1. До сих пор интерференция исследовалась только в идеальном случае монохроматического света. Интерференцию в немонохроматическом свете можно исследовать, разлагая свет по теореме Фурье на монохроматические составляющие. Если волновое поле в точке наблюдения описывается периодической функцией $E=E(t)$ с основным периодом $\tau$ и основной частотой $\Omega=2 \pi / \tau$, то его можно

преддставить в виде вещественной части ряда Фурье:
\[
E(t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} e^{i n \Omega t},
\]

коэффициенты которого определяются выражением
\[
a_{n}=\frac{1}{\tau} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} E(t) e^{-i n \Omega t} d t
\]
(см. т. III, § 128; конечно, в случае света постоянного слагаемого с коэффициентом $a_{0}$ не будет). Средняя за период объемная плотность энергии колебаний (в условных единицах) будет
\[
\bar{w}=\frac{1}{\tau} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2}|E|^{2} d t=\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{2}=\sum_{n=0}^{\infty} w_{n} .
\]

Она равна сумме средних плотностей энергии монохроматических колебаний, из которых складывается результирующее колебание. То же заключение справедливо и для интенсивности колебаний, если понимать под интенсивностью усредненную по периоду $\tau$ любую энергетическую величину, характеризующую поле излучения в рассматриваемой точке пространства.

Полученный результат остается приближенно верным и для случая, когда функция $E(t)$ не периодична, а представляется суперпозицией монохроматических колебаний, частоты которых распределены по спектру совершенно произвольно. Только в этом случае усреднение надо производить не по периоду $\tau$ (которого теперь не существует), а по времени, весьма большому по сравнению с периодами всех монохроматических колебаний, входящих в суперпозицию. Результат приближенно верен и в случае суперпозиции почти гармонических колебаний с произвольными частотами, например для света, состоящего из узких спектральных линий.
2. Если функция $E(t)$ не периодична, то она представляется не рядом, а интегралом Фурье. Для возможности такого представления на функцию $E(t)$ приходится накладывать различные (достаточные) ограничения, например требовать, чтобы она была абсолютно интегрируема во всем бесконечном интервале ( $-\infty$, $+\infty)$, т. е. чтобы сходился интеграл
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}|E(t)| d t .
\]

Это обстоятельство, однако, в физике не создает никаких существенных затруднений, даже в тех случаях, когда вводят функции, не обращающиеся в нуль на бесконечности, т. е. не удовлетворяющие требованию абсолютной интегрируемости.

Действительно, пусть $E(t)$ – такая функция. Разделим $t$ на интервалы времени, достаточно длительные по сравнению с периодами световых колебаний. Световое поле на каждом из таких интервалов $\left(t_{0}, t_{0}+\tau\right.$ ) и его воздействие на приемник при любом значении $t_{0}$ практически совсем не зависят от полей на соседних интервалах. Поэтому при рассмотрении света только на интервале $\left(t_{0}, t_{0}+\tau\right)$ функцию $E(t)$ вне рассматриваемого интервала можно заменить любой другой функцией. В частности, ее можно периодически продолжить за пределы интервала ( $t_{0}, t_{0}+\tau$ ) с периодом $\tau$. Но тогда для представления функции $E(t)$ в интервале $\left(t_{0}, t_{0}+\tau\right)$ можно воспользоваться рядом Фурье $(29,1)$. При этом, ввиду малости частоты $\Omega=2 \pi / \tau$, целесообразно ввести обозначения $\Delta \omega=\Omega$, $\omega_{n}=n \Omega$. Тогда
\[
E(t)=\sum a_{n} e^{i \omega_{n} t}=\sum \frac{a_{n}}{\Omega} e^{i \omega_{n} t} \Delta \omega .
\]

После аппроксимации суммы интегралом получаем
\[
E(t)=\int_{0}^{\infty} a(\omega) e^{i \omega t} d \omega,
\]

где $a(\omega)=a_{n} / \Omega$, или с учетом (29.2)
\[
a(\omega)=\frac{1}{\tau \Omega} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} E(t) e^{-i \omega t} d t=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} E(t) e^{-i \omega t} d t .
\]

Интеграл Фурье получается из этих формул, если в последнем выражении конечные пределы заменить на бесконечные – – и $+\infty$ (см. т. III, § 128). Однако здесь мы не будем делать этого, оставляя время $\tau$ неопределенным. При физической постановке задач всегда можно достигнуть необходимой точности, выбирая $\tau$ достаточно большим. Таким путем достигается то преимущество, что формулу (29.4) в каждом интервале длительностью $\tau$ можно будет применять и для функций $E(t)$, не интегрируемых абсолютно, например к плоским волнам постоянной интенсивности, не ограниченным во времени. При этом выражения (29.4) на разных интервалах времени $\tau$ (если $\tau$ выбрать достаточно большим), вообще говоря, не будут когерентны.
В случае интеграла Фурье формула (29.3) заменится на
\[
\int_{-\tau / 2}^{\tau / 2}|E|^{2} d t=\tau \Sigma\left|a\left(\omega_{n}\right) \Omega\right|^{2} .
\]

Если аппроксимировать сумму интегралом и учесть, что $\tau \Omega=2 \pi$, то получится
\[
\int_{-\tau / 2}^{\tau / 2}|E|^{2} d t=2 \pi \int_{0}^{\infty}|a(\omega)|^{2} d \omega
\]

О физическом смысле этого соотношения говорится ниже в пункте 5 .
3. Приведем пример спектрального разложения, приводящий к важным обобщениям. Бесконечно длящееся синусоидальное колебание является идеализацией ограниченного ряда, или цуга синусоидальных волн, представленного на рис. 130 , а «оборванной
Рис. 130.

синусоидой». Пусть $T_{0}$ – «период», а $\omega_{0}$ – «частота» этой «синусоиды». Тогда в комплексной форме
\[
a(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} \frac{1}{i} e^{i\left(\omega_{0}-\omega\right) t} d t=\frac{2}{\pi i} \frac{\sin 1 / 2\left(\omega-\omega_{0}\right) \tau}{1 / 2\left(\omega-\omega_{0}\right) \tau} .
\]

В вещественной форме
\[
E(t)=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin 1 / 2\left(\omega-\omega_{0}\right) \tau}{1 / 2\left(\omega-\omega_{0}\right) \tau} \sin \omega t d \omega .
\]

График функции $\frac{\sin \alpha}{\alpha}$, где $\alpha=\frac{\left(\omega-\omega_{0}\right) \tau}{2}$, приведен на рис. 130 , б. Таким образом, оборванный цуг волн, изображенный на рис. $130, a$, может быть представлен суперпозицией бесконечного множества синусоид, частоты которых непрерывно заполняют бесконечный интервал $0<\omega<+\infty$. Впрочем, основное значение имеет только интервал $-\frac{\pi}{2}<\alpha<+\frac{\pi}{2}$, или $\omega_{0}-\frac{\pi}{\tau}<\omega<\omega_{0}+\frac{\pi}{\tau}$, где амплитуды колебаний велики. На всех остальных участках амплитуды малы. Если ими пренебречь, то можно сказать, что весь спектр частот практически сосредоточен в пределах интервала шириной $\Delta \omega$, который удовлетворяет условию
\[
\Delta \omega \cdot \tau \gtrsim 2 \pi \text {. }
\]

Если ввести обычную частоту $v=\omega /(2 \pi)$, то
\[
\Delta v \cdot \tau \gtrsim 1 .
\]

Это важное соотношение между шириной спектра $\Delta \omega$ (или $\Delta v$ ) и длительностью цуга $\tau$ имеет общий характер. Его можно также уяснить на следующем простом примере. Рассмотрим множество синусоид с одинаковыми амплитудами, но различными частотами, непрерывно и равномерно заполняющими интервал $\Delta \omega$. Пусть в точке $t=0$ фазы всех синусоид совпадают, а следовательно, амплитуда колебаний максимальна. При $t=\tau / 2$ разность фаз между крайними синусоидами будет $\Delta \omega \cdot \tau / 2$. Если она сделается равной $2 \pi$, то в точке $t=\tau / 2$ наложатся синусоиды со всевозможными фазами, непрерывно и равномерно заполняющими интервал шириной $2 \pi$. При таком наложении, как леғко уяснить с помощью векторной диаграммы, синусоиды погасят друг друга. При том же условии произойдет взаимное гашение синусоид и в точке $t=-\tau / 2$. концах которого волновое поле обратится в нуль. На этом участке время $\tau$ связано с шириной спектра $\Delta \omega$ соотношением $\Delta \omega \cdot \tau=4 \pi$, которое по существу совпадает с (29.8).
4. Формула, аналогичная (29.8), имеет место и для пространственного распределения волнового поля, когда оно рассматривается в какоӥ-либо фиксированный момент времени Примером может служить «оборванная синусоида» на рис. 130, а, если по оси абсиисс откладывать координату $x$ в направлении распространения волны. При таком рассмотрении снова можно пользоваться формулой (29.4), заменив в ней время $t$ на координату $x$, а частоту $\omega$ на волновое число $k=\omega / v$. Поступив так, легко найти, что длина цуга волн $\Delta x$ связана с соответствующим интервалом волновых чисел $\Delta k$ соотношением
\[
-\Delta k \cdot \Delta x \gtrsim 2 \pi \text {. }
\]

Этот результат будет обобщен в $\S 44$ на случай трех измерений. Соотношения (29.8) и (29.9) играют важную роль в квантовой механике, где они при несколько иной интерпретации выражают так называемый принцип неопределенности Гайзенберга (1901-1976).
5. Когда ширина спектра $\Delta \omega$ достаточно мала $(\Delta \omega \ll \omega)$, то соответствующий свет называют квазимонохроматическим. Часто пользуются также «спект роскопическим волновыл числом» $\hat{k}=k /(2 \pi)$. Для него
\[
\Delta \tilde{k} \cdot \Delta x \gtrsim 1 .
\]

Примером могут служить спектральные линии, излучаемые разреженными газами. Квазимонохроматический свет можно выделить из непрерывного спектра излучения (например, Солнца) призмой, дифракционной решеткой или другими приборами, осуществляющими спектральное разложение. За меру монохроматичности света можно принять отношение $|\omega / \Delta \omega|$ или равное ему отношение $|\lambda / \Delta \lambda|$. Наибольшей монохроматичностью обладает свет, ‘излучаемый газовыми лазерами. Нельзя, однако,. упускать из виду, что цуг волн или световой пучок, занимающий спектральную сб.тасть $\Delta \omega$, должен обладать конечной длительностью, не меньшей $\tau \approx$ $\approx 2 \pi / \Delta \omega$. В частности, не имеет смысла говорить о мгновенной объемной плотности энергии излучения в интервале $d \omega$, т. е. о величине $\sim|d E|^{2}=|a(\omega) d \omega|^{2}$. Вместо мгновенной пало пользоваться средней плотностью энергии излучения за время порядка $\tau \approx 2 \pi / d \omega$. Это значит, что интенсивность излу чения в спектральном интервале $(\omega, \omega+d \omega)$ должна определяться величиной, пропорциональной $\tau|d E|^{2}$, т. е. $|a(\omega)|^{2} d \omega$. Величину $|a(\omega)|^{2}$ называют спектральной плотностью излучения. Именно такую величину имеют в виду, говоря о распределении интенсівности или энергии излучения в спектре. Вместо частоты можно, конечно, пользоваться длинами волн, представляя ту же величину в внде $\left|a_{\lambda}(\lambda)\right|^{2} d \lambda$. Очевидно, $a(\omega)=2 \pi c a_{\lambda}(\lambda) / \omega^{2}$.
З А Д А ч А
Разложить в интеграл Фурье и найти спектральную плотноггь излучения для затухающего осциллятора, волновое поле которого опреде.тяется выражением
\[
E(t)=e^{-t / \tau} \sin \omega_{0} t \quad(t \geqslant 0) .
\]

Ответ: $\quad a(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \frac{1}{\left(\omega-\omega_{0}\right)-\imath / \tau}$,
\[
|a(\omega)|^{2}=\frac{1}{4 \pi^{2}} \frac{1}{\left(\omega-\omega_{0}\right)^{2}+(1 / \tau)^{2}} .
\]

Если $\omega-\omega_{0}=1 / \tau$, т. е. $\Delta \omega \cdot \tau=1$, то спектральная плотность излучения умсньшается в два раза.

Этот пример снова подтверждает общее соотношение (29.8). В примере, рассмотренном в тексте (рис. 130, б), спектральная плотность излучения $|a(\omega)|^{2}$ на краях интервала $-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$ убывает в $(\pi / 2)^{2} \approx 2,5$ раза по сравнению с той же величиной при $\alpha=0$.