1. Необходимость отражения и преломления света на границе раздела двух сред следует уже из граничных условий. Действительно, как будет видно из дальнейшего, граничные условия могут быть удовлетворены, вообще говоря, лишь при наличии отраженной и преломленной волн. Будем обозначать падающую волну значком $e$ (entfallende), отраженную – значком $r$ (reflektierte), проходящую – значком $d$ (durchgehende).

Пусть на плоскую неподвижную границу раздела падает плоская монохроматическая волна
\[
\boldsymbol{E}^{(e)}=\overrightarrow{\mathscr{E}} e^{i\left(\omega t-k_{1} r\right)} .
\]

Из соображений симметрии следует, что отраженная и прошедшая волны
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{E}^{(r)}=\boldsymbol{R} e^{\left(\omega t-k_{1}^{\prime} r\right)}, \\
\boldsymbol{E}^{(d)}=\boldsymbol{D} e^{\left(1 \omega t-k_{2} r\right)}
\end{array}
\]

будут также плоскими и притом той же частоты (.) Равенство частот следует из линейности и однородности граничных условий. Если среды неподвижны, то коэффициенты при напряженностях полей в граничных условиях могут зависеть от координат, но не от времени. Пусть $\omega_{r}$ и $\omega_{d}$ – частоты отраженной и прошедшей волн. Тогда любое из граничных условий (63.1) принимает вид
\[
A(\boldsymbol{r}) e^{i \omega t}+B(\boldsymbol{r}) e^{i \omega t}+C(\boldsymbol{r}) e^{i \omega d^{t}}=0 .
\]

Коэффициенты $A(\boldsymbol{r}), B(\boldsymbol{r}), C(\boldsymbol{r})$ отличны от нуля, если только отраженная и прошедшая волны действительно существуют. Следовательно, функции $e^{i \omega t}, e^{i \omega r}, e^{i \omega} d^{t}$ линейно ‘зависимы, а это возможно лишь при $\omega=\omega_{r}=\omega_{d}$. Если граница движется, то $A, B$ и $C$ зависят не только от $r$, но и от времени. Тогда имеет место изменение частоты (эффект Допплера). В этой главе всюду предполагается, что среды неподвижны.
2. Найдем теперь волновые векторы отраженной и прошедшей волн. Формулы, определяющие эти векторы, называются геометрическими законами отражения и преломления волн. Они определяют направления распространения отраженной и прошедшей волн, а в случае их неоднородности также и затухание в пространстве.

Примем границу раздела сред за координатную плоскость $X Y$. За ось $X$ возьмем линию пересечения плоскости раздела сред с плоскостью падения. Ось $Z$ направим вниз, т. е. в сторону второй среды. Тогда ось, $Y$ окажется перпендикулярной к плоскости падения и будет лежать в плоскости раздела сред. Так как по доказанному частоты падающей, отраженной и прошедшей волн одинаковы, то любое из граничных условий (63.1) примет вид
\[
A e^{-i\left(k_{1} x+k_{1 y^{y}} y\right)}+B e^{-i\left(k_{1 x^{x}}^{x}+k_{1 y}^{\prime} y\right)}+C e^{-l\left(k_{2 x^{2}} x+k_{2} y^{y}\right)}=0,
\]

где $A, B, C$ – постоянные и притом отличные от нуля, если только отраженная и прошедшая волны действительно существуют. Полагая $y=0$, получаем линейную зависимость между функциями $e^{-i k_{1 x^{\prime}}^{x}}, e^{-i k_{1 x}^{\prime} x^{x}}, e^{-i k_{2} x^{x}}$ и поэтому заключаем, что

Аналогично,
\[
\begin{array}{l}
k_{1 x}=k_{1 x}^{\prime}=k_{2 x} . \\
k_{1 y}=k_{1 y}^{\prime}=k_{2 y} .
\end{array}
\]

Таким образом, тангенциальные составляющие волновых векторов отраженной и прошедшей волн равны тангенциальной составляющей волнового вектора падающей волны. Остается найти нормальные составляющие этих векторов. Согласно соотношению (5.14),
\[
\begin{array}{l}
k_{1}^{\prime 2}=k_{1}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} \varepsilon_{1}, \\
k_{2}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} \varepsilon_{2},
\end{array}
\]

где $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$ – диэлектрические проницаемости первой и вторөй сред. Далее
\[
\begin{array}{l}
k_{1 z}^{\prime}=-\sqrt{k_{1}^{2}-k_{1 x}^{2}}, \\
k_{2 z}=\sqrt{k_{2}^{2}-k_{1 x}^{2}} .
\end{array}
\]

Знак минус перед корнем в формуле (64.8) взят потому, что плюссоответствует падающей волне. Что касается знака перед корнем в (64.9), то он будет определен в дальнейшем из физических соображений.

Если падающая волна однородна, то из (64.4), (64.5) и (64.8): следует, что отраженная волна также однородна. Ее волновая нормаль лежит в плоскости падения, а угол отражения равен углу падения. Для проходящей волны надо различать два случая.

Пе р вый сл уч а й. $k_{2}^{2}>k_{1 x}^{2}$, т. е. преломленная волна однородна. Определим, какой знак следует выбрать в этом случае перед. квадратным корнем в (64.9). Знаку плюс соответствует волна, ғаспространяющаяся от границы раздела, – направление ее распространения обозначено на рис. 238 сплошной стрелкой. Знаку минус соответствует волна, идущая к границе раздела, – ее направление обозначено пунктирной стрелкой. Эти стрелки указывают направРис. 238. ления распространения волновых фронтов, т.е. плоскостей равных

раз. Ясно, что отраженная и преломленная волны должны быть уходящими от границы раздела. Этим требованием обеспечивается рднозначность решения задачи. Однако требование ухода относится не к фазе, а к энергии волны. Можно показать, что в случае электромагнитных волн в изотропных средах направления распространения фазы и энергии волны совпадают. Поэтому знак минус перед корнем в (64.9) следует отбросить; условиям задачи удовлетворяет только знак плюс.

Қак видно из (64.4), нормали к падающей и преломленной волнам пежат в плоскости падения. Если $\varphi$ – угол падения, а $\Psi$ – угол
преломления, то
\[
k_{1 x}=k_{1} \sin \varphi=\frac{\omega}{v_{1}} \sin \varphi, \quad k_{2 x}=k_{2} \sin \psi=\frac{\omega}{v_{2}} \sin \psi,
\]

откуда на основании (64.4)
\[
\frac{\sin \varphi}{\sin \psi}=\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}} .
\]

В торой случай. $k_{2}^{2}<k_{1 x}^{2}$, или $\omega^{2} / v_{2}^{2}<\omega^{2} \sin ^{2} \varphi / v_{1}^{2}$, откуда $\sin \varphi>v_{1} / v_{2}=n$. Здесь $n$ – относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Так как $\sin \varphi<1$, то рассматриваемый случай возможен только при $n<1$. Составляющая $k_{2 z}$ чисто мнимая, авволна во второй среде, если она существует, неоднородная. Знак корня в (64.9) определится из требования, чтобы при удалении от границы раздела амплитуда волны затухала.. Этому требованию удовлетворяет только выражение
\[
k_{2 z}=-i \sqrt{k_{1 x}^{2}-k_{2}^{2}}=-\frac{i}{2 h} .
\]

В самом деле, тогда (64.3) принимает вид
\[
\boldsymbol{E}^{(d)}=\boldsymbol{D} e^{-z / 2 h} e^{i\left(\omega t-k_{1} x\right)},
\]
т. е. волна во второй среде будет затухать в направлении оси $Z$, чего не получилось бы, если бы в (64.11) вместо минуса взять плюс. Плоскости равных фаз волны (64.12) перпендикулярны к оси $X$ и распространяются вдоль нее с фазовой скоростью $v_{x}=\omega / k_{1 x}$. Плоскости равных амплитуд параллельны границе раздела. При смещении вглубь среды на $h$ интенсивность волны (пропорциональная квадрату амплитуды) убывает в $e$ раз. Величина $h$ называется глубиной проникновения волны во вторую среду. Она равна
\[
h=\frac{1}{\sqrt{k_{1 x}^{2}-k_{2}^{2}}}=\frac{\lambda_{1}}{4 \pi \sqrt{\sin ^{2} \varphi-n^{2}}},
\]

где $\lambda_{1}$ – длина волны в первой среде.
Из (64.12) видно, что на больших (по сравнению с глубиной проникновения) расстояниях от границы раздела волна во второй среде практически полностью затухает. А так как поглощения света нет, то энергия падающей волны, проникшая во вторую среду, должна снова целиком возвратиться в первую среду. Иными словами, при $\sin \varphi>n$ отражение света должно быть полным. Угол $\varphi_{0}$, определяемый соотношением $\sin \varphi_{0}=n$, называется предельным углом полного отражения.
3. В случае обыкновенного отражения
\[
\begin{array}{ll}
\sin \varphi=k_{1 x} / k_{1}, & \cos \varphi=k_{1 z} / k_{1}, \\
\sin \varphi=k_{2 x} / k_{2}, & \cos \varphi=k_{2 z} / k_{2} .
\end{array}
\]

В случае полного отражения не существует вещественного угла $\psi$, удовлетворяющего соотношениям (64.14), так как они дают для $\sin \psi$ значения, превосходящие единицу, а для $\cos \psi$ – мнимые значения. Однако в целях сохранения единой формы записи при обыкновенном и полном отражениях целесообразно сохранить формулы (64.14) как простые определения $\sin \psi$ и $\cos \psi$. Поскольку эти величины удовлетворяют соотношению $\sin ^{2} \psi+\cos ^{2} \psi=1$, они могут рассматриваться как синус и косинус комплексного аргумента $\psi$ в смысле теории функций комплексного переменного:
\[
\sin \psi=\frac{e^{t \psi}-e^{-t \psi}}{2 i}, \quad \cos \psi=\frac{e^{t \psi}+e^{-t \psi}}{2} .
\]

Если $\sin \psi$ и $\cos \psi$ известны, то этими формулами аргумент $\psi$ определяется с точностью до целого кратного от $2 \pi$. Это не может сказаться на однозначности физических выводов, так как во все формулы будет входить не сам комплексный угол $\psi$, а его синус и косинус. Қ так определенным функциям $\sin \psi$ и $\cos \psi$ применимы все формальные соотноцения обычной тригонометрии. Поэтому над комплексными $\sin \psi$ и $\cos \psi$ можно выполнять все преобразования, как если бы они были обыкновенными синусом и косинусом.
Заметим, наконец, что вместо (64.14) можно написать
\[
\sin \psi=\sin \varphi / n, \quad \cos \psi=-\frac{1}{n} \sqrt{\sin ^{2} \varphi-n^{2}} .
\]