Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. Выражение для плотности электромагнитной энергии $\omega=\left(\varepsilon E^{2}+\mu H^{2}\right) /(8 \pi)$ получается в предположении, что $\varepsilon$ и $\mu$ постоянны, т. е. не зависят от часто́ты $\omega$ (см.т. III, § 84). В случае диспергирующих сред это выражение неприменимо. Не разбирая этот вопрос в общем виде, выведем выражение для средней плотности электромагнитной энергии в непоглощающей диспергирующей среде на частном примере, принадлежащем М. Л. Левину. где $I$ – сила тока в контуре, а $V$ – напряжение на обкладках конденсатора, связанные между собой соотношением $L I+V=0$, или $i \omega L I+V=0$. Еслй в момент $t=0$ в контур ввести сопротивление $R$, то, начиная с этого момента, колебания будут описываться уравнением откуда где $\tilde{\omega}$ – комплексная частота, определяемая уравнением Если $R$ исчезающе мало, то $\tilde{\omega}$ должна отличаться от $\omega$ также на исчезающе малую величину, Но $\omega$ удовлетворяет уравнению Вычитая его из предыдущего соотношения и заменяя все разности дифферен丸иалами, получим откуда $\tilde{\omega}=\omega+i \delta$, причем Для определения джоулева тепла надо проинтегрировать выражение $R I^{2}$ по времени. Поскольку возведение в квадрат – нелинейная операция, необходимо перейти к вещественной форме, т. е. сделать замену Энергия, первоначально запасенная в колебательном контуре, равна или в пределе при $\delta \rightarrow 0$ Подставляя сюда значение для $R / \delta$ и пользуясь соотношением $\omega L\left|I_{0}\right|=\left|V_{0}\right|$, получим Если бы между обкладками конденсатора и внутри соленоида был вакуум, то для средних по времени значений магнитной и электрической энергий можно было бы написать где $\tau_{m}$ и $\tau_{e}$ – объемы соленоида и конденсатора, а $\boldsymbol{E}$ и ‘ $\boldsymbol{H}$ – напряженности электрического и магнитного полей, когда амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в соленоиде равны $V_{0}$ и $I_{0}$. Но при заданных $V_{0}$ и $I_{0}$ поля $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ не зависят от среды, заполняющей конденсатор и соленоид. Поэтому предыдущие соотношения остаются справедливыми и в том случае, когда конденсатор и соленоид заполнены веществом. Используя их, получаем следующие выражения для средних по времени значений плотностей электрической и магнитной энергий: Принципиальный недостаток приведенного вывода состоит в том, что в нем дифференцирование функций $\omega L$ и $\omega C$ производится вдоль мнимой оси (так как разность частот $\tilde{\omega}-\omega=i R$ – величина чисто мнимая), а в окончательном выражении (88.1) производится подмена дифференцированием по вещественной переменной $\omega$. Так можно поступать, когда функции $\omega L$ и $\omega C$ аналитичны. Поэтому для полноты доказательства надо было бы доказать аналитичность этих функций, чего в выводе Левина нет. Это можно сделать в общей теории дисперсии, исследуя аналитические свойства функций $\varepsilon(\omega)$ и $\mu(\omega)$. Однако рассмотрение этого вопроса выходит за рамки нашей книги. В этом случае энергия слагается из энергии самого электромаенитного поля (т. е. поля в вакууме) и из энергии частиц, находящихся в поле. Последняя энергия в свою очередь состоит из кинетической и потенциальной энергии колеблющихся осцилляторов. В статических полях кинетической энергии нет. Это приводит к формуле $v=\varepsilon E^{2} /(8 \pi)$. В переменных полях кинетическую энергию надо учитывать, что и делается ниже. Плотность потенциальной энергии: Плотность кинетической энергии: Подставляя сюда выражение для $\boldsymbol{r}$ и замечая, что из формулы Зельмейера следует получим для плотности электрической энергии: Усредняя по времени, получаем первую формулу (88 1). Для плотности маг нитной энергии имеем обычное выражение, как в недиспергирующей среде. Решение. Для средних плотностей энергии и ее потока нетрудно получить откуда и следует требуемый результат. – существенно положительная величина. В плоской волне $\varepsilon\left(E E^{*}\right)=\mu\left(H H^{*}\right)$, Поэтому Это неравенство должно соблюдаться для любых сред, у которых знаки $\varepsilon$ и $\mu$ совпадают, поскольку оно выведено в предположении, что в среде может распространяться однородная монохроматическая волна, для которой $k^{2}=\varepsilon \mu \omega^{2} / c^{2}>0$. В том же предположении имеет смысл говорить о групповой скорости. Преобразовав предыдущее неравенство к виду легко получить требуемый результат.
|
1 |
Оглавление
|