Ниже предполагается, что период решетки значительно больше длины световой волны, так что пропускаемость $D(x)$ можно вычислить в приближении геометрической оптики.
1. Начнем с плоской амплитудной решетки, состоящей из прозрачных щелей ширины $b$ и непрозрачных промежутков между ними ширины $a$. В приближении геометрической оптики пропускаемость $D(x)$ равна единице на щели и нулю в промежутках между ними. Начало коордннат поместим в середине щели. Тогда коэффициент Фурье $D_{m}$ представится выражением
\[
D_{m}=\frac{1}{d} \int_{-d / 2}^{+d / 2} D(x) e^{i m p x} d x=\frac{1}{d} \int_{-b / 2}^{+b / 2} e^{i m p x} d x=\frac{b}{d} \frac{\sin (\pi m b / d)}{\pi m b / d} .
\]

При вычислении интенсивности дифрагированного пучка в принципе следовало бы учесть изменение его поперечного сечения из за наклона к плоскости решетки. Однако это было бы превышением точности, так как наши вычисления применимы лишь при малых углах дифракции, когда $\cos \vartheta \approx 1$. В этом приближении относительная интенсивность $m$-го дифракционного пучка $I_{m}=D_{m}^{2}$. (Интенсивность падающей волны принята за единицу,) Для спектра нулевого порядка $D_{0}=b / d$, $I_{0}=(b / d)^{2}$. Полная интенсивность, пропускаемая решеткой, $I_{\text {проп }}=b / d$. Разность зтих величин дает суммарную интенсивность света, приходящуюся на спектры прочих порядков:
\[
\frac{b}{d}=\frac{b^{2}}{d^{2}}+\frac{2}{\pi^{2}} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^{2}} \sin ^{2} \frac{\pi m b}{d} .
\]
(Это – чисто математическое соотношение, доказываемое в теории рядов Фурье,)

Относичельная доля дифрагированного света будет
\[
\frac{I_{\text {прош }}-I_{0}}{I_{\text {прош }}}=1-\frac{b}{d} .
\]

Она максимальна и стремится к единице, когда $b / d \rightarrow 0$. Однако в этом случае сама интенсивность $I_{\text {nрош }}$ также стремится к нулю. Интенсивность $m$-го дифракционного пучка равна
\[
I_{m}=D_{m}^{2}=I_{0}\left[\frac{\sin (\pi m b / d)}{\pi m b / d}\right]^{2} .
\]

Когда $b / d \rightarrow 0$, интенсивности всех дифракционных пучков становятся одинаковыми и равными $I_{0}$. Однако, как уже отмечено выше, в этом случае каждая из өтих интенсивностей сама стремится к нулю.

Если $\pi m b / d=n \pi$, т. е. $b / d=n / m$, где $n-$ целое число, меньшее $m$ и взаимно простое с ним, то обращаются в нуль интенсивности спектров с порядками $m, 2 m$, $3 m, \ldots$ Так, при $b / d=1 / 2$ пропадают все спектры четных порядков. Смысл этого результата, как уже отмечалось в $\$ 46$, станет очевидным, если заметить, что условие $m$-го главного максимума $d \sin \vartheta=m \lambda$ умножением на $b / d=n / m$ преобразуется в $b \sin \vartheta=n \lambda$, т. е. в условие $n$-го дифракционного минимума при дифракции на отдельной щели. Таким образом, под углом Өै каждая щель, а потому и решетка в целом света не посылают.
2. Рассмотрим более общий случай. Допустим, что на участках длины $b$ пропускаемость решетки равна $\beta$, а на участках длины $\alpha$ она равна $\alpha$. Величины $\alpha$ и $\beta$ постоянны, но могут быть комплексными. Таким образом, решетка является амплитудно-фазовой. Қогда $\alpha$ и $\beta$ – числа вещественные, то решетка будет амплитудной. Если же они – числа вида $e^{i \rho}$ ( $\rho$ вещественно), то решетка становится чисто фазовой. Рассматриваемая амплитудно-фазовая решетка эквивалентна плоскопараллельной пластинке с пропускаемостью $\alpha$ и наложенной на нее дифракционной решетке. Пропускаемость последней на участках $b$ равна ( $\beta-\alpha$ ), а на участках $a$ – нулю. Разумеется, величины $\alpha$ и $\beta$, $a$ и $b$ можно поменять местами и получить вторую эквивалентную систему, Математически обе системы отличаются одна от другой только обозначениями, а потому достаточно рассмотреть лишь одну из них, например, первую.

Вычисление коэффициентов Фурье $D_{m}$ сводится к предыдущей задаче. Для плоскопараллельной пластинки все коэффициенты фурье обращаются в нуль, за исключением нулевого, который равен $\alpha$. Поэтому, поместив начало координат в центре одного из отрезков $b$ и воспользовавшись формулой (53.1), получим
\[
D_{m}=(\beta-\alpha) \frac{b}{d} \frac{\sin (\pi m b / d)}{\pi m b / d}+\alpha \delta_{m},
\]

где $\delta_{m}=1$ при $m=0$ и $\delta_{m}=0$ при $m
eq 0$. При $\alpha=0, \beta=1$ получаются результаты предыдущей задачи.
3. Рассмотрим теперь частные случаи чисто амплитудной и чисто фазовой решеток. Для амплитудной решетки величины $\alpha$ и $\beta$ вещественны и положительны. Все коэффициенты $D_{m}$ также вещественны. Знаки этих коэффициентов, начиная с $m= \pm 1$, чередуются. Коэффициенты нулевого и первого порядков могут иметь одинаковые или противоположные знаки в зависимости от соотношения между пропускаемостями $\alpha$ и $\beta$. В случае чисто фазовой решетки пропускаемости $\alpha$ и $\beta$ имеют вид $e^{i \rho}$. Так как существенна только разность фаз между волнами, исходяшими из участков $a$ и $в$, то без ущерба для общности можно положить $\alpha=1$, $\beta=e^{i_{\rho}}$. Тогда из формулы (53.5) находим
\[
\begin{aligned}
D_{m} & =\left(e^{i \rho}-1\right) \frac{b}{d} \frac{\sin (m \pi b / d)}{m \pi b / d} \quad(m
eq 0), \\
D_{0} & =\left(e^{i \rho}-1\right) \frac{b}{d}+1 .
\end{aligned}
\]

Как и в случае амплитудной решетки, коэффициенты Фурье $D_{m}$, начнная с $m=$ $= \pm 1$, попеременно меняют знаки, Никакого дополнительного сдвига фаз между этими коэффициентами нет,

Қачественное отличие фазовой решетки от амплитудной состоит в том что в случае фазовой решетки имеется дополнительный сдвиг фаз ч между спектром нулевого и спектрами всех прочих порядков. Чтобы его вычислить, найдем из формул (53.6) и (53.7) комплексное отношение $D_{m} / D_{0}$. Аргумент этого комплексного числа и будет $\varphi$. Простое вычисление дает
\[
\operatorname{tg} \varphi=\frac{b+a}{b-a} \frac{\sin \rho}{1-\cos \rho} .
\]

Сдвиг фаз $\varphi$ один и тот же для всех порядков $m$. Так как после дифракции на решетке спектры различных порядков пространственно разделяются на независимые пучки, то можно оказывать воздействие на каждый из них, не меняя при этом амплитуды и фазы всех остальных пучков. Например, если на пути нулевого пучка поставить прозрачную пластинку, которая изменила бы его фазу на $\varphi$, то фазовые соотношения между дифрагированными пучками будут такими же, как и у амплитудной решетки. С введением такой пластинки фазовая решетка действует как амплитудная. На этом основан метод фазового контраста, используемый в микроскопии (см. §59).

Отметим два частных случая. Во-первых, случай $a=b$. Тогда формула $(53.8)$ дает $\operatorname{tg} \varphi=\infty$, т. е, $\varphi=\pi / 2$. Во-вторых, случай малых значений $\rho$. Тогда
\[
\operatorname{tg} \varphi \approx \frac{b+a}{b-a} \frac{2}{\rho},
\]
т. е. $\operatorname{tg} \varphi$ очень велик, а самый угол $\varphi$ практически равен $\pi / 2$. В обоих случаях для превращения фазовой решетки в амплитудную на пути нулевого пучка или на пути всех прочих дифрагированных пучков достаточно ввести пластинку, вносящую дополнительную разность фаз $\pm \pi / 2$.
4. В качестве последнего примера рассмотрим фазовую решетку, профиль штрихов которой показан на рис. 205. Поперечное сечение штриха имеет форму треугольника, одна сторона которого длинная и пологая, а другая – короткая
Рис, 205,

и крутая. Такая решетка интересна тем, что при определенных условиях она может концентрировать основную часть света в спектре одного порядка. Решетка может действовать и как пропускающая, и как отражательная. Ради определенности разберем действие пропускающей решетки.

Поместим начало координат $O$ в середине длинной стороны $A B$. Пусть $a-$ длина проекции длинной, а $b$ – короткой стороны на направление оси $X$. Если $b \ll a$, то в интеграле (53.1) можно пренебречь вкладом, вносимым короткой стороной. В этом приближении можно положить $a=d$ и вычислить пропускаемость решетки только на участке $a$. Влияние пропускаемости участка $b$ практич чески не отразится на результатах. Пусть волна падает перпендикулярно к плоскости $X Y$ и в воздухе представляется выражением $E=E_{0} e^{-i k z}$. На входе, т.е. в плоскости $z=-h$, поле представляется выражением $E_{\text {вх }}=E_{0} e^{i k h}$. Чтобы вычислить поле на выходе при $z=+h_{2}$ можно $_{3}$ ввиду малости угла наклона $\alpha_{s}$

пренебречь преломлением. Если $z_{0}$ – текущая координата точки на прямой $A B$, то поле на выходе в лежащей под ней точкой будет равно
\[
E_{\text {вых }}=E_{0} e^{-i k z_{0}} \cdot e^{-i k n\left(h-z_{0}\right)}=e^{i \delta} e^{i k(n-1) z_{0}} E_{\mathrm{BX}},
\]

где $\delta$ – некоторая постоянная. Постоянный фазовый множитель $e^{i \delta}$ не играет роли иможет быть отброшен. Таким образом, пропускаемость решетки $D=e^{i k(n-1) z_{0}}$, или после подстановки $z_{0}=x \operatorname{tg} \alpha \approx \alpha x$
\[
D(x)=e^{i k(n-1) \alpha x} .
\]

Коэффициенты Фурье $D_{m}$ вычисляем по формуле (53.1) и находим
\[
D_{m}=\frac{\sin \pi[m+(d / \lambda)(n-1) \alpha]}{\pi[m+(d / \lambda)(n-1) \alpha]} .
\]

Если знаменатель этого выражения обращается в нуль, то почти весь свет сконцентрируется в спектре порядка $m$. Для этого должно быть $m+(d / \lambda)(n-1) \alpha=$ $=0$. С другой стороны, $d \sin \vartheta=m \lambda$, или, ввиду малости угла дифракции, $d \cdot \vartheta=m \lambda$. Исключая $m$, получаем
\[
\vartheta=-(n-1) \alpha .
\]

Эта формула показывает, что угол $\vartheta$ равен углу отклонения луча при преломлении в призме с малым преломляющим углом $\alpha$. Таким образом, почти весь свет может сконцентрироваться в одном направлении, если это направление совпадает с направлением преломленных лучей. Для концентрации необходимо, чтобы разность хода между пучками, преломленными на соседних ступеньках решетки, составляла целое число волн. С подобной концентрацией дифрагированного света в спектре одного порядка мы столкнулись также в § 48 при изучении эшелона Майкельсона.