1. Выражение для плотности электромагнитной энергии $\omega=\left(\varepsilon E^{2}+\mu H^{2}\right) /(8 \pi)$ получается в предположении, что $\varepsilon$ и $\mu$ постоянны, т. е. не зависят от часто́ты $\omega$ (см.т. III, § 84). В случае диспергирующих сред это выражение неприменимо. Не разбирая этот вопрос в общем виде, выведем выражение для средней плотности электромагнитной энергии в непоглощающей диспергирующей среде на частном примере, принадлежащем М. Л. Левину.
Пусть вещество с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon(\omega)$ и магнитной проницаемостью $\mu(\omega)$ заполняет плоский конденсатор с емкостью $C=\varepsilon(\omega) C_{0}$ и тонкий соленоид с ин; дуктивностью $L=\mu(\omega) L_{0}$, соединенные в колебательный контур (рис. 306). Здесь $C_{0}$ и $L_{0}$ — значения емкости и ин: дуктивности для того случая, когда в пространстве между
Рис. 306. енсатора и внутри соленоида вакуум. При отсутствии сопрообкладками конденсатора и внутри соленоида вакуум. При отсутствии сопрос циклической частотой $\omega=1 / \sqrt{L(\omega) C(\omega)}$. Если в некоторый момент времени ввести в контур малое сопротивление $R$, то, начиная с этого момента, колебания сделаются затухающими и первоначально запасенная электромагнитная энергия будет переходить в джоулево тепло, выделяющееся в сопротивлении $R$. Полное количество тепла, выделившееся в сопротивлении $R$ за время, когда колебания прекратятся, будет равно электромагнитной энергии, запасенной в контуре до введения сопротивления. Поэтому задача сводится к вычислению джоулева тепла.
Пусть при $t<0$ в контуре совершаются свободные колебания:
\[
I=I_{0} e^{i \omega t}, \quad V=V_{0} e^{i \omega t},
\]

где $I$ — сила тока в контуре, а $V$ — напряжение на обкладках конденсатора, связанные между собой соотношением $L I+V=0$, или $i \omega L I+V=0$. Еслй в момент $t=0$ в контур ввести сопротивление $R$, то, начиная с этого момента, колебания будут описываться уравнением

откуда
\[
L \tilde{\omega}) \ddot{I}+R I+\frac{I}{C(\tilde{\omega})}=0,
\]
\[
I=I_{0} e^{i \tilde{\omega} t}, \quad t>0,
\]

где $\tilde{\omega}$ — комплексная частота, определяемая уравнением
\[
\tilde{\omega} L(\tilde{\omega})-\frac{1}{\tilde{\omega} C(\tilde{\omega})}=i R .
\]

Если $R$ исчезающе мало, то $\tilde{\omega}$ должна отличаться от $\omega$ также на исчезающе малую величину, Но $\omega$ удовлетворяет уравнению
\[
\omega L(\omega)-\frac{1}{\omega C(\omega)}=0 .
\]

Вычитая его из предыдущего соотношения и заменяя все разности дифферен丸иалами, получим
\[
\left[\frac{d}{d \omega}(\omega L)+\frac{1}{\omega^{2} C^{2}} \frac{d}{d \omega}(\omega C)\right](\tilde{\omega}-\omega)=i R,
\]

откуда $\tilde{\omega}=\omega+i \delta$, причем
\[
\frac{R}{\delta}=\frac{d(\omega L)}{d \omega}+\frac{1}{\omega^{2} C^{2}} \frac{d(\omega C)}{d \omega}=\frac{d(\omega L)}{d \omega}+\frac{L}{C} \frac{d(\omega C)}{d \omega} .
\]

Для определения джоулева тепла надо проинтегрировать выражение $R I^{2}$ по времени. Поскольку возведение в квадрат — нелинейная операция, необходимо перейти к вещественной форме, т. е. сделать замену
\[
I \rightarrow \operatorname{Re}(I)=\left(I+I^{*}\right) / 2 .
\]

Энергия, первоначально запасенная в колебательном контуре, равна
\[
W=\int_{0}^{\infty} R\left(\frac{1+l^{*}}{2}\right)^{2} d t=\frac{R\left|I_{0}\right|^{2}}{4}\left\{\frac{\delta}{\omega^{2}+\delta^{2}}+\frac{1}{\delta}\right\}
\]

или в пределе при $\delta \rightarrow 0$
\[
W=\frac{\left|I_{0}\right|^{2}}{4} \frac{R}{\delta} .
\]

Подставляя сюда значение для $R / \delta$ и пользуясь соотношением $\omega L\left|I_{0}\right|=\left|V_{0}\right|$, получим
\[
W=\frac{L_{0}\left|l_{0}\right|^{2}}{4} \frac{d(\omega \mu)}{d \omega}+\frac{C_{0}\left|V_{0}\right|^{2}}{4} \frac{d(\omega \varepsilon)}{d \omega} .
\]

Если бы между обкладками конденсатора и внутри соленоида был вакуум, то для средних по времени значений магнитной и электрической энергий можно было бы написать
\[
\frac{L_{0}\left|I_{0}\right|^{2}}{4}=\frac{1}{8 \pi} \overline{H^{2}} \tau_{m}, \frac{C_{0}\left|V_{0}\right|^{2}}{4}=\frac{1}{8 \pi} \overline{E^{2}} \tau_{e},
\]

где $\tau_{m}$ и $\tau_{e}$ — объемы соленоида и конденсатора, а $\boldsymbol{E}$ и ‘ $\boldsymbol{H}$ — напряженности электрического и магнитного полей, когда амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в соленоиде равны $V_{0}$ и $I_{0}$. Но при заданных $V_{0}$ и $I_{0}$ поля $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ не зависят от среды, заполняющей конденсатор и соленоид. Поэтому предыдущие соотношения остаются справедливыми и в том случае, когда конденсатор и соленоид заполнены веществом. Используя их, получаем следующие выражения для средних по времени значений плотностей электрической и магнитной энергий:
\[
\begin{array}{l}
\bar{\varpi}_{e}=\frac{\bar{W}_{e}}{\tau_{e}}=\frac{1}{8 \pi} \frac{d(\omega \varepsilon)}{d \omega} \overline{E^{2}}, \\
\bar{\varpi}_{m}=\frac{\bar{W}_{m}}{\tau_{m}}=\frac{1}{8 \pi} \frac{d(\omega \mu)}{d \omega} \overline{H^{2}} .
\end{array}
\]

Принципиальный недостаток приведенного вывода состоит в том, что в нем дифференцирование функций $\omega L$ и $\omega C$ производится вдоль мнимой оси (так как разность частот $\tilde{\omega}-\omega=i R$ — величина чисто мнимая), а в окончательном выражении (88.1) производится подмена дифференцированием по вещественной переменной $\omega$. Так можно поступать, когда функции $\omega L$ и $\omega C$ аналитичны. Поэтому для полноты доказательства надо было бы доказать аналитичность этих функций, чего в выводе Левина нет. Это можно сделать в общей теории дисперсии, исследуя аналитические свойства функций $\varepsilon(\omega)$ и $\mu(\omega)$. Однако рассмотрение этого вопроса выходит за рамки нашей книги.
2. Смысл формулы (88.1) полезно уяснить на примере газа классических гармонических осцилляторов в монохроматическом электрическом поле с частогой $\omega$. Вдали от собственной частоты $\omega_{0}$ осциллятора можно пренебречь затуханием. Тогда смещение осциллятора из положения равновесия выразится формулой
\[
r=\frac{e E}{m\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)} .
\]

В этом случае энергия слагается из энергии самого электромаенитного поля (т. е. поля в вакууме) и из энергии частиц, находящихся в поле. Последняя энергия в свою очередь состоит из кинетической и потенциальной энергии колеблющихся осцилляторов. В статических полях кинетической энергии нет. Это приводит к формуле $v=\varepsilon E^{2} /(8 \pi)$. В переменных полях кинетическую энергию надо учитывать, что и делается ниже.
Плотность собственно энергии электрического поля равна
\[
w_{1}=\frac{1}{8 \pi}\left(\frac{E+E^{*}}{2}\right)^{2}=\frac{E^{2}}{32 \pi}+\frac{E E^{*}}{32 \pi}+\text { компл. сопр. }
\]

Плотность потенциальной энергии:
\[
\omega_{2}=\frac{N m \omega_{0}^{2}}{2}\left(\frac{r+r^{*}}{2}\right)^{2}=\frac{N m \omega_{0}^{2}}{8}\left(\boldsymbol{r}^{2}+r r^{*}\right)+\text { компл. сопр. }
\]

Плотность кинетической энергии:
\[
w_{3}=\frac{N m}{2}\left(\frac{\dot{\boldsymbol{r}}+\dot{\boldsymbol{r}}^{*}}{2}\right)^{2}=-\frac{N m \omega^{2}}{8}\left(\boldsymbol{r}^{2}-\boldsymbol{r} \boldsymbol{r}^{*}\right)+\text { компл. сопр. }
\]

Подставляя сюда выражение для $\boldsymbol{r}$ и замечая, что из формулы Зельмейера следует
\[
\frac{d(\omega \varepsilon)}{d \omega}=1+\frac{(\varepsilon-1)\left(\omega_{0}^{2}+\omega^{2}\right)}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}},
\]

получим для плотности электрической энергии:
\[
w_{e}=\frac{\varepsilon E^{2}}{32 \pi}+\frac{1}{32 \pi} \frac{d(\omega \varepsilon)}{d \omega}\left(E E^{*}\right)+\text { компл. сопр. }
\]

Усредняя по времени, получаем первую формулу (88 1). Для плотности маг нитной энергии имеем обычное выражение, как в недиспергирующей среде.
З АД А Ч и
1. Рэлей предложил определять среднюю скорость движения энергии и в плоской бегущей волне как отношение средней плотности потока энергии к средней плотности самой энергии. Пользуясь выражением для вектора Пойнтинга, пока зать, что так определенная скорость в случае монохроматической электромагнитной волны совпадает с групповой скоростью.

Решение. Для средних плотностей энергии и ее потока нетрудно получить
\[
\bar{\omega}=\frac{c}{8 \pi} \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}} \frac{d k}{d \omega}\left(E E^{*}\right), \quad \bar{S}=\frac{c}{8 \pi} \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\left(E E^{*}\right),
\]

откуда и следует требуемый результат.
2. Показать, что если $\varepsilon(\omega)$ и $\mu(\omega)$ положительны, то фазовая и групповая скорости в электромагнитной волне направлены в одну сторону,
$\mathrm{P}$ еше ни е, Средняя плотность электромагнитной энергии
\[
\bar{w}=\frac{1}{8 \pi} \frac{d(\omega \varepsilon)}{d \omega}\left(E E^{*}\right)+\frac{1}{8 \pi} \frac{d(\omega \mu)}{8 \pi}\left(H H^{*}\right)
\]

— существенно положительная величина. В плоской волне $\varepsilon\left(E E^{*}\right)=\mu\left(H H^{*}\right)$, Поэтому
\[
\frac{d(\omega \varepsilon)}{d \omega}+\frac{\mu}{\varepsilon} \frac{d(\omega \mu)}{d \omega}>0
\]

Это неравенство должно соблюдаться для любых сред, у которых знаки $\varepsilon$ и $\mu$ совпадают, поскольку оно выведено в предположении, что в среде может распространяться однородная монохроматическая волна, для которой $k^{2}=\varepsilon \mu \omega^{2} / c^{2}>0$. В том же предположении имеет смысл говорить о групповой скорости. Преобразовав предыдущее неравенство к виду
\[
\mu \frac{\omega}{k} \frac{d \omega}{d k}=\mu v u>0,
\]

легко получить требуемый результат.