1. Пусть две центрированные системы соединены вместе таким образом, что их оптические оси совпадают. Если известны параметры каждой системы, а также их взаимное расположение, то геометрическим построением или аналитическим расчетом можно определить положение всех кардинальных точек сложной оптической системы, состоящей из этих двух систем.

Обозначим фокусные расстояния первой системы через $f_{1}$ и $f_{1}^{\prime}$, а второй системы – через $f_{2}$ и $f_{z}^{\prime}$. Пусть $\Delta$ означает расстояние передней фокальной точки $F_{2}$ второй системы от задней фокальной точки $F_{1}^{\prime}$ первой системы (рис. 47). Это расстояние называется
Рис. 47.

оптическим интервалом двух систем и в соответствии с принятым правилом знаков считается положительным, если падающий свет идет в направлении от фокуса $F_{1}^{\prime}$ к фокусу $F_{2}$, в противоположном случае оптический интервал считается отрицательным. Заданием оптического интервала полностью определяется взаимное расположение складываемых систем. С целью упрощения вычислений начала координат для каждой из складываемых систем поместим в ее фокальные точки. Фокус $F_{1}$ примем за начало координат в пространстве предметов всей сложной системы, а фокус $F_{2}^{\prime}$ – за начало координат в пространстве изображений той же системы. Пусть $x, y$ – координаты предмета, а $x_{1}, y_{1}$ – его изображения, даваемого первой из складываемых систем. Тогда
\[
x x_{1}=f_{1} f_{1}^{\prime}, \quad \frac{y_{1}}{y}=\frac{f_{1}}{x} .
\]

Примем это промежуточное изображение за «предмет» для второй из складываемых систем. Координаты этого предмета в координатной системе с началом в точке $F_{2}$ будут $x_{2}=x_{1}-\Delta, y_{2}=y_{1}$. Если $x^{\prime}, y^{\prime}$ – координаты изображения, даваемого второй системой (а следовательно, и всей сложной системой) относительно начала $F_{2}^{\prime}$, то
\[
x_{2} x^{\prime}=f_{2} f_{2}^{\prime}, \quad \frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{x^{\prime}}{f_{2}^{\prime}} .
\]

Исключая промежуточные координаты $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$, получим
\[
x^{\prime}=\frac{f_{2} f_{2}^{\prime}}{f_{1} f_{1}^{\prime}-\Delta \cdot x} x, \quad y^{\prime}=\frac{f_{1} f_{2}}{f_{1} f_{1}^{\prime}-\Delta \cdot x} y .
\]

Это – формулы коллинеарного соответствия с коэффициентами
\[
a=f_{2} f_{2}^{\prime}, \quad b=0, \quad c=-\Delta . \quad d=f_{1} f_{1}^{\prime}, \quad e=f_{1} f_{2} .
\]

Из них по формулам (11.6) и (11.9) находим координаты фокальных точек и фокусные расстояния сложной системы:
\[
\begin{array}{c}
x_{F}=\frac{f_{1} f_{1}^{\prime}}{\Delta}, \quad x_{F^{\prime}}^{\prime}=-\frac{f_{2} f_{2}^{\prime}}{\Delta}, \\
f=-\frac{f_{1} f_{2}}{\Delta}, \quad f^{\prime}=\frac{f_{1}^{\prime} f_{3}^{\prime}}{\Delta} .
\end{array}
\]

Координаты главных точек определяются выражениями
\[
\begin{array}{l}
x_{H}=x_{F}+f=f_{1} \frac{f_{1}^{\prime}-f_{2}}{\Delta}, \\
x_{H^{\prime}}^{\prime}=x_{F^{\prime}}^{\prime}+f^{\prime}=f_{2}^{\prime} \frac{f_{1}^{\prime}-f_{2}}{\Delta} .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\frac{x_{H}}{x_{H^{\prime}}^{\prime}}=\frac{f_{1}}{f_{2}^{\prime}} .
\]

Если оптический интервал $\Delta$ обращается в нуль, то фокусные расстояния $f$ и $f^{\prime}$ обращаются в бесконечность, т. е. система будет телескопической. (Такой случай осуществляется, например, в зрительной трубе.) В этом случае уравнения (12.1) переходят в (11.23), причем
\[
A=\frac{f_{2} f_{2}^{\prime}}{f_{1} f_{1}^{\prime}}, \quad B=\frac{f_{2}}{f_{1}^{\prime}} .
\]

Угловое увеличение сложной системы будет
\[
\frac{\alpha^{\prime}}{\alpha}=\frac{B}{A}=\frac{\dot{f}_{1}}{f_{2}^{\prime}} \text {. }
\]

В частности, при $n=n^{\prime}$
\[
\frac{\alpha^{\prime}}{\alpha}=-\frac{f_{1}}{f_{2}} .
\]

Это согласуется с результатом, полученным выше для кеплеровой трубы.

Если обе складываемые системы телескопические, то составная система также телескопическая, причем ее угловое увеличение равно произведению угловых увеличений складываемых систем. Наконец, соединение телескопической системы и системы с конечными фокусными расстояниями образует систему с конечными фокусными расстояниями при всякой последовательности расположения обеих систем.
2. Величина, обратная главному фокусному расстоянию $f^{\prime}$ пространства изображений, взятая с противоположным знаком, т. е. – $1 / f^{\prime}$, называется оптической силой системы. Оптическая сила измеряется диоптриями. Диоптрия есть оптическая сила такой системы, фокусное расстояние $\left|f^{\prime}\right|$ которой равно одному метру. Для собирательных тонких линз оптическая сила положительна, для рассеиваюцих отрицательна.

Определим оптическую силу сложной системы, зная оптические силы составляющих систем и их взаимное расположение. Будем предполагать, что показатели преломления всех пространств предметов и изображений одинаковы. Обозначим через $l_{12}$ расстояние $H_{1}^{\prime} H_{2}$ передней главной плоскости $H_{2}$ второй системы от задней главной плоскости $H_{1}^{\prime}$ первой системы. Оптический интервал между рассматриваемыми системами будет
\[
\Delta=F_{1}^{\prime} F_{2}=F_{1}^{\prime} H_{1}^{\prime}+H_{1}^{\prime} H_{2}+H_{2} F_{2}=f_{1}^{\prime}+l_{12}-f_{2}=f_{1}^{\prime}+l_{12}+f_{2}^{\prime} .
\]

Подставляя это значение в формулу (12.3), получим
\[
\frac{1}{f^{\prime}}=\frac{1}{f_{1}^{\prime}}+\frac{1}{f_{2}^{\prime}}+\frac{l_{12}}{f_{1}^{\prime} f_{2}^{\prime}} .
\]

В частности, когда задняя главная плоскость первой системы совпадает с передней главной плоскостью второй системы, то
\[
\frac{1}{f^{\prime}}=\frac{1}{f_{1}^{\prime}}+\frac{1}{f_{2}^{\prime}}
\]
т. е. оптическая сила сложной системы равна сумме оптических сил составляющих систем. Это имеет место, например, для двух тонких линз, прижатых вплотную одна к другой.

Применим полученные результаты к системе двух центрированных тонких линз: собирательной и рассеивающей, поставленных друг за другом. Пусть фокусные расстояния линз по абсолютной величине одинаковы: $f_{1}=-f_{2}$, а потому $f_{1}^{\prime}=-f_{2}^{\prime}$. Оптический интервал между линзами $\Delta=f_{1}^{\prime}+l_{12}+f_{2}^{\prime}=l_{12}$, т, е. положителен ( $l_{12}>0$ ). Из формулы (12.6) получаем
\[
f=-f^{\prime}=-\frac{f_{1}^{\prime} f_{2}^{\prime}}{l_{12}}=-\frac{f_{1} f_{2}}{l_{12}}=\frac{f_{1}^{2}}{l_{12}}>0 .
\]

Далее, по формулам (12.2) и (12.4) находим $x_{H}=x_{H^{\prime}}^{\prime}=0$, т. е. главные плоскости $H$ и $H^{\prime}$ системы проходят соответственно через фокусы $F_{1}$ и $F_{1}^{\prime}$ и находятся на расстоянии $l_{12}$ друг от друга. Абсцисса главного фокуса $F^{\prime}$ системы:

абсцисса линзы $L_{2}$ :
\[
x_{F^{\prime}}^{\prime}=-\frac{f_{2} f_{2}^{\prime}}{l_{12}}=\frac{f_{1}^{2}}{l_{12}},
\]

Таким образом,
\[
x_{L_{2}}^{\prime}=f_{2}^{\prime}=-f_{1}^{\prime}=f_{1} \text {. }
\]
\[
x_{F^{\prime}}^{\prime}-x_{L_{2}}^{\prime}=\frac{f_{1}^{2}}{l_{12}}-f_{1} \text {. }
\]

Для того чтобы система линз собирала лучи, параллельные главной оптической оси, в действительном фокусе, т. е. была собирающей, необходимо, чтобы эта разность была положительна. Если первая линза рассеивающая, то указанное условие соблюдается всегда, так как в этом случае $f_{1}<0$. Если же первая линза собирательная, то это условие сводится к $l_{12}<f_{1}$. Эти результаты легче получить непосредственным геометрическим построением, что и рекомендуется сделать читателю.

Системы линз, аналогичные рассмотренной, применяются в современных ускорителях для фокусировки заряженных частиц. На них основан принцип так называемой жесткой фокусировки.
3. Каждая центрированная система может рассматриваться как сложная система, состоящая из нескольких подсистем. В качестве подсистем можно взять сферические границы раздела сред, на которых световые лучи испытывают преломление или отражение. Для сферической границы раздела коллинеарное соответствие выражается формулами (10.4). Из них и из формул (11.8) находим прежде всего: $x_{H}=x_{H^{\prime}}^{\prime}=0$, т. е. обе главные плоскости совпадают между собой и проходят через точку пересечения рассматриваемой преломляющей поверхности с главной оптической осью системы. Для фокусных расстояний $f$ и $f^{\prime}$ подсистем формулы (10.4) и (11.9) дают
\[
f=\frac{R n}{n^{\prime}-n}, \quad f^{\prime}=-\frac{R n^{\prime}}{n^{\prime}-n} .
\]

Используя эти формулы, а также формулы (12.2), (12.3) и (12.4), можно рассчитать параметры любой центрированной системы.
4. В качестве примера проведем расчет параметров толстой линзы. Пусть $R_{1}$ и $R_{2}$ означают радиусы кривизны преломляющих сферических поверхностей линзы, $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ – показатели преломления первой среды, вещества линзы и второй среды (рис. 48), $f_{1}$ и $f_{1}^{\prime}$ – фокусные расстояния при преломлении на передней поверхности линзы, $f_{2}$ и $f_{2}^{\prime}$ – на задней. В таком случае
\[
\begin{array}{l}
f_{1}=\frac{n_{1} R_{1}}{n_{2}-n_{1}}, \quad f_{1}^{\prime}=-\frac{n_{2} R_{1}}{n_{2}-n_{1}}, \\
f_{2}=\frac{n_{2} R_{2}}{n_{3}-n_{2}}, \quad f_{2}^{\prime}=-\frac{n_{3} R_{2}}{n_{3}-n_{2}} .
\end{array}
\]

Будем рассматривать преломляющие поверхности линзы как центрированные подсистемы, а саму линзу – как сложную систему.

Если $d$ – толщина линзы, то $\Delta=f_{1}^{\prime}+d-f_{2}$, или после подстановки значений $f_{1}^{\prime}$ и $f_{2}^{\prime}$
\[
\Delta=\frac{D}{\left(n_{2}-n_{1}\right)\left(n_{7}-n_{2}\right)},
\]

где введено обозначение
\[
D=d\left(n_{1}-n_{2}\right)\left(n_{2}-n_{3}\right)+n_{2}\left[R_{1}\left(n_{2}-n_{3}\right)+R_{2}\left(n_{1}-n_{2}\right)\right] .
\]

Для фокусных расстояний $f$ и $f^{\prime}$ линзы из формул (12.3) получаем
\[
f=-n_{1} n_{2} \frac{R_{1} R_{2}}{D}, f^{\prime}=n_{2} n_{3} \frac{R_{1} R_{2}}{D} .
\]

Координаты фокальных точек линзы $F$ и $F^{\prime}$ можно вычислить по формулам (12.2), которые дают
\[
x_{F}=-n_{1} n_{2} \frac{n_{2}-n_{3}}{n_{1}-n_{2}} \frac{R_{1}^{2}}{D}, \quad x_{F^{\prime}}^{\prime}=n_{2} n_{3} \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{2}-n_{3}} \frac{R_{2}^{2}}{D} .
\]

При этом за начало координат .в пространстве предметов линзы принят фокус $F_{1}$, а в пространстве изображений – фокус $F_{2}^{\prime}$.
рис. 48.
Найдем расстояния $h$ и $h^{\prime}$ главных плоскостей линзы от точек $O$ и $O^{\prime}$. По определению

Отсюда
\[
\begin{aligned}
h & =O H=O F_{1}+F_{1} F+F H=-f_{1}+x_{F}+f, \\
h^{\prime} & =O^{\prime} H^{\prime}=O^{\prime} F_{2}^{\prime}+F_{2}^{\prime} F^{\prime}+F^{\prime} H^{\prime}=-f_{2}^{\prime}+x_{F^{\prime}}^{\prime}+f^{\prime} .
\end{aligned}
\]
\[
h=n_{1}\left(n_{2}-n_{3}\right) \frac{R_{1} d}{D}, \quad h^{\prime}=-n_{3}\left(n_{1}-n_{2}\right) \frac{R_{2} d}{D} .
\]

Обычно показатели преломления крайних сред $n_{1}$ и $n_{3}$ одинаковы. Полагая в этом случае $n_{1}=n_{3}=1, n_{2}=n$, получим
\[
\begin{array}{c}
f=-f^{\prime}=-n \frac{R_{1} R_{2}}{D^{\prime}}, \\
h=(n-1) \frac{R_{1} d}{D}, \quad h^{\prime}=(n-1) \frac{R_{2} d}{D}, \\
D=(n-1)\left[n\left(R_{1}-R_{2}\right)-d(n-1)\right], \\
e=H H^{\prime}=d-h+h^{\prime} ;
\end{array}
\]

через $e$ здесь обозначено расстояние главной плоскости $H^{\prime}$ от главной плоскости $H$ (см. рис. 48).
Рис. 49.
Если линза не очень толстая, а разность $R_{1}-R_{2}$ не слишком мала, то в выражении (12.18) слагаемым $d(n-1)$ можно пренебречь. В этом приближении
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{f}=-\frac{1}{f^{\prime}}=(n-1)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right), \\
h=\frac{R_{1}}{n\left(R_{1}-R_{2}\right)} d, \quad h^{\prime}=\frac{R_{2}}{n\left(R_{1}-R_{2}\right)} d, \\
\frac{h}{h^{\prime}}=\frac{R_{1}}{R_{2}}, \\
e=\frac{n-1}{n} d .
\end{array}
\]

На рис. 49 изображены типичные линзы с указанием положений их главных плоскостей ( $n=1,5$ ).
З А д чи
1. Для определения углового увеличения зрительной трубы методом Рамсдена ( $1735-1800$ ) трубу устанавливают на бесконечность. Вывернув объектив, устанавливают на его место предмет определенной величины (экран с вырезом). Окуляр трубы дает действительное изображение взятого предмета. Пусть $L$ величина предмета, а $l$ – величина его изображения. Показать, что угловое увеличение зрительной трубы равно $L / l$.

Решение. Примем за начала координатных систем фокальные точки окуляра. Тогда в формуле (11.17) следует положить $X=f_{1}^{\prime}, f=f_{2}$. Это дает $L / l=f_{1}^{\prime} / f_{2}$, т, е, увеличение трубы (см, $\$ 11$, пункт 10),

2. Для определения фокусного расстояния собирательной линзы Бессель (1784-1846) предложил следующий метод.

С помощью линзы на экране получается действительное изображение предмета. Пусть $A$ – расстояние от предмета до его изображения. Тогда $A=\xi^{\prime}+$ $+e-\xi$. Исключая с помощью этого соотношения $\xi^{\prime}$ из (11.14), получим

Если
\[
\begin{array}{c}
\xi^{2}+(A-e) \xi+(A-e) f=0 \\
A-e>4 f
\end{array}
\]

то уравнение (12.24) имеет два вещественных корня $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$. В этом случае существуют два положения линзы, при которых на экране получаются действнтельные изображения предмета (при неизменном расстоянии между предметом и экраном). Чтобы перейти от одного изображения к другому, надо сместить линзу на расстояние $a=\xi_{1}-\xi_{2}=\sqrt{(A-e)^{2}-4 f(A-e)}$, откуда
\[
f=-f^{\prime}=\frac{(A-e)^{2}-a^{2}}{4(A-e)} .
\]

Величины $A$ и $a$ можно измерить. Величина же $e$ – расстояние между главными плоскостями – неизвестна. Для ее определения можно взять другое расстояние $A_{1}$ между предметом и экраном и измерить соответствующее смещение линзы $a_{1}$. Получится выражение вида (12.26), в котором $A$ и $a$ заменены на $A_{1}$ и $a_{1}$. Сравнивая эти два выражения, можно вычислить $е$. Для упрощения расчета можно пренебречь $e^{2}$ по сравнению с $A^{2}$. Это дает
\[
f=-f^{\prime}=\frac{A^{2}-a^{2}}{4 A}-\frac{A^{2}+a^{2}}{4 A^{2}} e .
\]