1. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета $S$ и $S^{\prime}$, из которых вторая движется относительно первой прямолинейно и равномерно со скоростью $V$, а следовательно, первая движется относительно второй со скоростью-V. В каждой системе отсчета расставлены достаточно часто одинаковые часы, неподвижные в этой системе и синхронизованные по правилу Эйнштейна. Пусть $x, y$, $z, t$ — координаты и время какого-либо события (например, столкновения двух шаров) в системе отсчета $S$, а $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime}$ — координаты и время того же события в системе отсчета $S^{\prime}$. Возникает вопрос, как по значениям $x, y, z, t$ найти значения $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime}$ и наоборот. Решение этого вопроса основано на предположении, что пространство однородно и изотропно, а время однородно ${ }^{\mathbf{1}}$ ). Однородность пространства и времени означает, что все точки пространства и все моменты времени, как в системе $S$, так и в системе $\mathcal{S}^{\prime}$, абсолютно эквивалентны. Изотропия же пространства означает полную эквивалентность всех пространственных направлений в системе $S$, а также в системе $S^{\prime}$. В силу указанной однородности и изотропии пространства и времени связь между $x, y, z, t$ и $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime}$ должна быть линейной.
1) Эти свойства нельзя рассматривать как априорные. Они установлены и проверены экспериментально. Их объяснение, по-видимому, должна дать коск ология при рассмотрении происхождения и эволюции Вселенной в целом,

Вопрос о чисто пространственных преобразованиях координат в этих предположениях решается в аналитической геометрии. Поэтому можно отвлечься от этого вопроса и сосредоточить все внимание на том, что нового вносит в преобразование координат и времени равномерное движение одной системы отсчета относительно другой. Для этой цели достаточно рассмотреть частный случай, когда начала $O$ и $O^{\prime}$ координатных систем $S$ и $S^{\prime}$ в некоторый момент времени совмещаются. Этот момент мы примем за начало отсчета времени как в системе $S$, так и в системе $S^{\prime}$. Тогда связь между $x, y, z, t$ и $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime}$ будет не только линейной, но и однородной, так как нулевым значениям нештрихованных параметров соответствуют также нулевые значения штрихованных. Кроме того, оси $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}$ координатной системы $\dot{S}^{\prime}$ можно выбрать так, чтобы они были параллельны осям $X, Y, Z$ координатной системы $S$ и, следовательно, ось $X^{\prime}$ все время совмещалась с осью $X$ (рис. 328 ).
2. Предположим, что относительная скорость $V$ координатных систем $S$ и $S^{\prime}$ Рис. 328 . меньше скорости света $c$ $(V<c)$. Пусть при этом усло-

вии из начала координат $O$ в момент времени $t_{1}>0$ (по часам системы $S$ ) послан световой сигнал в положительном направлении оси $X$. Пусть этот сигнал приходит в точку $O^{\prime}$ в момент времени $t^{\prime}$ (по часам системы $S^{\prime}$ ). Тогда, ввиду линейности связи между координатами и временем в системах $S$ и $S^{\prime}$, время $t^{\prime}$ должно выражаться также линейно через $t_{1}$. При этом нулевому значению $t_{1}$ соответствует нулевое значение $t^{\prime}$, так как в момент $t^{\prime}=t^{\prime}$ начала координат $O$ и $O^{\prime}$ совмещаются между собой. Следовательно, должно быть
\[
t^{\prime}=k t_{1},
\]

где $k$ — некоторый коэффициент. В силу изотропии пространства он может зависеть только от абсолютного значения скорости $V$, но не от ее направления.

Выразим коэффициент $k$ через скорость $V$. Пусть в точке $O^{\prime}$ световой сигнал отражается и, распространяясь в обратном направлении, возвращается в точку $O$ в момент $t_{2}$ (по часам системы $S$ ). Тогда, ввиду полной эквивалентности систем отсчета $S$ и $S^{\prime}$,
\[
t_{2}=k t^{\prime} \text {, }
\]

где $k$ имеет то же значение, что и в формуле (105.1). Исключив $t^{\prime}$, получим
\[
t_{2}=k^{2} t_{1} \text {. }
\]

Согласно эйнштейновскому правилу синхронизации часов сигнал, посланный из $O$ в момент $t_{1}$ и возвратившийся обратно в момент $t_{2}$, отражается в точке $O^{\prime}$ в момент времени
\[
t=\frac{t_{1}+t_{2}}{2} \doteq \frac{1+k^{2}}{2} t_{1}
\]
(по часам системы $S$ ). Расстояние $x$, проходимое то́чкой $O^{\prime}$ за время $t$, равно $x=V t$. То же расстояние свет проходит за время $t-t_{1}$, и следовательно, $x=c\left(t-t_{1}\right)$. Таким образом, $V t=c\left(t-t_{1}\right)$. Подставив сюда значение $t$ из предыдущей формулы, получим

откуда
\[
V\left(k^{2}+1\right)=c\left(k^{2}-1\right),
\]
\[
\begin{array}{c}
\frac{V}{c}=\frac{k^{2}-1}{k^{2}+1}, \\
k^{2}=\frac{c+V}{c-V}=\frac{1+V / c}{1-V / c} .
\end{array}
\]

Извлекая из последнего выражения квадратный корень, найдем $k$. После этого получаем две вспомогательные формулы:
\[
k+\frac{1}{k}=\frac{2}{\sqrt{1-(V / c)^{2}}}, \quad k-\frac{1}{k}=\frac{2 V / c}{\sqrt{1-(V / c)^{2}}},
\]

которые понадобятся нам в дальнейшем. Все эти соотношения, разумеется, имеют смысл только при условии $V<c$.
Отметим, в частности, что из формул (105.1) и (105.4) следует
\[
\frac{t^{\prime}}{t}=\frac{2 k}{k^{2}+1}=\sqrt{1-(V / c)^{2}},
\]

откуда $t^{\prime}<t$. Величина $t$ есть время движения точки $O^{\prime}$ из неподвижного начала $O$ до точки, в которой его догонит световой сигнал, измеренное по «неподвижным часам», т. е. часам системы $S$. Величина $t^{\prime}$ имеет смысл того же времени, но измеренного уже по «движущимся часам», т. е. часам системы $S^{\prime}$. Таким образом, величины $t$ и $t^{\prime}$ представляют собой времена между одними и теми же событиями, измеренные соответственно в «неподвижной» $S$ и «движущейся» $S^{\prime}$ системах отсчета. Формула (105.9) показывает, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных. Это явление будет обсуждено ниже с различных точек зрения, а сейчас мы вернемся к вопросу о преобразовании координат и времени.
3. Пусть на оси $X$ произошло какое-то событие $A$, например столкновение двух шаров (рис. 329 ). В системе отсчета $S$ это событие характеризуется абсциссой $x$ и моментом времени $t$. В системе отсчета $S^{\prime}$ абсцисса и время того же события будут $x^{\prime}, t^{\prime}$. Рассмотрим свет овой сигнал, отправляющийся из начала координат $O$ к месте с обытия $A$ (рис. $329, a$ ). На прохождение расстояния $O A$ сигнал затрачивает время $x / c$. Чтобы он пришел в $A$ в момент $t$, его надо отправить из $O$ в момент $t_{1}=t-x / c$. На прохождение расстояния $O^{\prime} A$ тот же сигнал затрачивает время $x^{\prime} / c$, так что он проходит через точку $O^{\prime}$ в момент $t_{1}^{\prime}=t^{\prime}-x^{\prime} / c$. По определению коэффициента $k$ $t_{1}^{\prime}=k t_{1}$ или $t^{\prime}-x^{\prime} / c=k(t-x / c)$. Отразим теперь световой сигнал в $A$ в обратном направлении (рис. 329, б). Через точку $O^{\prime}$ он пройдет в момент времени $t_{2}^{\prime}=t^{\prime}+x^{\prime} / c$, а через точку $O$ — в момент $t_{2}=t+x / c$. Теперь роли штрихованных и нештрихованных величин поменялись Рис. 329. местами, и на основании того же определения коэффициента $k$ можно написать $t_{2}=k t_{2}^{\prime}$, или $t+x / c=k\left(t^{\prime}+x^{\prime} / c\right)$. Таким образом,
\[
t^{\prime}-x^{\prime} / c=k(t-x / c), \quad k\left(t^{\prime}+x^{\prime} / c\right)=t+x / c .
\]

Полученные соотношения справедливы, ‘в каком бы месте оси $X$ ни произошло событие $A$. Пусть, например, оно произошло левее точек $O$ и $O^{\prime}$, как указано на рис. 330, $a$. Отправим от места события световой сигнал вправо. Так как теперь $x$ и́ $x^{\prime}$ отрицательны то сигнал достигнет точек $O$ и $O^{\prime}$ в более поздние моменты $t-x / c$ и $t^{\prime}-x^{\prime} / c$. На основании определения коэффициента $k$ напишем $t^{\prime}-x^{\prime} / c=k(t-x / c)$, а это есть первое соотношение (105.10). Возьмем теперь световой сигнал, распространяющийся справа налево (рис. 330, б). Рис. 330. Пусть он достигает точки $A$ в моменты $t$ и $t^{\prime}$ по часам в системах $S$ и $S^{\prime}$ соответственно. Через точки $O$ и $O^{\prime}$ сигнал пройдет в моменты времени $t+x / c$ и $t^{\prime}+x^{\prime} / c$, а потому $t^{\prime}+x^{\prime} / c=k\left(t^{\prime}-x^{\prime} / c\right)$, т. е. получается и второе соотношение (105.10).

Очень полезно рассмотреть все случаи взаимного расположения точек $A, O, O^{\prime}$ и убедиться, что во всех случаях справедливы соотношения (105.10).
Из соотношений (105.10) на̀ходим
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=\frac{1}{2}\left(k+\frac{1}{k}\right) x-\frac{1}{2}\left(k-\frac{1}{k}\right) c t, \\
t^{\prime}=\frac{1}{2}\left(k+\frac{1}{k}\right) t-\frac{1}{2}\left(k-\frac{1}{k}\right) \frac{x}{c},
\end{array}
\]

или на основании (105.8)
\[
x^{\prime}=\frac{\dot{x}-V t}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad y^{\prime}=y, \quad z^{\prime}=z, \quad t^{\prime}=\frac{t-V x / c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]

где введено обозначение
\[
\beta=V / c .
\]

Мы добавили формулы $y^{\prime}=y, z^{\prime}=z$, которые показывают, что поперечные координаты события $y$ и $z$ не преобразуются. Для доказательства последнего утверждения изготовим в системах отсчета $S$ и $S^{\prime}$ одним и тем же способом два одинаковых твердых стержня, каждый из которых неподвижен в своей системе отсчета. Установим их своими концами на оси $X$ параллельно осям $Y$ и $Y^{\prime}$ (рис. 331). Длины стержней $y$ и $y^{\prime}$, измеренные соответственно в системах $S$ и $S^{\prime}$, конечно, будут одинаковы. Но это еще не означает, что справедливо второе уравнение (105.12). Надо еще показать, что $y$ и $y^{\prime}$ можно рассматривать как координаты одного и того же события. Для доказательства этого к свободным концам стержней прикрепим маленькие шарики $A$ и $A^{\prime}$. Пусть сначала шарик $A^{\prime}$ расположен леРис, 331. вее шарика $A$. Мы утверждаем, что при движении шарик $A^{\prime}$ обязательно столкнется с шариком $A$. Действительно, если бы движущийся шарик прошел выше или ниже неподвижного, то системы отсчета $S$ и $S^{\prime}$ не были бы эквивалентны. Но если шарики столкнутся, то $y$ и $y^{\prime}$ становятся координатами одного и того же события — столкновения шариков, и второе уравнение (105.12) может считаться доказанным. Так же доказывается и третье уравнение (105.12).

Формулы (105.12) и решают задачу о преобразовании координат и времени при переходе от одной системы отсчета к другой. Они называются преобразованием Лорентна (этот термин был введен Пуанкаре). Лорентц получил их в 1904 г. К тем же формулам несколько раньше (в 1900 г.) пришел Лармор. И Лармор, и Лорентц, однако, принципиально стояли на точке зрения неподвижного эфира. У них истинным было только время $t$ в системе отсчета, в которой эфир покоится. Величина же $t^{\prime}$ лишь формально играла роль времени — это была математическая переменная, вводимая таким образом, чтобы соблюдалась инвариантность уравнений электродинамики при переходе от переменных $x, y, z, t$ к переменным $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime}$. Настоящий вывод формул преобразования Лорентца и установление их истинного смысла дал Эйнштейн в 1905 г. В его теории все инерциальные системы отсчета совершенно эквивалентны, а $t^{\prime}$ является таким же «истинным временем», как.и $t$. Это проявляется, в частности, если уравнения (105.12) разрешить относительно $x, y, z, t$. Таким путем получатся формулы «обратного преобразования»
\[
x=\frac{x^{\prime}+V t}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad y=y^{\prime}, \quad z=z^{\prime}, \quad t=\frac{t^{\prime}+V x^{\prime} / c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]

имеющие тот же вид, что и формулы «прямого преобразования» (105.12). Как и следовало ожидать, они получаются из формул (105.12) простой заменой $V$ на $-V$.

Формулы (105.12) и (105.14) при $\beta>1$ дали бы мнимые значения для координат и времени. Поэтому нет смысла говорить о движении одной системы отсчета со скоростью $V$, превышающей скорость света $c$. Отсюда следует, что скорость любого тела не может превышать $c$, так как с каждым телом можно связать систему отсчета.

При медленных движениях, когда $(V / c)^{2} \ll 1$ и $V v / c^{2} \ll 1$ (vскорость движения тела); преобразование Лорентца, как и следовало ожидать, в пределе переходит в преобразование Галилея.
4. В дорелятивистской физике пространство и время считались независимыми друг от друга. Расстояния между двумя пространственными точками (точнее, расстояния между двумя материальными точками в один и тот же момент времени), а также промежутки времени между двумя событиями считались одинаковыми во всех системах отсчета. Иными словами, обе эти величины считались инвариантными при переходе от одной системы отсчета к другой. В теории относительности такая инвариантность была утрачена. Вместо двух инвариантов — пространственного и временного — в ней сохранился только один, пространственно-временной, инвариант. Его легко найти, перемножая-почленно уравнения (105.11). Это дает
\[
c^{2} t^{2}-x^{2}=c^{2} t^{\prime 2}-x^{\prime 2}=\operatorname{Inv} .
\]

Для удобства запишем этот инвариант через новые временные переменные
\[
\tau=c t, \quad \tau^{\prime}=c t^{\prime},
\]

имеющие размерность длины. Введение таких переменных означает, что промежутки времени теперь измеряются теми же единицами, что и пространственные расстояния: за единицу времени принимается время, в течение которого свет проходит единицу расстояния. В новых переменных
\[
\tau^{2}-x^{2}=\tau^{\prime 2}-x^{\prime 2}=\text { Inv. }
\]

Учтем теперь, что при выбранной нами ориентации координатных осей $y^{\prime}=y, z^{\prime}=z$. Поэтому
\[
\tau^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=\tau^{\prime 2}-\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)=\operatorname{Inv} .
\]

В этом виде пространственно-временной инвариант (105.18) уже не зависит от ориентации систем отсчета $S$ и $S^{\prime}$ относительно друг друга, а также от направления скорости $V$. Однако в формуле (105.18) предполагается, что одно из событий фиксировано. Таким событием является совмещение начал координат $O$ и $O^{\prime}$. Чтобы освободиться от этого ограничения, запишем (105.18) в виде
\[
\Delta \tau^{2}-\left(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}\right)=\Delta \tau^{\prime 2}-\left(\Delta x^{\prime 2}+\Delta y^{\prime 2}+\Delta z^{\prime 2}\right)=\operatorname{Inv},
\]

где $\Delta \tau, \Delta x, \ldots, \Delta \tau^{\prime}, \Delta x^{\prime}$, . означают разности между временами и пространственными координатами двух событий 1 и 2 в системах отсчета $S$ и $S^{\prime}$ :
\[
\begin{array}{l}
\Delta \tau=\tau_{2}-\tau_{1}, \quad \Delta x=x_{2}-x_{1}, \quad \Delta y=y_{2}-y_{1}, \quad \Delta z=z_{2}-z_{1}, \\
\Delta \tau^{\prime}=\tau_{2}^{\prime}-\tau_{1}^{\prime}, \quad \Delta x^{\prime}=x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}, \quad \Delta y^{\prime}=y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}, \quad \Delta z^{\prime}=z_{2}^{\prime}-z_{1}^{\prime} . \\
\end{array}
\]

Қвадратный корень из инварианта (105.19) называется интервалом между рассматриваемыми событиями и в дальнейшем обозначается через $s_{12}$ или $\Delta s$. Очевидно, квадрат интервала между событиями 1 и 2 можно представить в виде
\[
s_{12}^{2}=\left(\tau_{2}-\tau_{1}\right)^{2}-l_{12}^{2}=\left(\tau_{2}^{\prime}-\tau_{1}^{\prime}\right)^{2}-l_{12}^{\prime 2},
\]

где $l_{12}$ и $l_{12}^{\prime}$ — расстояния между точками, в которых произошли события, в системах $S$ и $S^{\prime}$ соответственно.

Можно также в формулы преобразования Лорентца ввести параметры $\tau$ и $\tau^{\prime}$ вместо $t$ и $t^{\prime}$. Ограничиваясь частным случаем, представленным на рис. 328 , перепишем формулы (105.12) в виде
\[
x^{\prime}=\frac{x-\beta \tau}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \quad \tau^{\prime}=\frac{\tau-\beta x}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Величина $\beta$ имеет смысл скорости движущейся системы координат, если за единицу принять скорость света.

Минковский (1864-1909) для описания пространственно-временных событий ввел геометрическую терминологию. Совокупность значений $\tau, x, y, z$, характеризующую время и место события, он назвал мировой почкой. Многообразие мировых точек есть четырехмерное пространство, называемое миром или пространством Минковского. Линия в пространстве Минковского называется мировой линией. Интервал между двумя событиями принимается за инвариантное расстояние между соответствующими, мировыми точками. На основе таких представлений было создано тензорное исчисление в пространстве Минковского, аналогичное тензорному исчислению обычной эвклидовой геометрии. Оно является адекватным математическим аппаратом специальной теории относительности.
5. Интервалы между событиями можно разделить на вещественные и чисто мнимые. Ввиду инвариантности интервала, это деление не зависит от выбора системы отсчета.

Поставим вопрос, можно ли выбрать такую систему отсчета, в которой события 1 и 2 были бы одноместны, т. е. происходили бы в одной и той же точке пространства? Если $S^{\prime}$ — такая система, то в ней $l_{12}^{\prime}=0$, и на основании (105.20) квадрат интервала может быть представлен в виде $s_{12}^{2}=\left(\tau_{2}^{\prime}-\tau_{1}^{\prime}\right)^{2}$. Отсюда видно, что $s_{12}^{2}>0$, т. е. необходимо, чтобы интервал $s_{12}$ был вещественным. Для доказательства достаточности этого условия можно без нарушения общности ограничиться частным преобразованием Лорентца(105.21). Чтобы рассматриваемые события в системе $S^{\prime}$ пространственно совпадали, достаточно, чтобы выполнялось условие $\Delta x^{\prime}=0$, т. е. $\Delta x=\beta \Delta \tau$. Отсюда видно, что си́стема $S^{\prime}$ должна двигаться со скоростью $\beta=\Delta x / \Delta \tau$. Но для.вещественных интервалов $|\Delta x|<\Delta \tau$, так что $|\beta|<1$. Значит, система $S^{\prime}$ должна двигаться со скоростью, меньшей скорости света, а потому ее можно реализовать. Промежуток времени между одноместными событиями в системе отсчета $S^{\prime}$ будет равен $\Delta \tau^{\prime}=\left|s_{12}\right|$, или в обычных единицах $\Delta t^{\prime}=\left|s_{12}\right| / c$. Вещественные интервалы называются времениподобными.

Поставим теперь вопрос о существовании системы отсчета, в которой события 1 и 2 были бы одновременны. Если $S^{\prime}$ — такая система, то $\tau_{2}^{\prime}-\tau_{1}^{\prime}=0$ и, следовательно, на основании (105.20) должно быть $s_{12}^{2}=-l_{12}^{\prime 2}$. Значит, необходимо, чтобы интервал $s_{12}$ был чисто мнимым. Достаточность этого условия доказывается совершенно так же, как в предыдущем случае. Расстояние между точками, в которых произошли одновременные события 1 и 2, в системе $S^{\prime}$ равно $l_{12}^{\prime}=\left|s_{12}\right|$. Чисто мнимые интервалы называются просі ранственноподобными.

Рассмотрим, наконец, особый случай, когда интервал между событиями равен нулю. В этом случае, чтобы сделать события одноместными, надо перейти к системе отсчета, движущейся со скоростью света. То же требуется, чтобы события стали одновременными. $И$ то и другое невозможно. Нулевые интервалы называются световыми. Такими интервалами связаны отправление светового сигнала из некоторой точки и приход его в другую точку пространства. 6. В случае частного преобразования Лорентца (105.21), соответствующего рис. 328 , все изложенное можно наглядно интерпретировать графически. Это возможно потому, что достаточно ограничиться рассмотрением преобразования только одной пространственной координаты $x$ и времени $\tau$, т. е. рассуждать так, как если бы пространство Минковского было двумерной плоскостью ( $x, \tau$ ). Произвольное событие (мировую точку) О в этой плоскости примем за начало прямоугольной системы координат (рис. 332). Проведем через $O$ взаимно. перпендикулярные оси, одну из которых примем за пространственную ось $x$, а другую — за временную ось $\tau$ в системе отсчета $S$. Пунктирные прямые $\tau=x$ и $\tau=-x$ будут мировыми линиями световых сигналов, распространяющихся соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси $X$. Пусть $A$ — произвольное событие. Соединим точки $A$ и $O$ прямой мирөвой линией $\tau=x \operatorname{tg} \alpha$, описывающей равномерное движение какого-то тела вдоль оси $X$ со скоростью $\beta$. Если $\beta<1$, то с этим телом можно связать систему отсчета $S^{\prime}$, а прямую $O A$ принять за пространственную ось $X^{\prime}$. Ось времени $\tau^{\prime}$ найдется из условия, что на ней $x^{\prime}=0$. Как видно из (105.21), это будет мировая линия $x=\beta \tau$, т. е. прямая $O B$, наклоненная под тем же углом $\alpha=\operatorname{arctg} \beta$, но уже к временной
Рис. 332.
Рис. 333.

оси т. В новой системе отсчета события $O$ и $A$ будут одновременными, но не одноместными. События же $O$ и $B$ одноместны, но не одновременны.

Вообще, все события по отношению к событию $O$ можно разделить на абсолютно удаленные и абсолютно неодновременные (т. е. абсолютно прошедшие и абсолютно будущие), как это показано на рис. 333. Для первых интервал между событиями чисто мнимый, для вторых — вещественный. Границей между такими событиями служат пунктирные мировые линии световых сигналов, распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях прбстранственной оси. В четырехмерном пространстве Минковского такой границей будет трехмерное многообразие, а именно конус $\tau^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=0$, осью которого является ось времени $\tau$. Он называется световым конусом.

Причинно связанными могут быть только события, интервал между которыми времениподобный. Например, событие $O$ (рис. 332) могло бы быть причиной события $B$, так как в любой системе отсчета событие $B$ наступает позже события $O$. Но события не могут быть причинно связанными, когда интервал между ними пространственноподобный. Таковы, например, события $O$ и $A$ (рис. 332). В неподвижной системе отсчета $S$ событие $A$ происходит позже события $O$. В штрихованной системе $\left(x^{\prime}, \tau^{\prime}\right)$ оба эти события одновременны. Если же взять систему отсчета, движущуюся быстрее системы $\left(x^{\prime}, \tau^{\prime}\right)$, но все еще медленнее света, то ее пространственная ось будет на рис. 332 наклонена круче оси $X^{\prime}$. В такой системе отсчета событие $A$ произойдет раныше события $O$. Таким образом, нельзя удовлетворить требованию, чтобы в любой системе отсчета «причина» предшествовала «следствию». Это и доказывает наше утверждение.

Прямая $O A$ с уравнением $\tau=\beta x$ есть мировая линия некоторого движения, происходящего со скоростью $x / \tau=1 / \beta$, т. е. со свер $x$ световой скоростью. Существование сверхсветовых скоростей не противоречит теории относительности. Последняя допускает любые скорости. Однако в случае распространения состояний со сверхсветовыми скоростями интервал между любыми двумя состояниями будет пространственноподобным, а потому каждое из этих состояний не может быть причиной другого. Такие процессы не могут служить «сигналами» для передачи информации. Все тела и сигналы, передающие воздействие, не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Скорость света в вакууме есть максимально возможная скорость распространения взаимодействuй $\left.{ }^{1}\right)$.