Найдем теперь плотность энергии и удельную интенсивность равновесного излучения в прозрачной однородной изотропной среде с показателем преломления $n$. Такое излучение устанавливается в замкнутой полости, заполненной рассматриваемой средой, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре. В точности такое же излучение установится в среде и в том случае, когда она заполняет только часть полости. Предположим, что часть полости заполнена рассматриваемой средой, а в другой находится вакуум. Равновесное излучение как в среде, так и в вакууме совершенно не зависит от формы и свойств поверхности, вдоль которой среда граничит с вакуумом. Не меняя окончательного результата, можно принять, что эта граница плоская и гладкая.

Излучение в среде не зависит и от ее размеров. Поэтому среду можно считать настолько протяженной, чтобы при сколь угодно малом коэффициенте поглощения световой луч, вступивший в среду, успел полностью поглотиться, не достигнув стенок полости. Тогда обмен энергией между средой и вакуумом будет происходить только в результате отражения и преломления излучения на рассматриваемой границе. Такой обмен подчиняется принципу детального равновесия и не может нарушить состояние равновесия излучения как в среде, так и в вакууме. Из этого условия и можно найти соотноиение между плотностью энергии $u^{0}$ и удельной интенсивностью $I^{0}$ излучения в вакууме с такими же величинами $u$ и $I$ в среде. (В этом параграфе все величины, относящиеся к вакууму, снабжены нулем в индексе, а все величины в среде оставлены без индекса.)

Ввиду выполнения принципа детального равновесия, рассуждение достаточно провести не для всего излучения, а только для произвольной части его, заполняющей интервал частот $\omega, \omega+d \omega$. Через единичную площадку границы раздела в единицу времени из вакуума в пределах телесного угла $d \Omega_{0}$ падает лучистый поток $\Phi_{1}=$ $=I_{\omega}^{0} d \Omega_{0} d \omega \cos \varphi_{0}$, где $\varphi_{0}-$ угол падения (рис. 340). Согласно прин-
Рис. 340.
ципу детального равновесия, должен существовать такой же лучистый поток, распространяющийся в обратном направлении. Он состоит из двух потоков. Первый поток возникает в результате отражения потока $\Phi_{2}$ и равен $\left(1-A_{\omega}\right) I_{\omega}^{0} d \Omega_{0} d \omega \cos \varphi_{0}$. Второй поток возникает в результате преломления потока $\Phi_{3}$, приходящего снизу из среды. Так как в силу формул Френеля коэффициенты отражения на границе раздела при прямом и обратном ходе лучей одинаковы, то второй поток будет $A_{\omega} I_{\omega} d \Omega d \omega \cos \varphi$, где $\varphi-$ угол преломления, а $d \Omega$ телесный угол в среде, переходящий при преломлении в $d \Omega_{0}$. Сокращая на $d \omega$, запишем условие детального равновесия в виде
\[
\left(1-A_{\omega}\right) I_{\omega}^{0} \cos \varphi_{0} d \Omega_{0}+A_{\omega} I_{\omega} \cos \varphi d \Omega=I_{\omega}^{0} \cos \varphi_{0} d \Omega_{0},
\]

или
\[
I_{\omega} \cos \varphi d \Omega=I_{\omega}^{0} \cos \varphi_{0} d \Omega_{0} .
\]

В качестве $d \Omega_{0}$ возьмем (не изображенный на рис. 340) телесный угол, заключенный между коническими поверхностями, образующие которых составляют с нормалью к границе раздела углы $\varphi_{0}$ и $\varphi_{0}+d \varphi_{0}$, т. е. $d \Omega_{0}=2 \pi \sin \varphi_{0} d \varphi_{0}$. Аналогично, $d \Omega=2 \pi \sin \varphi d \varphi$. Тогда
\[
I_{\omega} \cos \varphi \sin \varphi d \varphi=I_{\omega}^{0} \cos \varphi_{0} \sin \varphi_{0} d \varphi_{0} .
\]

В силу закона преломления $\sin \varphi_{0}=n \sin \varphi$, так что $\cos \varphi_{0} d \varphi_{0}=$ $=n \cos \varphi d \varphi$. Поэтому
\[
I_{\omega} \sin \varphi=n I_{\omega}^{0} \sin \varphi_{0} .
\]

Отсюда в силу того же закона преломления
\[
I_{\omega}=n^{2} I_{\omega}^{0} .
\]

Эта формула и решает поставленную задачу. Она была получена Кирхгофом в 1860 г. и независимо от него Клаузиусом в 1864 г. Ее называют формулой Кирхгофа – Клаузиуса.

В вакууме величины $I_{\omega}^{0}$ и $u_{\omega}^{0}$ связаны соотношением (112.6), т. е. $c u_{\omega}^{0}=4 \pi I_{\omega}^{0}$. В среде оно заменяется на $v_{\text {гр }} u_{\omega}=4 \pi I_{\omega}$, где $v_{\text {гр }}$ – групповая скорость. Следовательно,
\[
u_{\omega}=u_{\omega}^{0} n^{2} \frac{c}{v_{r p}} .
\]

Для недиспергирующих сред
\[
u_{\omega}=n^{3} u_{\omega}^{0} .
\]

Соотношениям (114.1) и (114.3) можно придать другую, легче запоминаемую форму, глубокий смысл которой выяснится при рассмотрении проблемы методами статистической физики (см. § 117). Для этого заметим, что $n=\lambda_{0} / \lambda$. Тогда (114.1) и (114.3) преобразуются в
\[
\begin{array}{l}
\lambda^{2} I_{\omega}=\lambda_{0}^{2} I_{\omega}^{0}, \\
\lambda^{3} u_{\omega}=\lambda_{0}^{8} u_{\omega}^{0} .
\end{array}
\]

Соотношение (114.4) означает, что в равновесном излучении потоки лучистой энергии через квадратную площадку со стороной, равной длине волны $\lambda$ (в рассматриваемой среде), отнесенные к единице телесного уг.аа, в направлении нормали к площадке одинаковы для всех сред и зависят только от их температуры. Это утверждение справедливо как для полного потока, так и для его монохроматических составляющих. Аналогично, соотношение (114.5) утверждает, что энергия равновесного излучения, локализованная в кубике с ребром, равным длине волны $\lambda$, одинакова во всех изотропных недиспергирующих средах и определяется только температурой среды. Это утверждение относится также не только к полной плотности энергии, но и к ее монохроматическим составляющим.