1. Если в «неподвижной» системе $S$ распространяется монохроматическая волна с определенной частотой $\omega$ и в определенном направлении, то в «движущейся» системе $S^{\prime}$ та же волна будет иметь другую частоту $\omega^{\prime}$ и распространяться в другом направлении. Изменение частоты волны при переходе от одной системы отсчета к другой называется эффектом Допплера (1803-1853), а изменение направления – аберрацией света. При изложении теории этих явлений мы ограничимся случаем, когда световая волна распространяется в вакууме. Тогда в обеих системах отсчета пространство, в котором распространяется волна, будет изотропным. При наличии же среды изотропия сохранится только в той системе отсчета, в которой среда покоится. В системе отсчета, относительно которой среда движется, появляется анизотропия, вносящая осложнения в теорию эффекта Допплера и аберрации в материальных средах.

В релятивистской теории изменение частоты и направления распространения волны проще всего можно определить из условия равенства фаз одной и той же волны в обеих системах отсчета. Предполагая, что волна плоская, это условие можно записать в виде
\[
\omega t-\boldsymbol{k} \boldsymbol{r}=\omega^{\prime} t^{\prime}-\boldsymbol{k}^{\prime} \boldsymbol{r}^{\prime},
\]

где $\boldsymbol{r}, \boldsymbol{t}$ и $\boldsymbol{r}^{\prime}, \boldsymbol{t}^{\prime}$ – координаты и время одного и того же события в рассматриваемых системах отсчета, причем начало отсчета времени выбрано так, что в момент совмещения начал координат обеих систем $t=t^{\prime}=0$.

Для доказательства сформулированного условия предположим, что в началах координат в момент $t \doteq t^{\prime}=0$ на волне сделана метка, переносимая волной с фазовой скоростью, так что фаза коле- бания в месте нахождения метки в обеих системах отсчета будет $\varphi_{1}=\varphi_{1}^{\prime}=0$. Вообразим теперь произвольно движущихся наблюдателей $A$ и $A^{\prime}$, из которых $A$ для определения своего положения в пространстве и времени пользуется координатами и часами системы $S$, а $A^{\prime}$ – координатами и часами системы $S^{\prime}$. Можно, например, не нарушая общности, предположить, что наблюдатель $A$ покоится в системе отсчета $S$, а наблюдатель $A^{\prime}$ – в системе отсчета $S^{\prime}$. Однако это предположение в такой специальной форме не обязательно. (Обычно при рассмотрении эффекта Допплера систему $S$ связывают с источником, а систему $S^{\prime}$ – с наблюдателем.) Оба наблюдателя начинают счет проходящих мимо них волн с того момента, когда мимо них проходит сделанная метка. Пусть оба наблюдателя встречаются друг с другом. Обозначим через $r, t$ координаты и время этого события в системе $S$, а через $r^{\prime}, t^{\prime}-$ в системе $S^{\prime}$. Наблюдатель $A$ найдет, что к моменту встречи фаза пришедшего к нему колебания будет $\varphi_{2}=\omega t-k r$, и сосчитает к этому моменту
\[
N=\frac{\varphi_{2}-\varphi_{1}}{2 \pi}=\frac{\omega t-k r}{2 \pi}
\]

волн. Наблюдатель $A^{\prime}$ найдет, что к моменту встречи мимо него прошло
\[
N^{\prime}=\frac{\omega^{\prime} t^{\prime}-k^{\prime} r^{\prime}}{2 \pi}
\]

волн. Но число прошедших волн не может зависеть от того, кто их считает, а потому
\[
N=N^{\prime}, \quad \text { или } \quad \omega t-k \boldsymbol{r}=\omega^{\prime} t^{\prime}-\boldsymbol{k}^{\prime} \boldsymbol{r}^{\prime},
\]

что и требовалось доказать.
Для нахождения формул, определяющих преобразование частоты и направления распространения волны в релятивистской теории, достаточно в формуле (107.1) выразить переменные $\boldsymbol{r}(x, y, z)$ и $\boldsymbol{t}$ через переменные $\boldsymbol{r}^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ и $t^{\prime}$, воспользовавшись для этого формулами преобразования Лорентца (105.14). Сделав это и сравнив коэффициенты при одинаковых переменных, получим
\[
\begin{array}{c}
\omega^{\prime}=\frac{\omega-k_{x} V}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \\
k_{x^{\prime}}^{\prime}=\frac{k_{x}-\omega V / c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad k_{y^{\prime}}^{\prime}=k_{y}, \quad k_{z^{\prime}}^{\prime}=k_{z} .
\end{array}
\]

Аналогично получаются формулы обратного преобразования:
\[
\begin{array}{c}
\omega=\frac{\omega^{\prime}+k_{x^{\prime}}^{\prime} V}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \\
k_{x}=\frac{k_{x^{\prime}}^{\prime}+\omega V / c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad k_{y}=k_{y^{\prime}}^{\prime}, \quad k_{z}=k_{z^{\prime}}^{\prime} .
\end{array}
\]

Формулы (107.2) и (107.4) описывают эффект Допплера, а формулы (107.3) и (107.5) – аберрацию света.
2. Рассмотрим частный случай, когда волна распространяется вдоль оси $X$. В этом случае полагаем в формуле (107.2) $k_{x}=\omega / c$ и получаем
\[
\omega^{\prime}=\omega \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} .
\]

Изменение ‘частоты в этом случае называется продольным эффектом Допплера. Понятно, что результат (107.6) можно получить и из общей формулы (107.4). Частота волны при наблюдении из системы – $S^{\prime}$ уменьшается, когда эта система движется в направлении распространения волны, и увеличивается, когда она движется навстречу волне. При медленных движениях, когда можно пренебречь квадратами отношения $\beta \equiv V / c$, формула (107.6) переходит в
\[
\omega^{\prime} \approx \omega(1-\beta)=\omega(1-V / c) .
\]
3. Рассмотрим теперь второй частный случай, когда наблюдение ведется в системе отсчета $S^{\prime}$ и притом перпендикулярно к направлению распространяющейся в ‘ней волны. В этом случае удобнее воспользоваться формулой (107.4), полагая в ней $k_{x^{\prime}}^{\prime}=0$. Это дает
\[
\omega^{\prime}=\omega \sqrt{1-\beta^{2}} \approx \omega\left(1-\beta^{2} / 2\right) .
\]

Iіроисходит смещение настоты в длинноволновую область спектра во втором порядке по $\boldsymbol{\beta}$. Это – чисто релятивистский эффект, невозможный в классической (дорелятивистской) теории. Он называется поперечным эффектом. Допплера.

Для установления физического смысла поперечного эффекта Допплера предположим, что мимо наблюдателя прошел цуг из $N$ волн. Наблюдатель измерил по своим часам время прохождения этого цуга и нашел для него значение $t^{\prime}$. Очевидно, $\omega^{\prime}=2 \pi N / t^{\prime}$. Найдем длительность того же процесса по часам системы $S$. Для этого надо отметить показания таких часов в моменты прохождения начала и конца цуга мимо наблюдателя. Разность этих показаний и определит длительность цуга $t$ по ча́сам системы $S$. Опять можно написать $\omega=2 \pi N / t$ и, следовательно, $\omega^{\prime} / \omega=t / t^{\prime}$. В этих измерениях время $t^{\prime}$ измеряется с помощью одних и тех же часов, неподвижных относительно наблюдателя, а для измерения времени $t$ надо пользоваться различными часами системы $S$, синхронизованными между собой. Поэтому часы наблюдателя надо рассматривать как «неподвижные», а все часы системы $S$ – как «движущиеся» (см. §106, пункт 2). Но движущиеся часы идут медленнее неподвижных, причем $t / t^{\prime}=\sqrt{1-\beta^{2}}$, а потому $\omega^{\prime}=\omega \sqrt{1-\beta^{2}}$. Таким образом, поперечный эффект Допплера есть не что иное; как проявление релятивистского эффекта замедления хода движущихся часов. Тем же эффектом объясняется появление квадратного корня $\sqrt{1-\beta^{2}}$ в формулах (107.2) и (107.4).
4. Поперечный эффект Допплера впервые удалось наблюдать Айвсу и Стилуэллу в 1938 г., а затем в 1941 г. Источником света служил пучок каналовых лучей атомов водорода, несущихся со значительной скоростью $v \sim 10^{8} \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. Специальная конструкция трубки өбеспечивала высокую однородность каналовых лучей по скоростям. Скорость $v$ вычислялась по приложенному к электродам напряжению и по величине продольного допплеровского эффекта. Свет, испущенный движущимися атомами перпендикулярно к направлению их движения, попадал в спектрограф. По оценке авторов спектрограф давал возможность измерять длину волны с точностью 0,00025 нм. Главная трудность опыта состояла в том, что при отклонении направления пучка каналовых лучей от строгой перпендикулярности к линии наблюдения поперечное допплеровское смещение, пропорциональное $(v / c)^{2}$, могло оказаться перекрытым более сильным продольным эффектом Допплера, поскольку этот эффект первого порядка по $(v \cos \vartheta) / c(\vartheta-$ угол между скоростью атома и линией наблюдения). При скорости атома $v \approx 10^{8}$ см/с оба эффекта сравнимы между собой уже при $\vartheta \sim 5^{\prime}$. Эта трудность была преодолена тем, что ось спектрографа устанавливалась перпендикулярно к плоскости зеркала. В спектрограф попадал не только свет, непосредственно излученный атомом, но и свет, отраженный от зеркала. Последний можно рассматривать как свет, излученный движущимся изображением атома. Если атом движется под углом $\vartheta$ к линии наблюдения, то его изображение в зеркале будет двигаться под углом $\pi$ – . Допплеровские смещения первого порядка для атома и его изображения в зеркале будут равны по величине, но противоположны по знаку. Если бы не было смещения второго порядка, то в спектрографе наблюдались бы две линии $\lambda_{1}=\lambda-\Delta \lambda$ и $\lambda_{2}=\lambda+$ $+\Delta \lambda$, симметрично расположенные относительно исходной линии $\lambda$. Эта симметрия будет нарушена поперечным допплеровским смещением $\delta \lambda$, которое происходит всегда в длинноволновую сторону спектра. С учетом этого $\lambda_{1}=\lambda-\Delta \lambda+\delta \lambda, \lambda_{2}=\lambda+\Delta \lambda+\delta \lambda$. Отсюда
\[
\delta \lambda=\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{2}-\lambda .
\]

Таким путем удается отделить квадратичный (поперечный) эффект Допплера от линейного (продольного). Согласно (107.8), изменение длины волны при поперечном эффекте Допплера определяется выражением
\[
\delta \lambda=\frac{1}{2} \lambda \beta^{2} .
\]

В одном из опытов при напряжении на трубке 6788 В ожидаемое смещение, вычисленное по напряжению, должно было быть $\delta \lambda=$ $=0,00116$ нм, а вычисленное по линейному допплеровскому смещению 0,00109 нм. Опыт дал $\delta \lambda=0,0011$ нм. Подобное согласие получалось и при других напряжениях на трубке.

Результаты Айвса и Стилуэлла были подтверждены и другими учеными. Это были первые опыты, на которых впервые было экспериментально доказано релятивистское замедление времени, хотя сами Айвс и Стилуэлл, ничего не говоря о теории относительности, пытались интерпретировать их с точки зрения старой теории эфира.
5. Перейдем теперь к аберрации света. Введем единичные векторы $N$ и $N^{\prime}$ в направлении распространения волны в системах отсчета $S$ и $S^{\prime}$. Тогда $\boldsymbol{k}=\omega \boldsymbol{N} / c, \boldsymbol{k}^{\prime}=\omega^{\prime} N^{\prime} / c$, и из формул (107.2) и (107.3) получим
\[
N_{x^{\prime}}^{\prime}=\frac{N_{x}-\beta}{1-\beta N_{\lambda}}, \quad N_{y^{\prime}}^{\prime}=\frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta N_{x}}, \quad N_{z^{\prime}}^{\prime}=\frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta N_{x}} .
\]

Аберрация света была открыта в 1727 г. королевским астрономом Брадлеем (1692-1762) при наблюдении звезд в телескоп. По этой причине ее называют также астрономической аберрацией. При описании этого явления в качестве «неподвижной» системы отсчета $S$ ‘ возьмем систему Коперника (в которой Солнце считается неподвижным), а в качестве «движущейся» системы $S^{\prime}$ – систему, связанную с Землей. При этом мы полностью отвлечемся от вращения Земли вокруг собственной оси и будем рассуждать так, как если бы этого вращения совсем не было. Оси $X$ и $X^{\prime}$ выберем в направлении орбитального движения Земли, скорость которого обозначим через $\boldsymbol{V}$. Ось $Y$ направим произвольно, но перпендикулярно к направлению движения Земли. Обозначим далее через $\alpha$ угол между направлением на звезду (направлением оси телескопа) в системе $S$ и положительным направлением оси $Y$ (рис. 334). Тогда $N_{x}=-\sin \alpha$, $N_{y}=-\cos \alpha, N_{z}=0$. Соответствующие величины в системе $S^{\prime}$ обозначим теми же буквами, но со штрихами. После подстановки в первую формулу (107.10) получим
\[
\sin \alpha^{\prime}=\frac{\sin \alpha+\beta}{1+\beta \sin \alpha},
\]

или
\[
\sin \alpha=\frac{\sin \alpha^{\prime}-\beta}{1-\beta \sin \alpha^{\prime}} .
\]

Рис. 334 .
Формулами (107.11) и (107.12) и определяется направление распространения волны в

одной из систем отсчета, если известно это направление в другой системе отсчета.

Рассмотрим частный случай, когда свет в системе $S$ распространяется вдоль оси $Y$. В этом случае $\alpha=0$, и следовательно,
\[
\sin \alpha^{\prime}=\beta \text {. }
\]

Для того чтобы увидеть звезду в телескоп, его необходимо из перпендикулярного положения наклонить вперед на угол $\alpha^{\prime}$, определяемый формулой (107.13). Угол $\alpha^{\prime}$ называется углом аберрации. В аналогичном случае, когда свет в системе $S^{\prime}$ распространяется вдоль оси $Y^{\prime}$; т. е. когда $\alpha^{\prime}=0$, получим
\[
\sin \alpha=-\beta .
\]

Телескоп надо наклонить на такой же угол, но уже назад. Скорость орбитального движения Земли $V \approx 30 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$, так что $\alpha \approx V / c \approx$ $\approx 10^{-4}$ рад $\approx 20,5^{\prime \prime}$.

Если бы скорость $\boldsymbol{V}$ оставалась постоянной по величине и направлению, то видимое положение звезд на небесном своде оставалось бы неизменным и заметить аберрацию было бы нельзя. В действительности направление движения Земли по ее орбите непрерывно изменяется. Вследствие этого из-за аберрации будет изменяться и видимое положение звезд на небесном своде. Через полгода направление движения Земли изменится на противоположное, а угол аберрации изменит знак. Если звезда находится в плоскости земной орбиты, то ее видимое положение будет совершать в той же плоскости прямолинєйное колеґ апие с угловой амплитудой $\alpha=V / c=20,5^{\prime \prime}$ и периодом в один год. Если направление на звезду (в системе $S$ ) перпендикулярно к плоскости земной орбиты, то видимое положение ее на небесном своде будет описывать окружность с угловым радиусом $20,5^{\prime \prime}$. Во всяком промежуточном положении траекторией видимого положения звезды будет эллипс, большая полуось которого имеет такие же угловые размеры. Так выглядело бы явление аберрации света в воображаемом идеальном случае, если бы единственным движением Земли было только ее движение по круговой орбите вокруг Солнца. В действительности аберрация света есть ничтожный эффект, накладывающийся на движение звезд по небесному своду, обусловленное вращением Земли вокруг собственной оси. Требовалась исключительная наблюдательность и экспериментальное искусство, чтобы выделить и измерить этот эффект. Это и было сделано Брадлеем.

Подчеркнем особо, что явление аберрации света не имеет никакого отношения к самой скорости движения звезд относительно Земли. Оно отражает только изменение скорости этого относительного движения, обусловленное движением Земли. Вот почему аберрация света одна и та жедля всех звезд, хотя их скорости относительно Земли весьма различны.
6. Брадлей видел в явлении аберрации доказательство конечности скорости распространения света. Измерив угол аберрации $\alpha$, он вычислил эту скорость по формуле $\alpha=V / c$. По времени это было второе (после Рёмера) измерение скорости света. Сам Брадлей истолковал открытое им явление с точки зрения ньютоновской корпускулярной теории света. В нерелятивистской кинематике скорости световой корпускулы $\boldsymbol{v}$ и $\boldsymbol{v}^{\prime}$ в системах отсчета $S$ и $S^{\prime}$ связаны соотношением $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}^{\prime}+\boldsymbol{V}$. Ограничимся случаем, когда в системе $S$ световая корпускула движется по оси $Y$ со скоростью $v_{y}=-c$. В системе $S^{\prime}$ появляется составляющая скорости корпускулы в перпендикулярном направлении $v_{x}^{\prime}=v_{x}-V_{x}=-V$. Из-за этого траектория корпускулы в системе $S^{\prime}$ будет наклонена к оси $Y^{\prime}$ под углом $\alpha^{\prime}$, определяемым формулой
\[
\operatorname{tg} \alpha^{\prime}=\frac{v_{x}^{\prime}}{v_{y}^{\prime}}=-\frac{V}{c}=\beta .
\]

Этой формулой в ньютоновской корпускулярной теории и определяется угол аберрации. При малых углах $\alpha^{\prime}$ она совпадает с релятивистской формулой (107.13), если пренебречь квадратичными членами по $\beta$. Если бы к движению световой корпускулы применить реляттивистский закон сложения скоростей (с учетом того, что скорость корпускулы по абсолютной величине равна $c$ ), то получились бы в точности прежние релятивистские формулы (107.10). Наблюдение аберрации света не позволяет, следовательно, сделать выбор между волновой и корпускулярной теориями света.
7. Истолкование аберрации в волновых теориях света, даже в их электромагнитной форме, встретило большие трудности, пока әти теории оставались механистическими. Все они были неудовлетворительны уже по той причине, что вводили произвольные предположения относительно механических свойств эфира и его движения относительно Земли. Впервые безупречная и в идейном отношении необычайно простая теория аберрации света (и оптического эффекта Допплера) была дана только в теории относительности.

В связи с этим затронем один вопрос, поставленный в эфирной теории света. Что будет с углом аберрации, если телескоп для его измерения заполнить водой? На этот вопрос эфирные теории света давали различный ответ, в зависимости от того, какие предположения вводили они о движении эфира относительно Земли и т.п. Опыт был поставлен Эйри в 1871 г. Оказалось, что при заполнении телескопа водой угол аберрации не изменяется. Объяснение этого результата в теории относительности не представляет затруднений. Для простоты рассуждений обратим направление распространения света, предположив, что источник света помещен в главном фокусе объектива телескопа. Поскольку нет никакого эфира, в системе отсчета, где телескоп покоится, вода или воздух, заполняющие его, а также стекло самого объектива телескопа оптически изотропны. В этой системе отсчета лучи выйдут из телескопа параллельно главной оптической оси, независимо от того, заполнен ли телескоп водой или не заполнен. Для определения угла аберрации надо выполнить переход к движущейся системе отсчета $S^{\prime}$. Но это можно сделать для волны, уже вышедшей из телескопа. Направление этой волны совершенно не зависит от того, какой средой заполнен сам телескоп. Наличие телескопа и этой среды на таком переходе никак не отразится. Следовательно, и угол аберрации не будет зависеть от среды, заполняющей телескоп.