Определим комплексную степень пространственной когерентности $\gamma_{12}$ для точек $Q_{1}$ и $Q_{2}$ экрана $Э$, освещаемого протяженным квазимонохроматическим самосветящимся источником света (рис. 132). Сами точки $Q_{1}$ и $Q_{2}$ должны рассматри* ваться как вторичные источники волн в том смысле, как это было указано в пункте 3 предыдущего параграфа. Будем предполагать, что точка наблюдения $P$ равноудалена от $Q_{1}$ и $Q_{2}$. При этом условии вместо волн, накладывающихся в точке $P$, можно брать волновые поля, создаваемые первичным источником в точках $Q_{1}$ и $Q_{2}$, что и будет делаться в дальнейшем, Наши вычисления, следовательно, проводятся в предположении, что время запаздывания $\theta$ равно нулю. Однако, ввиду медленности изменения функции $\gamma_{12}(\theta)$, вычисленным значением ее можно пользоваться не только при $\theta=0$, но и при малых значениях аргумента $\theta$, пока видность интерференционных полос не претерпит существенных изменений.

Для простоты в качестве источника света возьмем малую площадку $\sigma$, плоскость которой параллельна плоскости экрана Э. Среда между источником $\sigma$ и экраном Э предполагается однородной, а скорость света в ней обозначается через $v$. Линейные размеры площадки $\sigma$ должны быть малы по сравнению с расстоянием ее до экрана. Предполагается также, что малы углы между «средней линией» $O O^{\prime}$ и прямыми, соединяющими произвольную точку $S$ источника с точками $Q_{1}$ и $Q_{2}$.

Разобьсм источник $\sigma$ на малые площадки, линейные размеры которых малы по сравнению с длиной волны $\lambda$. Будем рассматривать их как некогерентые точечные источники, излучающие сферические волны. Волновые поля, создаваемые таким источником в точках $Q_{1}$ и $Q_{2}$, представятся выражениями
\[
\begin{array}{l}
\frac{A_{m}\left(t-r_{1 m} / v\right)}{r_{1 m}} e^{i\left(\omega_{0} t-k r_{1 m}\right)} \text { и } \\
\quad \frac{A_{m}\left(t-r_{2 m} / v\right)}{r_{2 m}} e^{i\left(\omega_{0} t-k r_{2 m}\right)},
\end{array}
\]
Рис. 132.
где $r_{1 m}$ и $r_{2 m}$ – расстояния $m$-го источника до точек $Q_{1}$ и $Q_{2}$ соответственно, Амплитуды результирующих колебаний в точках $Q_{1}$ и $Q_{2}$ будут
\[
\begin{array}{l}
a_{1}(t)=\sum_{m} \frac{A_{m}\left(t-r_{1 m} / v\right)}{r_{1 m}} e^{-i k r_{1} m}, \\
a_{2}(t)=\sum_{m} \frac{A_{m}\left(t-r_{2 m} / v\right)}{r_{2 m}} e^{-i k r_{2 m}} .
\end{array}
\]

Вычислим теперь взаимную корреляционную функцию амплитуд $a_{1}$ и $a_{2}$, т. е. среднее по времени от произведения $a_{1}(t) a_{2}^{*}(t-\theta)$, в предположении, что $\theta=0$. Перемножив почленно предыдущие суммы, заметим, что все слагаемые с различными $m$ при усреднении обратятся в нуль, ввиду статистической независимости соответствующих элементарных источников света, В результате получим
\[
a_{1} a_{2}^{*}=\sum_{m} \frac{\overline{A_{m}\left(t-r_{1 m} / v\right) A_{m}^{*}\left(t-r_{2 m} / v\right)}}{r_{1 m} r_{2 m}} e^{i k\left(r_{2 m}-r_{1 m}\right)} .
\]
(Усреднению подвергается только числитель, так как все прочие величины от времени не зависят.) Если предположить, что для всех $m$ разности $r_{2 m}-r_{1} m$ малы по сравнению с длиной когерентности, то различие аргументов $t-r_{1} / m$ и $t-r_{2 m} / v$ можно не учитывать. Следовательно, в силу предполагаемой однородности световых потоков можно опустить и сами аргументы, т. е,
\[
\overline{A_{m}\left(t-r_{1 m} / v\right) A_{m}^{*}\left(t-r_{2 m} / v\right)}=\overline{A_{m} A_{m}^{*}} .
\]

Во всех практихески интересных случаях число элементарных излучателей света очень велико, так что их можно считать непрерывно распределенными по площадке $\sigma$ с определенной поверхностной плотностью. Тогда от суммы можно перейти к интегралу. Если $I(S)$ – интенсивность света, создаваемая единицей площади источника на единичном расстоянии от него, то $\overline{A_{m} A_{m}^{*}}=I(S) d S$.

В точках $Q_{1}$ и $Q_{2}$ соответственно
\[
I_{1} \equiv I\left(Q_{1}\right)=\int_{\sigma} \frac{I(S) d S}{r_{1}^{2}}, \quad I_{2} \equiv I\left(Q_{2}\right)=\int_{\sigma} \frac{I(S) d S}{r_{2}^{2}} .
\]

Введя еще нормирующий множитель $1 / \sqrt{I_{1} I_{2}}$, получим окончательно
\[
\gamma_{12}(0)=\frac{1}{\sqrt{I_{1} I_{2}}} \int \frac{I(S)}{r_{1} r_{2}} e^{i k\left(r_{2}-r_{1}\right)} d S .
\]

Для наглядной интерпретации полученного результата воспользуемся следующей аналогией. Пусть точка $Q_{2}$ неподвижна, а точка $Q_{1}$ может занимать различные положения на экране Э. Заменим площадку $\sigma$ отверстием $\sigma^{\prime}$ той же формы в непрозрачном экране. Допустим, что на него падает сферическая волна, сходящаяся в центре $Q_{2}$, волновое поле которой в точках отверстня представляется выражением
\[
\psi=\frac{I(S)}{\sqrt{I_{1} I_{2}}} e^{i\left(\omega_{0} t+k r_{2}\right)} \equiv \psi_{0}\left(r_{2}\right) e^{i \omega_{0} t} .
\]

Пусть каждый элемент $d S$ площади отверстия излучает по принципу Гюйгенса вторичную сферическую волиу, поле которой в точке $P_{1}$ определяется выраженнем $\frac{1}{r_{1}} \psi_{0} e^{i\left(\omega_{0} t-k r_{1}\right)}$. Тогда в результате суперпозиции таких вторичих волн голучится волна, комплексная амплитуда которой определяется формулой (32.1). Но именно так по принципу Гюйгенса решается задача о дифракции сферической волны на отверстии $\sigma^{\prime}$ (см. § 39). Следовательно, комплексная степень в инной когерентности в точках $Q_{1}$ и $Q_{2}$ равна комплексной амплитуде в точке $Q_{1}$ соответствующей дифрагированной волны.

В этом состоит теорема Ван-Цитпера – Цернике. Она сводит вычисление степени взаимной когерентности $\gamma_{12}$ к соответствующей задаче дифракции.