Определим комплексную степень пространственной когерентности ${\gamma }_{12}$ для точек $Q_1$ и $Q_2$ экрана $Э$, освещаемого протяженным квазимонохроматическим самосветящимся источником света (рис. 132). Сами точки $Q_1$ и $Q_2$ должны рассматри* ваться как вторичные источники волн в том смысле, как это было указано в пункте 3 предыдущего параграфа. Будем предполагать, что точка наблюдения $P$ равноудалена от $Q_1$ и $Q_2$. При этом условии вместо волн, накладывающихся в точке $P$, можно брать волновые поля, создаваемые первичным источником в точках $Q_1$ и $Q_2$, что и будет делаться в дальнейшем, Наши вычисления, следовательно, проводятся в предположении, что время запаздывания $\theta$ равно нулю. Однако, ввиду медленности изменения функции ${\gamma }_{12}(\theta )$, вычисленным значением ее можно пользоваться не только при $\theta =0$, но и при малых значениях аргумента $\theta$, пока видность интерференционных полос не претерпит существенных изменений.

Для простоты в качестве источника света возьмем малую площадку $\sigma$, плоскость которой параллельна плоскости экрана Э. Среда между источником $\sigma$ и экраном Э предполагается однородной, а скорость света в ней обозначается через $v$. Линейные размеры площадки $\sigma$ должны быть малы по сравнению с расстоянием ее до экрана. Предполагается также, что малы углы между «средней линией» $O{O}^{\prime }$ и прямыми, соединяющими произвольную точку $S$ источника с точками $Q_1$ и $Q_2$.

Разобьсм источник $\sigma$ на малые площадки, линейные размеры которых малы по сравнению с длиной волны $\lambda$. Будем рассматривать их как некогерентые точечные источники, излучающие сферические волны. Волновые поля, создаваемые таким источником в точках $Q_1$ и $Q_2$, представятся выражениями
$$\begin{array}{l}\frac{A_m(t-r_{1m}/v)}{r_{1m}}{e}^{i({\omega }_{0}t-k{r}_{1m})}\text{ и }\\ \frac{A_m(t-r_{2m}/v)}{r_{2m}}{e}^{i({\omega }_{0}t-k{r}_{2m})},\end{array}$$
Рис. 132.
где $r_{1m}$ и $r_{2m}$ — расстояния $m$-го источника до точек $Q_1$ и $Q_2$ соответственно, Амплитуды результирующих колебаний в точках $Q_1$ и $Q_2$ будут
$$\begin{array}{l}{a}_1(t)=\sum _m\frac{A_m(t-r_{1m}/v)}{r_{1m}}{e}^{-ik{r}_{1}m},\\ a_2(t)=\sum _m\frac{A_m(t-r_{2m}/v)}{r_{2m}}{e}^{-ik{r}_{2m}}.\end{array}$$

Вычислим теперь взаимную корреляционную функцию амплитуд $a_1$ и $a_2$, т. е. среднее по времени от произведения $a_1(t)a_2^{\ast }(t-\theta )$, в предположении, что $\theta =0$. Перемножив почленно предыдущие суммы, заметим, что все слагаемые с различными $m$ при усреднении обратятся в нуль, ввиду статистической независимости соответствующих элементарных источников света, В результате получим
$$a_1{a}_2^{\ast }=\sum _m\frac{\overline{A_m(t-r_{1m}/v)A_m^{\ast }(t-r_{2m}/v)}}{r_{1m}{r}_{2m}}{e}^{ik(r_{2m}-r_{1m})}.$$
(Усреднению подвергается только числитель, так как все прочие величины от времени не зависят.) Если предположить, что для всех $m$ разности $r_{2m}-r_{1}m$ малы по сравнению с длиной когерентности, то различие аргументов $t-r_1/m$ и $t-r_{2m}/v$ можно не учитывать. Следовательно, в силу предполагаемой однородности световых потоков можно опустить и сами аргументы, т. е,
$$\overline{A_m(t-r_{1m}/v)A_m^{\ast }(t-r_{2m}/v)}=\overline{A_m{A}_m^{\ast }}.$$

Во всех практихески интересных случаях число элементарных излучателей света очень велико, так что их можно считать непрерывно распределенными по площадке $\sigma$ с определенной поверхностной плотностью. Тогда от суммы можно перейти к интегралу. Если $I(S)$ — интенсивность света, создаваемая единицей площади источника на единичном расстоянии от него, то $\overline{A_m{A}_m^{\ast }}=I(S)dS$.

В точках $Q_1$ и $Q_2$ соответственно
$$I_1\equiv I\left(Q_1\right)={\int }_{\sigma }\frac{I(S)dS}{r_1^2},I_2\equiv I\left(Q_2\right)={\int }_{\sigma }\frac{I(S)dS}{r_2^2}.$$

Введя еще нормирующий множитель $1/\sqrt{I_1{I}_2}$, получим окончательно
$${\gamma }_{12}(0)=\frac{1}{\sqrt{I_1{I}_2}}\int \frac{I(S)}{r_1{r}_2}{e}^{ik(r_2-r_1)}dS.$$

Для наглядной интерпретации полученного результата воспользуемся следующей аналогией. Пусть точка $Q_2$ неподвижна, а точка $Q_1$ может занимать различные положения на экране Э. Заменим площадку $\sigma$ отверстием ${\sigma }^{\prime }$ той же формы в непрозрачном экране. Допустим, что на него падает сферическая волна, сходящаяся в центре $Q_2$, волновое поле которой в точках отверстня представляется выражением
$$\psi =\frac{I(S)}{\sqrt{I_1{I}_2}}{e}^{i({\omega }_{0}t+k{r}_2)}\equiv {\psi }_0\left(r_2\right)e^{i{\omega }_{0}t}.$$

Пусть каждый элемент $dS$ площади отверстия излучает по принципу Гюйгенса вторичную сферическую волиу, поле которой в точке $P_1$ определяется выраженнем $\frac{1}{r_1}{\psi }_0{e}^{i({\omega }_{0}t-k{r}_1)}$. Тогда в результате суперпозиции таких вторичих волн голучится волна, комплексная амплитуда которой определяется формулой (32.1). Но именно так по принципу Гюйгенса решается задача о дифракции сферической волны на отверстии ${\sigma }^{\prime }$ (см. § 39). Следовательно, комплексная степень в инной когерентности в точках $Q_1$ и $Q_2$ равна комплексной амплитуде в точке $Q_1$ соответствующей дифрагированной волны.

В этом состоит теорема Ван-Цитпера — Цернике. Она сводит вычисление степени взаимной когерентности ${\gamma }_{12}$ к соответствующей задаче дифракции.