1. Для нахождения второго приближения надо использовать вектор $\boldsymbol{P}_{\text {нл }}$ в первом приближении, т. е.
\[
\boldsymbol{P}_{\text {нл }}=\alpha_{2}\left(E_{0}+E_{1}\right)\left(E_{0}+E_{1}\right)+\alpha_{3} E_{0}^{2} \boldsymbol{E}_{0} .
\]

Однако мы ограничимся только изотропными средами или кристаллами, обладающими центром симметрии. Для них, как было показано в $\S 123, \alpha_{2}=0$, и следовательно, в нужном приближении $\boldsymbol{P}_{\text {нд }}=\alpha_{3} E_{0}^{2} \boldsymbol{E}_{0}$. Подставив сюда выражение (123.5), получим
\[
\boldsymbol{P}_{\mathrm{нл}}=\frac{3 \alpha_{3} A^{2}}{4} \boldsymbol{A} \cos (\omega t-\boldsymbol{k r})+\frac{\alpha_{3} A^{2}}{4} \boldsymbol{A} \cos 3(\omega t-\boldsymbol{k} \boldsymbol{r}) .
\]

Слагаемое с тройной частотой $\omega_{3}=3 \omega$, очевидно, приводит к генерации третьей гармоники. Разность показателей преломления $n(3 \omega)$ – $n(\omega)$ здесь еще больше, чем в случае второй гармоники. Это ограничивает выбор кристаллов, для которых можно удовлетворить условию фазового синхронизма. Основная трудность опыта связана с малыми значениями кубичной поляризуемости $\alpha_{3}$, что вынуждает применять большие кристаллы и большие освещенности, часто приводящие к разрушению кристаллов. Несмотря на это, генерация третьей гармоники наблюдалась еще в 1962 г. группой американских физиков на кристалле исландского шпата при освещении его светом рубинового лазера. На выходе кристалла удалось зарегистрировать излучение с длиной волны 231,3 нм. Позднее генерация наблюдалась в некоторых оптически изотропных кристаллах (например, $\mathrm{LiF}, \mathrm{NaCl}$ ), жидкостях и газах.

В третьем приближении, помимо гармоник более низкого порядка, очевидно, должна появиться четвертая, а в следующем приближении – пятая гармоники и т. д. Экспериментально четвертая гармоника наблюдалась С. А. Ахмановым в 1974 г., а пятая – Харрисом в 1973 г.
2. Посмотрим теперь, какие явления связаны с первым слагаемым в выражении (125.1). Множитель $\boldsymbol{A} \cos (\omega t-k r$ ) есть исходная падающая волна $\boldsymbol{E}_{0}$. Ясно, что в рассматриваемом приближении его можно заменить на $\boldsymbol{E}$, так как такая замена сказывается лишь на членах более высокого порядка малости, не учитываемых в рассматриваемом приближении. После этого (123.4) запишется в виде
\[
\operatorname{rot} \boldsymbol{H}-\frac{1}{c}\left[\varepsilon(\omega)+3 \pi \alpha_{3}(\omega) A^{2}\right] \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}=0 .
\]

Отсюда видно, что влияние рассматриваемого слагаемого эквивалентно изменению диэлектрической проницаемости или показателя преломления среды. Учитывая малость поправки к $\varepsilon(\omega)$, для показателя преломления $n$ в поле интенсивной световой волны можно написать
\[
n=n_{0}+n_{2} A^{2},
\]

где $n_{0}$ – значение показателя преломления среды в линейной оптике, а $n_{2}(\omega)$ – некоторый коэффициент, зависящий от свойств среды.

Помимо рассмотренной, есть и другие причины изменения показателя преломления в электрическом поле. В нелинейной среде из-за электрострикции световая волна вызывает появление постоянного давления, аналогично тому как появляется постоянное слагаемое в формуле (124.1). Это приводит к изменению плотности $u$ показателя преломления среды. В жидкостях с анизотропными молекулами показатель преломления изменяется из-за высокочастотного эффекта Керра (см. § 90). Показатель преломления всегда изменяется из-за нагревания среды световой волной. Во всех этих случаях изменение показателя преломления пропорционально квадpamy амплитуды, а потому может быть также представлено формулой (125.2).

Постоянная $n_{2}$ может быть и отрицательной, и положительной. Она особенно велика у нитробензола и имеет для него положительный знак.
3. Из изложенного следует, что если через однородную среду проходит интенсивный пучок света, то среда становится оптически неоднородной. Луч света в такой среде загибается в сторону большего показателя преломления. С этим связано явление самофокусировки (когда $n_{2}>0$ ) и дефокусировки (когда $n_{2}<0$ ) света, предсказанное теоретически Г. А. Аскарьяном в 1962 г. и впервые наблюдавшееся Н. Ф. Пилипецким и А. Р. Рустамовым в 1965 г. Затем самофокусировка наблюдалась для многих газов, жидкостей и твердых тел.
Чтобы простейшим путем понять сущность явления самофоРис, 354 . кусировки, предположим, что в однородную среду с показателем преломления $n_{0}$ вступает плоскопараллельный пучок лучей кругового поперечного сечения с диаметром $D$ (рис. 354). Допустим сначала, что амплитуда пучка постоянна по всему сечению. Показатель преломления в пространстве, занятом пучком, сделается равным $n=n_{0}+n_{2} A^{2}$, причем мы предположим, что $n_{2}>0$. Из-за дифракции пучок расширяется. Практически все направления лучей сосредоточатся в пределах конуса с углом при вершине $2 \vartheta_{\text {диф }}$, где $\vartheta_{\text {диф }}=1,22 \lambda /\left(D n_{0}\right)$, а $\lambda$ – длина волны в вакууме. (Направления лучей относятся к пространству внутри цилиндра.) Предельный угол скольжения $\vartheta_{0}$ для полного отражения от боковой стенки цилиндра определяется соотношением
\[
\cos \vartheta_{0}=n_{0} /\left(n_{0}+n_{2} A^{2}\right) .
\]

Ввиду малости этого угла отсюда находим: $1-\cos \vartheta_{0} \approx A^{2} n_{2} / n_{0}$ и, следовательно,
\[
\vartheta_{0}^{2} \approx 2 A^{2} n_{2} / n_{0} \text {. }
\]

Если $\vartheta_{\text {диф }}>\vartheta_{0}$, то часть дифрагированных лучей будет выходить из цилиндра – пучок будет расширяться. При обратном соотношении $\vartheta_{\text {диф }}<\vartheta_{0}$ все дифрагированные лучи будут испытывать полное отражение от боковой поверхности цилиндра. А так как в реальных условиях интенсивность света и показатель преломления возрастают к оси пучка, то из-за искривления лучей пучок начнет сжиматься и может стянуться в тонкий инур. Это и есть самофокусировка.

В промежуточном случае, когда $\vartheta_{\text {диф }} \approx \vartheta_{0}$, пучок будет проходить через нелинейную среду практически без изменения поперечных размеров. Он создает для себя как бы волновод, в котором и распространяется без рассеяния в стороны. Такой режим распространения называется самоканализацией светового пучка. Таким образом, самоканализация имеет место при условии $\vartheta_{0} \approx \vartheta_{\text {диф }}$. Подставив сюда значения углов $\boldsymbol{\vartheta}_{0}$ и $\vartheta_{\text {диф }}$, а также выражение амплитуды $A$ через мощность пучка
\[
P=\frac{c n_{0} A^{2}}{8 \pi} \cdot \frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{c n_{0} D^{2}}{32} A^{2},
\]

получим так называемую пороговую мощность, выше которой начинается сжатие пучка. Она определяется соотношением
\[
P_{\text {порог }} \approx c \frac{(0,61 \lambda)^{2}}{16 n_{2}} .
\]

Расстояние от края среды, на котором фокусируются крайние лучи пучка, легко оценить из следующих соображений. В пучке угловое расхождение лучей из-за дифракции равно $2 \vartheta_{\text {диф. При }}$ критической моцности в результате отражения от боковой поверхности пучка крайние лучи делаются параллельными. Это произойдет на расстоянии
\[
f_{\text {эф }}=\frac{D}{2 \vartheta_{\text {диф }}} \approx \frac{n_{0} D^{2}}{2,44 \lambda} .
\]

Оно играет при самофокусировке роль эффективного фокусного расстояния для крайних лучей пучка. Если вместо расходящихся лучей взять лучи, параллельные оси пучка, то они сфокусируются на том же расстоянии $f_{э ф}$.

Для сероуглерода $\mathrm{CS}_{2}$, обладающего сравнительно большим значением $n_{2}=2 \cdot 10^{-11}$ СГСЭ, при освещении рубиновым лазером $(\lambda=694,3$ нм) пороговая мощность, вычнсленная по формуле (125.3), равна $P_{\text {порог }} \approx 17$ кВт. Если диаметр пучка $D=1$ мм, то формула (125.4) в этом случае дает $f_{\text {эф }} \approx 96$ см $\left(n_{0}=1,62\right)$. В некоторых сортах оптического стекла $P_{\text {порог }} \sim 1$ Вт. В этих случаях явление самофокусировки можно наблюдать не только в мощных пучках импульсных лазеров, но и в малоинтенсивных пучках лазеров непрерывного действия.