1. В 1916 г. Эйнштейн дал новый вывод формулы Планка, основанный на представлениях Бора о механизме излучения. В этой работе было введено понятие индуцированного излучения явления, на котором основан принцип действия лазера.

Пусть $\mathscr{E}_{1}, \mathscr{E}_{2}, \mathscr{E}_{3}, \ldots$ – значения энергии, которые может принимать атом или вообще любая атомная система. Атом может самопроизвольно перейти из высшего энергетического состояния $\mathscr{E}_{n}$ в низшее $\mathscr{E}_{m}$ с испусканием света. Такое излучение называется спонтанным. Если атом находится в световом поле, то последнее может вызывать переходы как с высшего уровня $\mathscr{E}_{n}$ на низший $\mathscr{E}_{m}$, так и обратно с низшего $\mathscr{E}_{m}$ на высший $\mathscr{E}_{n}$. – Первые переходы сопровождаются излучением света. Оно и называется индуцированным (вынужденным) излучением. Обратные переходы сопровождаются поглощением света атомом.

Имеются аналоги описанных явлений и в классической физике. Если атом рассматривать как колебательную систему, то в поле световой волны она будет совершать вынужденные колебания. В зависимости от соотношения фаз между колебаниями этой системы и светового поля амплитуда колебаний атома может как увеличиваться (поглощение света), так и уменьшаться (вынужденное излучение).

Эйнштейн применил к описанию процессов спонтанного и вынужденного излучения вероятностные методы. При этом для проблемы равновесного излучения не имеет значения, присуща ли вероятность ансамблю физических объектов или самим элементарным законам, управляющим их поведением.

Рассмотрим теперь много одинаковых атомов в световом поле. Последнее будем предполагать изотропным и неполяризованным. Тогда отпадает вопрос о зависимости коэффициентов, вводимых ниже, от поляризации и направления излучения. Пусть $N_{m}$ и $N_{n}-$ числа атомов в состояниях $\mathscr{E}_{m}$ и $\mathscr{E}_{n}$, причем состояния $\mathscr{E}_{m}$ и $\mathscr{E}_{n}$ могут быть взяты какими угодно из ряда допустимых состояний $\mathscr{E}_{1}$, $\mathscr{E}_{2}, \mathscr{E}_{3}, \ldots$ Среднее число переходов атомов из состояния $\mathscr{E}_{n}$ в состояние $\mathscr{E}_{m} \cdot$ в единицу времени из-за спонтанного излучения будет пропорционально исходному числу атомов $N_{n}$. Представим его в виде $A_{n}^{m} N_{n}$. Эйнштейн постулировал, что из-за индуцированного излучения среднее число переходов между теми же уровнями будет по-прежнему пропорционально $N_{n}$, а также спектральной плотности излучения $u\left(\omega_{m n}\right)$ при частоте испускаемого света, соответствующей рассматриваемому переходу. Обозначим это число через $B_{n}^{m} N_{n} u\left(\omega_{m n}\right)$. Аналогично, среднее число переходов с Іуровня $\mathscr{E}_{m}$ на уровень $\mathscr{E}_{n}$ из-за поглоцения света представ ится как $B_{m}^{n} N_{m} u\left(\omega_{m n}\right)$. Величины $A_{n}^{m}, B_{n}^{m}, B_{m}^{n}$ называются коэффициентами Эйнштейна. Они являются характеристиками только самого атома и могут зависеть лишь от частоты $\omega_{m n}$.
2. Допустим теперь, что поле излучения, в котором находятся атомы, равновесное и имеет температуру $T$. Тогда имеет место детальное равновесие, а потому
\[
A_{n}^{m} N_{n}+B_{n}^{m} N_{n} u\left(\omega_{m n}\right)=B_{m}^{n} N_{m} u\left(\omega_{m n}\right) .
\]

Если уровни энергии $\mathscr{E}_{m}$ и $\mathscr{E}_{n}$ простые, а не кратные, то коэффициенты Эйнштейна связаны соотношением
\[
B_{m}^{n}=B_{n}^{m} .
\]

Действительно, будем повышать температуру системы. Коэффициенты Эйнштейна при этом меняться не будут, так как они от температуры не зависят. Спонтанное же излучение будет играть все меньшую и меньшую роль по сравнению с индуцированным. Если им пренебречь, то условие детального равновесия примет вид $B_{n}^{m} N_{n}=B_{m}^{n} N_{m}$. Но, согласно формуле Больцмана, при $T \rightarrow \infty$ населенности уровней $N_{n}$ и $N_{m}$ должны сравняться. Отсюда и следует, что $B_{m}^{n}=B_{n}^{m}$.

Допустим теперь, что уровень $\mathscr{E}_{m}$ состоит из $g_{m}$, а уровень $\mathscr{E}_{n}$ из $g_{n}$ слившихся простых энергетических подуровней. Такие уровни называются кратными, а целые числа $g_{m}$ и $g_{n}$ – их кратностями. Вероятность перехода атома с уровня $\mathscr{E}_{m}$ на каждый простой подуровень $\mathscr{E}_{n}$ меньше вероятности перехода на кратный уровень $\mathscr{E}_{n}$ в $g_{n}$ раз, т. е. она равна $u B_{m}^{n} / g_{n}$. Аналогично, вероятность перехода с уровня $\mathscr{E}_{n}$ на простой подуровень $\mathscr{E}_{m}$ будет $u B_{n}^{m} / g_{m}$. Но по доказанному эти вероятности равны между собой. Поэтому для кратных уровней соотношение (119.2) заменится на $B_{m}^{n} / g_{n}=B_{n}^{m} / g_{m}$ или
\[
g_{m} B_{m}^{n}=g_{n} B_{n}^{m} .
\]

Так как спектральная плотность излучения $u(\omega)$ не зависит от того, какие атомы использованы для ее вычисления, то для простоты расчета энергетические уровни $\mathscr{E}_{n}, \mathscr{E}_{m}$ можно считать простыми. Тогда с учетом формулы Больцмана
\[
\frac{N_{m}}{N_{n}}=\exp \left(\frac{\mathscr{E}_{n}-\mathscr{E}_{m}}{k T}\right)
\]

из (119.1) получим
\[
u\left(\omega_{m n}\right)=\frac{\alpha\left(\omega_{m n}\right)}{\exp \left[\left(\mathscr{E}_{n}-\mathscr{E}_{m}\right) /(k T)\right]-1},
\]

где $\alpha\left(\omega_{m n}\right)=A_{n}^{m} / B_{n}^{m}$. Сравнение этого выражения с формулой Вина (116.10) показывает, что разность $\mathscr{E}_{n}-\mathscr{E}_{m}$ должна быть линейной функцией частоты, т. е.
\[
\mathscr{E}_{n}-\mathscr{E}_{m}=\hbar \omega_{m n} .
\]

В предельном случае низких частот (или высоких температур)
\[
u\left(\omega_{m n}\right)=\frac{\alpha\left(\omega_{m n}\right) k T}{\hbar \omega_{m n}},
\]

Но в этом случае применима формула Рэлея – Джинса, так что
\[
\alpha\left(\omega_{m n}\right)=\frac{\hbar \omega_{m n}^{3}}{\pi^{2} c^{3}} .
\]

Подставим тёперь выражения (119.5) и (119.6) в формулу (119.4). При этом индексы $m$ и $n$ можно опустить, так как в нашем выводе уровни энергии $\mathscr{E}_{m}$ и $\mathscr{E}_{n}$ можно взять произвольными. Тогда получится формула Планка (118.6).

Из универсальности функции (118.6) следует, что и постоянная $\hbar$, введенная посредством состношения (119.5), также универсальна. Формула (119.5), определяющая частоту излучаемого света пр! квантовых переходах между энергетическими уровнями, называется правилом частот Бора.

Заметим еще, что если бы не учитывать индуцированное излучение, т. е. положить $B_{n}^{m} u\left(\omega_{m n}\right)=0$, то вместо формулы Планка получился бы ее предельный случай – формула Вина (118.11). Отсюда следует, что формула Планка с неизбежностью приводит $\kappa$ заключению о существовании индуцированного излучения. При низких температурах индуцированное излучение, очевидно, несущественно по сравнению со спонтанным. Вот почему в области низких температур, когда $\hbar \omega / k T \gg 1$, справедлива формула Вина.

ЗАДА ч и
1. Определить среднее число фотонов $n$ в единице объема полости, заполненной равновесным (черным) излучением, при температуре $T$. О т в е т.
\[
n=\frac{k^{3} T^{3}}{\hbar^{3} \pi^{2} c^{3}} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2} e^{-x}}{1-e^{-x}} d x=\frac{2 k^{3} T^{3}}{\hbar^{3} \pi^{2} c^{3}}\left(1+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots\right) \approx 1,202 \frac{2 k^{3} T^{3}}{\hbar^{3} \pi^{2} c^{3}}=20,5 T^{3},
\]

где $T$ – температура в кельвинах,
2. В полости с зеркальными стенками находится изотропное излучение с средней плотностью $n$ фотонов в единице объема. Определить среднее число фотонов $z$, ежесекундно ударяющихся об единицу площади стенки.
Отв т. $\quad z=\frac{1}{4} n c$.
3. Решить предыдущую задачу в предположении, что излучение равновесное, а температура стенок полости равна $T$. Какое среднее число фотонов $N$ будет выходить ежесекундно из полости через отверстие в стенке полости площадью $s=1 \mathrm{~cm}^{2}$, если $T=1000 \mathrm{~K}$ ?
От в т, $n \approx 2,404 \frac{k^{3} T^{3}}{\hbar^{3} \pi^{2} c^{3}}, \quad N=0,6 \frac{k^{3} T^{3}}{\hbar^{3} \pi^{2} c^{2}} \approx 1,5 \cdot 10^{20}$.
4. В какой области спектра равновесного (черного) излучения при температуре $T=300 \mathrm{~K}$ интенсивность индуцированного излучения превосходит интенсивность спонтанного?

Ответ. Если $\lambda \geqslant h c /(k T \ln 2)$, то интенсивность индуцированного излучения становится равной или большей интенсивности спонтанного. При $T=$ $=300 \mathrm{~K}$ получаем $\lambda \geqslant 692$ мкм.
5. При какой температуре равновесного (черного) излучения индуцированное излучение в видимой области ( $\lambda=550$ нм) превосходит спонтанное?
Ответ. $T>h c /(k \lambda \ln 2) \approx 3,8 \cdot 10^{4} \mathrm{~K}$.
6. Среднее число фотонов в единице объема равновесного (черного) излучения, приходящееся на интервал частот ( $\omega, \omega+d \omega$ ) или на соответствующий ему интервал длин волн ( $\lambda, \lambda+d \lambda)$, можно представить в виде $d N=f(\omega, T) d \omega=$ $=\varphi(\lambda, T) d \lambda$, где $T$ – температура излучения. Найти положение максимумов функций $f(\omega, T)$ и $\varphi(\lambda, T)$ при фиксированной температуре $T$.

Ответ, Для функции $f(\omega, T)$ максимум получается при $h \omega /(k T)=x$, где $x$ – корень уравнения $(x-2) e^{x}+2=0$, т, е, $x=1,593624$. Соответствующая длина волны $\lambda_{1}$ находится из соотношения
\[
\lambda_{1} T=\frac{2 \pi \hbar c}{k x}=\frac{h c}{k x}=0,902867, \mathrm{cM} \cdot \mathrm{K} .
\]

Для функции $\varphi(\lambda, T)$ максимум получается при $\lambda=\lambda_{2}$, причем $\frac{h c}{\lambda k T}=\xi$; где $\xi$ – корень уравнения ( $\xi-4$ ) $e^{\xi}+4=0$, т. е, $\xi=3,920690$. Таким образом, $\lambda_{2} T=0,368967$ см.К. Следовательно, $\lambda_{2}<\dot{\lambda}_{1}$.
7. Равновесное излучение заключено в полости, стенки которой поддерживаются при постоянной (абсолютной) температуре $T$. Вычислить флуктуации әнергии $\mathscr{E}$ такого излучения в объеме $V$ в спектральном интервале $(\omega, \omega+d \omega)$, пользуясь формулами 1) Вина, 2) Рэлея – Джинса, 3) Планка, и интерпретировать полученные результаты с точки зрения корпускулярных и волновых представлений о свете,

Р е ш н и е. Применяя к $(97,15)$ формулы Вина, Рэлея – Джинса и Планка, получим
\[
\begin{array}{ll}
\overline{\Delta \mathscr{E}^{2}}=\overline{\mathscr{E}} \hbar \omega & \text { (Вин), } \\
\overline{\Delta \mathscr{E}^{2}}=\overline{\mathscr{E}}_{k T}=\frac{\pi^{2} c^{3}}{V \omega^{2} d \omega} \overline{\mathscr{E}^{2}} & \text { (Рэлей-Джинс), } \\
\overline{\Delta \mathscr{E}^{2}}=\overline{\mathscr{E}} \hbar \omega+\frac{\pi^{2} c^{3}}{V \omega^{2} d \omega} \overline{\mathscr{E}_{2}} & \text { (Планк). }
\end{array}
\]

Формула (119.7) имеет такой же вид, что и формула (97.7) для флуктуации числа частиц идеального газа. Ее можно было бы получить из корпускулярных представлений, рассматривая излучение как газ независимых частиц. Напротив, формула (119.8) соответствует волновым представлениям о свете. Здесь флуктуации возникают из-за суперпозиции волн различных частот. Формула (119.9) соответствует синтезу обоих представлений.
8. Освещенность $E$, создаваемая звездой первой величины на поверхности Земли при нормальном падении света, составляет оксло $10^{-6}$ лк. Можно ли объяснитьь мерцание звезд квантовыми флуктуациями свега?

Р ешения е. Среднее число фотонсв, понадающее от звезды в зрачок глаза в одну секунду,
\[
\bar{N}=\frac{E A s}{h \lambda / c} \approx 6 \cdot 10^{34} \sim 10^{34},
\]

где $A$ – механический эквивалент света, площадь зрачка глаза $s$ принята равной $0,5 \mathrm{~cm}^{2}$, а длина волны $\lambda=550$ нм. В рассматриваемой области спектра с хорошим приближением можно пользоваться формулой Вина, а потому
\[
\overline{\Delta N^{2}}=\bar{N}, \quad-\frac{1}{\bar{N}} \sqrt{\overline{\Delta N^{2}}} \sim 10^{-17} .
\]

Отсюда видно, что квантовые флуктуации света к мерцанию звезд не имеют отношения.