1. Қак и в диэлектриках, распространение электромагнитных волн в металлах описывается уравнениями Максвелла
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{rot} \boldsymbol{H}=\frac{1}{c} \dot{\boldsymbol{D}}+\frac{4 \pi}{c} \boldsymbol{j}, \\
\operatorname{rot} \boldsymbol{E}=-\frac{1}{c} \dot{\boldsymbol{B}}, \\
\operatorname{div} \boldsymbol{D}=4 \pi \rho, \\
\operatorname{div} \boldsymbol{B}=0 .
\end{array}
\]

По сравнению с диэлектриками добавляется член с током проводимости $j$. В статических и низкочастотных полях ток обусловлен движением практически одних только свободных электронов. Движение связанных электронов, а тем более атомных ядер в этой области спектра не играет никакой роли. Но уже в инфракрасной области, где лежат собственные частоты колебаний атомных ядер, движения последних начинают существенно влиять на оптическое поведение металлов (резонанс). В дальнейшем, в видимой и ультрафиолетовой областях спектра, в колебания вовлекаются и связанные электроны.

Смещения связанных зарядов вызывают поляризацию металлов, аналогичную поляризации диэлектриков. Появляется ток поляризации. Однако в высокочастотных полях нет существенной разницы между движениями свободных и связанных частиц. Нерационально связывать ток проводимости с движением только свободных, а ток поляризации – только связанных электронов. Этим понятиям надо дать точные определения, в соответствии с тем, как они используются в теории.

Можно поступить следующим образом. Вынужденное колебание заряженной частицы (электрона или атомного ядра) в поле световой волны можно разложить на колебание, происходящее в фазе (или противофазе) с электрнческим полем, и колебание, сдвинутое относительно него по фазе на $90^{\circ}$. Ток, обусловленный первыми колебаниями, условимся называть током проводимости и обозначать его плотность через $j$. Токи проводимости вызывают поглощение электромагнитных волн. Токи же, обусловленные колебаниями, сдвинутыми по фазе на $90^{\circ}$, назовем токами поляризации. С ними не связано поглощение волн. Плотность тока поляризации можно представить в виде $\boldsymbol{j}_{\text {пол }}=\dot{\boldsymbol{P}}$, где $\boldsymbol{P}$ – вектор поляризации. На последнее соотношение можно смотреть как на определение вектора $\boldsymbol{P}$, Тем самым в металлах раскрывается и точный смысл вектора индукции $D=E+4 \pi P$, который входит в уравнения (71.1).

Магнитные свойства вещества, не играющие существенной роли в оптической области спектра, мы учитывать не будем Металлы будем считать оптически изотропными, хотя все металлы (за исключением, конечно, жидких) и имеют кристаллическую структуру. Однако кристаллы кубической системы оптически изотропны. Другие металлы, как правило, макроскопически изотропны, так как они состоят из множества хаотически ориентированных кристалликов, размеры которых малы по сравнению с длиной волны. Для изотропных металлов материальные уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{D}=\boldsymbol{e}^{\prime} \boldsymbol{E}, \\
\boldsymbol{j}=\sigma \boldsymbol{E} .
\end{array}
\]

Величина $\sigma$ называется ялектрической проводимостью, а $\varepsilon^{\prime}$ диэлектрической проницаемостью металла. (Мы пользуемся обозначением $\varepsilon^{\prime}$, сохраняя $\varepsilon$ для обозначения комплексной величины, вводимой ниже.) Обе величины $\varepsilon^{\prime}$ и $\sigma$ являются функциями частоты $\omega$. Поэтому в уравнениях (71.2) и (71.3) поле $\boldsymbol{E}$ должно предполагаться монохроматическим. Немонохроматические поля надо разлагать на монохроматические составляющие и применять принцип суперпозиции.

С наличием проводимости о связано поглощение света в металлах. С точки зрения излагаемой здесь формальной теории поглощение света есть не что иное, как превращение электромагнитной энергии в джоулево тепло.

Материальные уравнения (71.2) и (71.3) дают лишь грубое описание оптических свойств металлов (см. § 74) В ряде вопросов, в особенности для коротких волн (ультрафиолетовые, видимые и короткие инфракрасные лучи), они приводят к выводам, не совсем согласующимся с опытом. Более удовлетворительная теория должна основываться на квантовой теории металлов. Однако изложение такой теории далеко выходит за рамки этой книги.
2. Для монохроматических полей $\dot{D}=i \omega D=i \omega \varepsilon^{\prime} E$, так что правая часть первого уравнения (71.1) преобразуется в $\frac{1}{c}\left(i \omega \varepsilon^{\prime}+\right.$ $+4 \pi \sigma) E$. Если ввести. величину
\[
\varepsilon=\varepsilon^{\prime}-i \frac{4 \pi \sigma}{\omega} \equiv \varepsilon^{\prime}-i \varepsilon^{\prime \prime},
\]

называемую комплексной диэлектрической проницаемостью, то система уравнений (71.1) примет вид
\[
\operatorname{rot} \boldsymbol{H}=\frac{i \omega}{c} \varepsilon \boldsymbol{E}, \quad \operatorname{rot} \boldsymbol{E}=-\frac{i \omega}{c} \boldsymbol{H},
\]
т. е. формально совпадет с соответствующими уравнениями для диэлектриков. Граничные условия также имеют одинакөвый вид: они требуют непрерывности тангенциальных компонент векторов $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ на границе раздела сред. Как следствие таких граничных условий и уравнений (71.5), получается непрерывность нормальных компонент вектора $\varepsilon \boldsymbol{E}$ (см. § 63). Поэтому любое соотношение оптики прозрачных сред, полученное из уравнений (71.5) и граничных условий с помощью линейных вещественных операций, может быть формально перенесено в оптику металлов и других фоглощающих сред простой заменой вещественной величины в на комплексную. Требуется только дополнительное исследование физического содержания и .смысла полученного соотношения.

Для характеристики оптических свойств металлов применяется также комплексный показатель преломления v. Он определяется соотношением
\[
v^{2}=\varepsilon=\varepsilon^{\prime}-i \varepsilon^{\prime \prime} .
\]

Полагая
\[
v=n-i x,
\]

где $n$ и $x$ вещественны и существенно положительны, получим
\[
n^{2}-x^{2}=\varepsilon^{\prime}, \quad \dot{2} n x=\varepsilon^{\prime \prime} .
\]

Величина $n$ называется главным показателем преломления металла. Величину х называют главным показателем затухания. Этот термин надо предпочесть обычно употребляемому термину «показатель поглощения», так как затухание волны может происходить и без поглощения. Примером может служить плазма, когда частота $\omega$ меньше так называемой плазменной частоты (см. § 87). Для нее величина $\varepsilon$ вещественна, но отрицательна, т. е. $\varepsilon^{\prime \prime}=0$. В этом случае поглощения нет, но есть затухание, так как $\sqrt{\varepsilon}-$ величина чисто мнимая, а потому $x
eq 0$.

Если среда однородна, то в ней могут распространяться плоские монохроматические волны вида (5.3). Для них должны выполняться соотношения
\[
\begin{array}{c}
E=-\frac{c}{\omega \varepsilon}[k B], \quad B=\frac{c}{\omega}[k E], \\
k^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} \varepsilon=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\left(\varepsilon^{\prime}-i \varepsilon^{\prime \prime}\right) .
\end{array}
\]

В поглощающей среде волновой вектор $\boldsymbol{k}$ всегда комплексный, а соответствующая плоская волна всегда неоднородна. Это естественно, так как при наличии поглощения плоская волна не может распространяться без затухания. Положим
\[
\boldsymbol{k}=\boldsymbol{k}^{\prime}-\boldsymbol{i} \boldsymbol{k}^{n},
\]

где $\boldsymbol{k}^{\prime}$ и $\boldsymbol{k}^{\prime \prime}$ – вещественные векторы. Тогда на основании (71.10)
\[
k^{\prime 2}-k^{\prime 2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} \varepsilon^{\prime}, \quad 2\left(k^{\prime} k^{\prime \prime}\right)=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} \varepsilon^{\prime \prime} .
\]

Вектор $\boldsymbol{k}^{\prime}$ указывает направление распространения плоскостей равных фаз. В направлении вектора $k^{\prime \prime}$ убывает амплитуда волны. В общем случае плоскости равных фаз и плоскости равных амплитуд не перпендикулярны между собой. Перпендикулярность всегда имеет место только для непоглощающих сред, когда $\varepsilon^{\prime \prime}=0$.