) d f=-\oint_{F}\left(E \frac{\partial \chi}{\partial n}-\chi \frac{\partial E}{\partial n}\right) d F .
\]

Перейдем в этом равенстве к пределу, устремляя радиус сферы $f$ к нулю. Правая часть равенства при этом не будет меняться. Что касается левой, то, взяв радиус $R$ настолько малым, чтобы $k R \ll 1$, можно заменить экспоненциальный множитель $e^{-i k R}$ единицей, Тогда левая часть примет вид
\[
\oint_{f}\left[E \frac{\partial}{\partial R}\left(\frac{1}{R}\right)-\frac{1}{R} \frac{\partial E}{\partial R}\right] d f
\]

Так как величины $E$ и $\frac{\partial E}{\partial R}$ в окрестности точки $P$ конечны, то интеграл от второго слагаемого будет порядка $-4 \pi R \frac{\partial E}{\partial R}$, т. е. при $R \rightarrow 0$ обратится в нуль. Интеграл же от первого слагаемого в пределе перейдет в $-4 \pi E_{P}$. Окончательно
\[
E_{P}=\frac{1}{4 \pi} \oint_{F}\left[E \frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{e^{-i k r}}{r}\right)-\frac{e^{-i k r}}{r} \frac{\partial E}{\partial n}\right] d F,
\]

где $E_{P}$ — значение функции $E$ в точке $P$.
2. Формула (43.5) по виду напоминает принцип Гюйгенса — Френеля. И тут и там поле в точке $P$ выражается интегралом по замкнутой поверхности $F$. Однако у Френеля источники света лежат внутри замкнутой поверхности $F$, а точка $P$ вне этой поверхности. Формула же (43.5), наоборот, предполагает, что точка $P$ лежит внутри поверхности $F$, а источники вне ее. Легко, однако, преобразовать формулу (43.5), чтобы указанное различие исчезло. Для этого предполоким, что все источники света $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \ldots$ лежат в конечной области пространства. Окружим эту область замкнутой поверхностью $F$ (рис. 171). Пусть точка $P$ находится в пространстве вне поверхности $F$. Опишем из $P$ как из центра сферу $f$ настолько большого радиуса, чтобы она целиком окружала поверхность $F$. Тогда в пространстве между $f$ и $F$ не будет источников света, а потому можно для вычисления $E$ в точке $P$ применить формулу (43.5):
\[
E_{P}=\frac{1}{4 \pi} \int_{F+f}\left(E \frac{\partial \chi}{\partial n}-\chi \frac{\partial E}{\partial n}\right) d F .
\]

Докажем, что интеграл по сфере $f$ стремится к нулю, когда ее радиус стремится к бесконеуноРис. 171. сти. Для этого необходимо выяснить поведение функции $E$ на бесконечности, Предположим, что в пространстве, ограниченном $F_{\text {* }}$ находится один или несколько точечных источников света: $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \ldots$ Тогда поле этих источников представится в виде
\[
E=\sum C_{m} \frac{e^{-l k r} m}{r_{m}},
\]

где $C_{m}$ — постоянные коэффициенты. Если $r$ стремится к $\infty$, то $r_{m}$ также стремится к $\infty$, однако разность $r_{m}-r$ будет оставаться конечной, Представим $E$ в виде
\[
E=\sum C_{m} \frac{e^{-i k\left(r+a_{m}\right)}}{r+a_{m}}=\frac{e^{-i k r}}{r} \sum \frac{A_{m}}{1+a_{m} / r},
\]

где $A_{m}$ — новые постоянные, Разлагая выражение под знаком суммы в ряд по степеням $1 / r$, получим
\[
E=\frac{e^{-i k r}}{r}\left\{\sum A_{m}-\frac{1}{r} \sum A_{m} a_{m}+\frac{1}{r^{2}}(\ldots)+\ldots\right\} .
\]

или
\[
E=\frac{e^{-i k r}}{r}(C+\Phi)=(C+\Phi) \chi,
\]

где $C$ — постоянная, а Ф стремится к нулю по крайней мере как $\mathrm{i} / r$. Подставляя это значение $E$ в интеграл по сфере $f$, получим
\[
\oint_{t}\left(E \frac{\partial \chi}{\partial n}-\chi \frac{\partial E}{\partial n}\right) d f=-\oint_{t} \chi^{2} \frac{\partial \Phi}{\partial n} d f .
\]

Подынтегральное выражение в последнем интеграле стремится к нулю по крайней мере как $1 / r^{3}$, тогда как поверхность сферы обращается в бесконечность как $r^{2}$. Поэтому при $r \rightarrow \infty$ весь интеграл стремится к нулю, Таким образом, если сферу $f$ удалить в бесконечность, то получится
\[
E_{P}=\frac{1}{4 \pi} \oint_{F}\left[E \frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{e^{-i k r}}{r}\right)-\frac{e^{-i k r}}{r} \frac{\partial E}{\partial n}\right] d F .
\]

Эти рассуждения приводят также к следующему важному результату. Если некоторый участок поверхности $F$ удаляется в бесконечность, то часть интеграла (43.6) по этому участку стремится к нулю. При этом предполагается, что все источники света находятся в конечной области пространства.
3. Формулы (43.5) и (43.6) и выражают принцип Гюйеенса в формулировке Кирхгофа. В обеих формулах $\boldsymbol{n}$ означает внутреннюю нормаль по отношению к тому пространству, в котором находится точка наблюдения $P$.

Выполнив дифференцирование по $n$ и приняв во внимание, что $\partial r / \partial n=$ $=-\cos \alpha$, где $\alpha-$ угол между нормалью $n$ и направлением из площадки $d F$ на точку $P$, получим
\[
E_{P}=\oint K(\alpha, r) \frac{e^{-i k r}}{r} d F .
\]

Здесь введено обозначение
\[
K(\alpha, r)=\frac{1}{4 \pi}\left[\left(i k+\frac{1}{r}\right) E \cos \alpha-\frac{\partial E}{\partial n}\right] .
\]

Тем самым устанбвлена связь формулы Кирхгофа с принцилом Гюйгенса: подынтегральное выражение в формуле (43.8) может рассматриваться как вторичная волна, распространяющаяся от площадки $d F$ к точке $P$. Множитель $K$, однако, зависит не только ст угла $\alpha$, как предполагал Френель, но также и от расстояния $r$. В противном случае вторичная волна не могла бы удовлетворять волновому уравнению. Таким образом, вторичные волны не обладают шаровой симметрией. Они сферические только в том смысле, что их волновые фронты имеют форму сфер. Амплитуды же зависят от направления распространения и меняются с расстоянием иначе, чем $1 / r$. Только в «волновой зоне», когда расстояние точки $P$ от излучающего центра $d F$ очень велико по сравнению с длиной волны, можно в выражении (43.8) пренебречь $1 / r$ по сравнению с $i k$. Тогда
\[
E_{P}=\frac{1}{4 \pi} \oint\left(i k E \cos \alpha-\frac{\partial E}{\partial n}\right) \frac{e^{-i k r}}{t} d F .
\]

Благодаря малости длин световых волн такой упрощенной формой принципа Гюйгенса в оптике мсжно пользоваться при решении всех конкретных задач.
4. Чтобы составить на примере более конкретное представление о вторичных волнах, рассмотрим свободное распространение сферической волны от то-

чечного источника. В качестве поверхности $F$ возьмем сферу радиуса $r_{0}$ с центром в источнике $O$ (рис, 172). Поле на поверхности $F$ представим выражением
\[
E_{0}=\frac{e^{i\left(\omega t-k r_{0}\right)}}{r_{0}} .
\]

Предполагая, что радиус $r_{0}$ очень велик по сравнению с длиной волны, отсюда найдем $\partial E / \partial n_{1}=\partial E_{0} / \partial r_{0}=-i k E_{0}$. Подставляя это значение в формулу (43.9), получим
\[
E_{P}=\frac{i k}{4 \pi} \oint(1+\cos \alpha) E_{0} \frac{e^{-i k r}}{r} d F .
\]

Сравнение этой формулы с формулой (43.7) дает
\[
K(\alpha)=\frac{i k}{4 \pi}(1+\cos \alpha) .
\]

Это и есть «ослабляющий множитель» $K(\alpha)$, введенный в $\$ 39$ ad hoc. Из теории автоматически получается, что он чисто мнимый и с возрастанием $\alpha$ монотонно убывает по абсолютной величине. Он обращается в нуль при $\alpha=\pi$, т, е. в точке $D$ сферы, диаметрально противоположной точке наблюдения $P$.

Интеграл (43.10) теперь можно вычислить, поскольку он не содержит никаких неизвестных функций. Произведем это вычисление, так как таким путем можно получить строгое обоснование метода зон Френеля и результатов, полученных этим методом. Взяв за переменную интегрирования $t$ и использовав значение $E_{0}$, преобразуем интеграл $(43.10)$ к виду
\[
E_{P}=\int_{r_{1}}^{r_{2}} A(r) e^{-i k r} d r
\]

где введсно обозначение
\[
A(r)=\frac{i k(1+\cos \alpha)}{2\left(\rho+r_{0}\right)} e^{i\left(\omega t-k r_{0}\right)},
\]

а через $r_{1}$ и $r_{2}$ обозначены наибольшее и наименьшее значения, принимаемые $r_{\text {s }}$ Интегрируя (43.12) по частям, получим
\[
E_{P}=-\left.\frac{A(r) e^{-i k r}}{i k}\right|_{r_{1}} ^{r_{2}}+\frac{1}{i k} \int_{r_{1}}^{r_{0}} \frac{d A}{d r} e^{-l k r} d r,
\]

Здесь единственной величиной, зависящей от $r$, является $\cos \alpha$, Найдем ее производную. Из рис, $172\left(\rho+r_{0}\right)^{2}=r^{2}+r_{0}^{2}+2 r r_{0} \cos \alpha$, откуда $\frac{d \cos \alpha}{d r}=-\left(\frac{1}{r_{0}}+\right.$ $\left.+\frac{\cos \alpha}{r}\right)$. Взяв от (43.13) логарифмическую производную по $r$ и воспользовавшись предыдущей формулой, найдем
\[
\frac{1}{i k} \frac{d A}{d r}=\frac{i}{1+\cos \alpha}\left(\frac{1}{k r_{0}}+\frac{\cos \alpha}{k r}\right) A(r) .
\]

Такой величиной, а следовательно, и интегралом в формуле (43.14) следует пренебречь, так как это уже было сделано при выводе исходной формулы $(43,9)$, Таким образом, в формуле (43.14) остается только первое слагаемое, т, е,
\[
E_{p}=\frac{A\left(r_{1}\right) e^{-i k r_{1}}-A\left(r_{2}\right) e^{-i k r_{2}}}{i k} .
\]

Существенно, что величина $E_{P}$ представляется разностью одной и той же функции но при различных значениях аргумента $r_{2}$ причем при изменении $r$ на $\lambda / 2$ знак этой функции меняется на противоположный. Этого достаточно для обоснования основного результата (39.6), на котором основан метод зон Френеля. Действительно, применив формулу (43.15) к первой зоне Френеля, найдем, что действие өтой зоны может быть представлено в виде $E_{1}=\left(u_{1}+u_{2}\right)$, действие второй зоныв виде $E_{2}=-\left(u_{2}+u_{9}\right)$, и т. д. Явный вид выражений $u_{i}$ для доказательства не имеет значения. Действие первых $N$ зсн выразится суммой
T. e
\[
E=\left(u_{1}+u_{2}\right)-\left(u_{2}+u_{3}\right)+\ldots+(-1)^{N+1}\left(u_{N}+u_{N+1}\right),
\]
\[
E=u_{1}+(-1)^{N+1} u_{N+1} .
\]

Так как по величине действия двух соседних зон почти одинаковы, то $u_{N+1}=u_{N}$. С той же степенью точности $1 / 2 E_{1}=u_{1}, 1 / 2 E_{N}=(-1)^{N+1} u_{N}=(-1)^{N+1} u_{N+1}$, Следовательно,
\[
E=\frac{1}{2}\left(E_{1}+E_{N}\right) \text {. }
\]