1. Многие оптические явления находят удовлетворительное объяснение в предположении, что связь между векторами $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{E}$ (а также между $\boldsymbol{B}$ и $\boldsymbol{H}$ ) локальна во времени и пространстве. Это значит, что вектор $\boldsymbol{D}$ в любой точке пространства $\boldsymbol{r}$ и в любой момент времени $t$ определяется значением вектора $\boldsymbol{E}$ в той же точке и в тот же момент времени. (То же относится к векторам $\boldsymbol{B}$ и $\boldsymbol{H}$. В целях сокращения подобные замечания в дальнейшем подразумеваются, а все изложение ведется для векторов $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{E}$.) Однако для истолкования некоторых явлений предположения о локальной связи недостаточно. Пространственно-временную нелокальность можно разбить на чисто пространственную и чисто временную. Отвлечемся сначала от чисто пространственной нелокальности и учтем нелокальность временную. Среда во всем дальнейшем предполагается однородной.
2. Временная нелокальность проявляется в оптической дисперсии среды. Действительно, для истолкования дисперсии необходимо учитывать инерционные свойства электронов, атомных ядер и ионов вещества. А такая инерционность и приводит к нелокальной связи по времени между $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{E}$. Пренебрегая пространственной нелокальностью, будем рассуждать так, как если бы во всем пространстве электромагнитное поле было однородно и менялось только во времени. Действием магнитного поля будем пренебрегать. Рассмотрим сначала импульсные воздействия на среду. Допустим, что от момента $t=0$ в течение времени $d t$ среда подверглась воздействию электрического поля $E$, а по истечении этого промежутка поле в среде снова обратилось в нуль. Такое воздействие может рассматриваться как электрический толчок, возбуждающий регулярные колебания электронов, атомных ядер и ионов среды. Эти колебания не прекращаются после прекращения действия поля, но продолжаются дальше в силу конечности масс колеблющихся частиц. В этом и проявляется временная нелокальность связи между отклонением частиц из положений равновесия и электрическим полем, а следовательно, между поляризацией $\boldsymbol{P}$ или индукцией $\boldsymbol{D}$ среды и полем $\boldsymbol{E}$.

В рамках линейной электродинамики поляризация среды $d \boldsymbol{P}$, вызванная электрическим толчком, пропорциональна $\boldsymbol{E} d t$. Предполагая, что среда однородна и изотропна, для вектора $d \boldsymbol{P}$ в момент времени $t$ можно написать
\[
d \boldsymbol{P}(t)=f(t) \boldsymbol{E}(0) d t,
\]

где функция $f(t)$ зависит только от свойств среды и от времени $t$, которое прошло с момента действия толчка до момента наблюдения. Функция $f(t)$ должна обращаться в нуль при $t=0$, так как из-за своей инерционности электроны, атомные ядра и ионы не могут мгновенно получить конечные смещения. Она должна обращаться в нуль и при $t=\infty$, так как все реальные среды дисcunaтивны, так что всякое свободное колебание в них должно в конце концов затухнуть.

Если поле $E$ действует в течение длительного промежутка времени, то этот промежуток можно разбить на бесконечно малые промежутки и таким путем свести воздействие электрического поля на среду к действию последовательных толчков. Вклад в поляризацию среды в момент времени $t$, внесенный более ранним электрическим толчком $\boldsymbol{E}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}$, будет $d \boldsymbol{P}(t)=f\left(t-t^{\prime}\right) \boldsymbol{E}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}$. В линейной электродинамике справедлив принцип суперпозиции, а потому полный вектор поляризации в момент времени $t$ будет
\[
\boldsymbol{P}(t)=\int_{-\infty}^{t} f\left(t-t^{\prime}\right) \boldsymbol{E}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

или, вводя новую переменную интегрирования $\vartheta=t-t^{\prime}$,
\[
\boldsymbol{P}(t)=\int_{0}^{\infty} f(\vartheta) E(t-\vartheta) d \vartheta .
\]

Следовательно,
\[
\boldsymbol{D}(t)=\boldsymbol{E}(t)+4 \pi \int_{0}^{\infty} f(\vartheta) \boldsymbol{E}(t-\boldsymbol{\vartheta}) d \boldsymbol{\vartheta} .
\]

Интегрирование производится по времени, предшествующему рассматриваемому моменту $t$. Этого требует принцип причинности. В своей нерелятивистской форме он означает, что каждое событие определяется только прошедиими событиями, но не может зависеть oт будущих.

Если $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0} \exp (i \omega t)$, то после подстановки этого выражения в (96.4) получится
\[
\boldsymbol{D}(t)=\boldsymbol{\varepsilon}(\omega) \boldsymbol{E}(t),
\]

где
\[
\varepsilon(\omega)=1+4 \pi \int_{0}^{\infty} f(\vartheta) e^{-i \omega \theta} d \vartheta .
\]

Таким образом, для монохроматического поля связь между $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{E}$

формально может быть записана в локальной форме с помощью диэлектрической проницаемости как функции частоты $\omega$. Оптическая дисперсия, т. е. зависимость $\varepsilon$ от $\omega$, эквивалентна нелокальной связи по времени между $\boldsymbol{D}(t)$ и $\boldsymbol{E}(t)$. Поэтому такую дисперсию называют временной или частотной дисперсией, в отличие от пространственной дисперсии, о кӧторой говорится ниже.
3. Учтем теперь пространственную нелокальность. Если электрическое поле неоднородно, то для нахождения индуцированного дипольного момента молекулы недостаточно знать вектор $E$ в одной точке пространства, а требуется знание функции $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$ во всем об теме, занимаемом молекулой. Это эквивалентно знанию поля $\boldsymbol{E}$ и его пространственных производных всех порядков в какой-то одной точке внутри молекулы (которую условно можно назвать центром молекуль), так как тогда функция $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})$ представится рядом Тэйлора по координатам $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ вектора $r$.

Легко оценить порядок последовательных членов этого ряда в монохроматическом поле световой волны. Производная $\partial E_{l} / \partial x_{m}$ будет порядка $E / \lambda$, а координата $x_{m}$ – порядка размеров молекулы $a$, так что член $x_{m} \cdot \partial E_{l} / \partial x_{m}$ будет порядка $(a / \lambda) E$. Так же оцениваются и порядки членов, содержащих высшие производные. Если нулевой член ряда принять за единицу, то члены, содержащие первые, вторые и последующие производные, будут порядка $a / \lambda$, $(\alpha / \lambda)^{2},(\alpha / \lambda)^{3}$ и т. д.

Қак видно, в неоднородном поле связь между индуцированным дипольным моментом молекулы и электрическим полем $\boldsymbol{E}$ пространственно нелокальна. Это ведет к пространственной нелокальности связи между $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{E}$, а также между $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{E}$. При этом в слабых электрических полях, с которыми имеют дело линейная электродинамика и оптика, можно пренебречь влиянием квадратов и высших степеней поля $\boldsymbol{E}$ и его пространственных производных. В этом «линейном приближении» в монохроматическом поле световой волны можно написать
\[
D_{J}=\varepsilon_{j l} E_{l}+\gamma_{j l m} \frac{\partial E_{l}}{\partial x_{m}}+\alpha_{j l m n} \frac{\partial^{2} E_{l}}{\partial x_{m} \partial x_{n}}+\ldots
\]

Для общности предполагается, что среда анизотропна. Ее оптические свойства характеризуются тензорами $\varepsilon_{l}, \gamma_{l m}$, .., являющимися функциями частоты $\omega$. В соответствии с общепринятой тензорной символикой по дважды встречающимся координатным индексам подразумевается суммирование. Қак выяснено выше, если нулевой член ряда (96.7) принять за единицу, то последующие члены будут порядка $a / \lambda,(a / \lambda)^{2}$ и т. д.
В случае плоской монохроматической волны
\[
\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0} \exp i(\omega t-\boldsymbol{k r})
\]

дифференцирование по координате $x_{m}$ сводится к умножению на $-i k_{m}$. Поэтому соотношение (96.7) можно записать в виде
\[
D_{j}(\boldsymbol{r}, t)=\varepsilon_{j l}(\omega, \boldsymbol{k}) E_{l}(\boldsymbol{r}, t),
\]

где введено обозначение
\[
\varepsilon_{j l}(\omega, k)=\varepsilon_{j l}(\omega)-i k_{m} \gamma_{j l m}+\left(-i k_{m}\right)\left(-i k_{n}\right) \alpha_{j l m n}+\ldots
\]

Таким образом, в поле плоской монохроматической волно связь между $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{E}$ опять принимает формально локальный характер. Однако тензор диэлектрической проницаемости $\varepsilon_{j l}(\omega, k)$ теперь зависит не только от $\omega$, но и от $\boldsymbol{k}$. Зависимость этого тензора от волнового вектора $\boldsymbol{k}$ называется пространственной дисперсией.
4. Ввиду малости параметра $a / \lambda$ эффекты пространственной дисперсии в оптике малы и трудно наблюдаемы. Долгое время единственно известным из таких эффектов было естественное вращение плоскости поляризации. Оно наблюдается в таких средах, у которых тензор $\gamma_{\text {lm }}$ отличен от нуля.

Найдем вид тензора $\gamma_{j l m}$ для дисимметрично изотропных сред – жидкостей и кристаллов кубической системы, у которых тензор $\varepsilon_{l l}(\omega)$ вырождается в скаляр. Отбросив в выражении (96.7) все члены, содержащие тензоры четвертого и высших порядков, напишем
\[
D_{j}(\boldsymbol{r}, t)=\varepsilon E_{j}(\boldsymbol{r}, t)+\gamma_{j l m} \frac{\partial E_{l}}{\partial x_{m}} .
\]

В развернутом виде для $x$-составляющей вектора $\boldsymbol{D}$ это соотношение гласит
\[
\begin{aligned}
D_{x}= & \varepsilon E_{x}+\gamma_{x x x} \frac{\partial E_{x}}{\partial x}+\gamma_{x x y} \frac{\partial E_{x}}{\partial y}+\gamma_{x x z} \frac{\partial E_{x}}{\partial z}+\gamma_{x y x} \frac{\partial E_{y}}{\partial x}+ \\
& +\gamma_{x y y} \frac{\partial E_{y}}{\partial y}+\gamma_{x y z} \frac{\partial E_{y}}{\partial z}+\gamma_{x z x} \frac{\partial E_{z}}{\partial x}+\gamma_{x z y} \frac{\partial E_{z}}{\partial y}+\gamma_{x z z} \frac{\partial E_{z}}{\partial z} .
\end{aligned}
\]

Повернем теперь координатную систему вокруг оси $X$ на угол $90^{\circ}$ (рис. 320). Ввиду изотропии среды, все коэффициенты в предыдущем соотношении останутся неизменными. Однако $y$ и $E_{y}$ перейдут в $-z$ и $-E_{z}$, а $z$ и $E_{z}-$ в $y$ и $E_{y}$. Остальные координаты и компоненты векторов $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{D}$ останутся неизменными. Произведя в (96.11) соответствующую замену, получим
\[
\begin{array}{l}
D_{x}=\varepsilon E_{x}+\gamma_{x x x} \frac{\partial E_{x}}{\partial x}-\gamma_{x x y} \frac{\partial E_{x}}{\partial z}+\gamma_{x x z} \frac{\partial E_{x}}{\partial y}-\gamma_{x y x} \frac{\partial E_{z}}{\partial x}+ \\
+\gamma_{x y y} \frac{\partial E_{z}}{\partial z}-\gamma_{x y z} \frac{\partial E_{z}}{\partial y}+\gamma_{x z x} \frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\gamma_{x z y} \frac{\partial E_{y}}{\partial z}+\gamma_{x z z} \frac{\partial E_{y}}{\partial y} .
\end{array}
\]

Но в силу определения тензора $\gamma_{i l m}$ в повернутой системе координат соотношение между $D_{x}$ и компонентами вектора $\boldsymbol{E}$ можно записать в прежней форме (96.11). Сравнение обоих соотношений дает $\gamma_{x x y}=\gamma_{x x z}, \quad \gamma_{x x z}=-\gamma_{x x y}$, откуда $\gamma_{x x y}=\gamma_{x x z}=0$ и т. д. Кроме того, $\gamma_{x y z}=-\gamma_{x z y}$ и т. д.

Что касается коэффициента $\gamma_{x x x}$, то он равен нулю. Действйтельно, в силу симметрии $\gamma_{x x x}=\gamma_{y y y}=\gamma_{z z z}$. Повернем исходную систему координат вокруг оси $Z$ на угол $90^{\circ}$, чтобы ось $Y$ приняла отрицательное направление прежней оси $X$. Тогда в (96.11), оставляя коэффициенты неизменными, следует сделать замену $x \rightarrow-y$, $D_{x} \rightarrow-D_{y}, E_{x} \rightarrow-E_{y}$, что дает
\[
-D_{y}=-\varepsilon E_{y}+\gamma_{x x x} \frac{\partial E_{y}}{\partial y}+\ldots
\]

С другой стороны, на основании определения тензора $\gamma_{j l m}$ в повернутой системе можно сразу написать
\[
D_{y}=\varepsilon E_{y}+\gamma_{y y y} \frac{\partial E_{y}}{\partial y}+\ldots
\]

Отсюда, ввиду равенства $\gamma_{x x x}=\gamma_{y y y}$, получаем $\gamma_{x x x}=0$.
Таким образом, все компоненты тензора $\gamma_{j l m}$ обращаются в нуль, если какие-либо два из индексов $j, l, m$ одинаковы, независимо от значения третьего индекса. Отличны от нуля только компоненты, у которых все три индекса различны. При этом піри перестановке любых соседних индексов составляющая тензора $\gamma_{j l m}$ меняет знак. Следовательно, можно написать
\[
\gamma_{x y z}=-\gamma_{y x z}=\gamma_{y z x}=-\gamma_{z y x}=\gamma_{z x y}=-\gamma_{x z y}=-g .
\]

В результате (96.11) перейдет в
\[
D_{x}=\varepsilon E_{x}+g\left(\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}\right),
\]

или в векторной форме
\[
\boldsymbol{D}=\varepsilon \boldsymbol{E}+g \operatorname{rot} \boldsymbol{E} .
\]

Если каждая точка среды является центром симметрии, то при отражении в этом центре среда переходит сама в себя, а потому тензор $\gamma_{j l m}$ при таком отражении должен оставаться неизменным. Но при этом правая система координат переходит в левую, а знаки координат $x, y, z$ и компонент полярных векторов $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{D}$ меняются на противоположные, так что (96.10) переходит в
\[
-D_{j}=-\varepsilon E_{j}+\gamma_{j l m} \frac{\partial E_{l}}{\partial x_{m}} .
\]

Следовательно, $\gamma_{j l m}=0$, т. е. вращение плоскости поляризации невозможно. Для возможности вращения необходимо, чтобы молекулы жидкости или кристаллов кубической системы не имели центров симметрии.

Заметим еще, что в случае изотропной естественно-активной среды величина $g$ есть псевдоскаляр, а не истинный скаляр (см. т. I, § 7). При переходе от правой системы координат к левой или наоборот знак этой величины меняется на противоположный. Это непосредственно видно из соотношения (96.12), которое показывает, что $\gamma_{j l m}$ есть полностью антисимметричный псевдотензор.
5. По аналогии с формулой (96.13) можно написать
\[
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{H}+g^{\prime} \text { rot } \boldsymbol{H},
\]

где $g^{\prime}$ – новый псевдоскаляр. Магнитную проницаемость $\mu$ мы при этом приняли равной единице. Введение добавочного члена $g^{\prime} \operatorname{rot} \boldsymbol{H}$ необходимо для выполнения закона сохранения энергии. Действительно, используя уравнения Максвелла, приведем соотношения (96.13) и (96.14) к виду
\[
\boldsymbol{D}=\varepsilon \boldsymbol{E}-\frac{g}{c} \frac{\partial B}{\partial t} ; \quad \boldsymbol{B}=\boldsymbol{H}+\frac{g^{\prime}}{c} \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} .
\]

Эти уравнения можно упростить. Для этого подставим второе выражение в первое, а первое во второе и отбросим при этом произведение $g g^{\prime}$, как величину более высокого порядка малости. Тогда получим
\[
D=\varepsilon E-\frac{g}{c} \frac{\partial B}{\partial t}, \quad B=H+\frac{\varepsilon g^{\prime}}{c} \frac{\partial E}{\partial t} .
\]

Теперь воспользуемся результатом электродинамики, согласно которому величина $\boldsymbol{E} \dot{\boldsymbol{D}}+\boldsymbol{H} \dot{\boldsymbol{B}}$ равна производной по времени от (умноженной на 8л) плотности электромагнитной энергии (см. т. III, § 84). Используя (96.15), преобразуем это выражение к виду
\[
E \dot{D}+H \dot{B}=(\varepsilon E \dot{E}+H \dot{H})+\frac{1}{c}\left(\varepsilon g^{\prime} E \ddot{E}-g H \ddot{H}\right) .
\]

Первый член справа есть производная от $1 / 2\left(\varepsilon E^{2}+\boldsymbol{H}^{2}\right)$. Следовательно, и второй член должен быть производной по времени ор некоторой функции, Это будет действительно так, если выполняется соотношение $\varepsilon g^{\prime}=g$, так как тогда
\[
\varepsilon g^{\prime} \boldsymbol{E} \ddot{E}-g H \ddot{H}=g \frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{E} \dot{E}-H \dot{H}) .
\]

Тем самым доказана необходимость введения второго члена в формуле (96.14), а формулы (96.15) приводятся к окончательному виду
\[
D=\varepsilon E-\frac{g}{c} \frac{\partial H}{\partial t}, \quad B=H+\frac{g}{c} \frac{\partial E}{\partial t} .
\]
6. Теперь мы располагаем полной системой уравнений для монохроматических волн в однородной естественно-активной среде.

Из уравнений $\operatorname{div} \boldsymbol{D}=0$ и $\operatorname{div} \boldsymbol{B}=0$ следует, что плоские волны в такой среде поперечны относительно векторов $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{B}$. Они поперечны также относительно векторов $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$, так как из уравнений (96.13) и (96.14) следует, что $\operatorname{div} \boldsymbol{E}=\operatorname{div} \boldsymbol{H}=0$. Подставив далее выражения (96.16) в уравнения Максвелла
\[
\operatorname{rot} \boldsymbol{H}=\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}, \quad \operatorname{rot} E=-\frac{1}{c} \frac{\partial B}{\partial t},
\]

получим
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{rot} \boldsymbol{H}=\frac{\varepsilon}{c} \frac{\partial E}{\partial \bar{t}}-\frac{g}{c^{2}} \frac{\partial^{2} H}{\partial t^{2}}, \\
\operatorname{rot} \boldsymbol{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial H}{\partial t}-\frac{g}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} .
\end{array}
\]

Допустим, что волна плоская и распространяется в положительном направлении оси $Z$. Тогда отличными от нуля будут только компоненты $E_{x}$ и $E_{y}, H_{x}$ и $H_{y}$, причем эти величины зависят только от одной координаты $z$. С учетом этого запишем уравнения (96.17) в координатной форме
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial E_{x}}{\partial z}=-\frac{1}{c} \frac{\partial H_{y}}{\partial t}-\frac{g}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}}, \\
\frac{\partial E_{y}}{\partial z}=\frac{1}{c} \frac{\partial H_{x}}{\partial t}+\frac{g}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}}
\end{array}
\]

и аналогично для производных $\partial H_{x} / \partial z$ и $\partial H_{y} / \partial z$. Здесь все величины вещественные. Для упрощения рассуждений удобно ввести комплексные комбинации
\[
\begin{array}{ll}
E_{+}=E_{x}+i E_{y}, & E_{-}=E_{x}-i E_{y}, \\
H_{+}=H_{x}+i H_{y}, & H_{-}=H_{x}-i H_{y} .
\end{array}
\]

Вещественная часть комплексного числа $E_{+}$дает компоненту $E_{*}$, а коэффициент при мнимой части – компоненту $E_{y}$, и т. д. Однако при исследовании явлений круговой поляризации удобнее оперировать непосредственно с самими комплексными комбинациями, не переходя к вещественной форме. Например, если совершаются гармонические колебания $E_{x}=A \cos \omega t, E_{y}=A \sin \omega t$, то $E_{+}=$ $=A e^{i \omega t}$. Точка, изображающая комплексное число $E_{+}$, движется в комплексной плоскости по кругу в направлении от оси $X$ к оси $Y$, т. е. представляет волну, поляризованную по левому кругу. Аналогично, комплексная комбинация $E_{-}$описывает волну, поляризованную по правому кругу.

Умножив второе уравнение (96.18) на $i$, почленным сложением и вычитанием этих уравнений найдем выражения для производных $\partial E_{+} / \partial z$ и $\partial E_{-} / \partial z$. Аналогично поступаем с магнитным полем. В результате получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial E_{+}}{\partial z}=\frac{i}{c} \frac{\partial H_{+}}{\partial t}+\frac{i g}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{+}}{\partial t^{2}}, \\
\frac{\partial H_{+}}{\partial z}=-\frac{i \varepsilon}{c} \frac{\partial E_{+}}{\partial t}+\frac{i g}{c^{2}} \frac{\partial^{2} H_{+}}{\partial t^{2}} . \\
\frac{\partial E_{-}}{\partial z}=-\frac{i}{c} \frac{\partial H_{-}}{\partial t}-\frac{i g}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{-}}{\partial t^{2}}, \\
\frac{\partial H_{-}}{\partial z}=\frac{i \varepsilon}{c} \frac{\partial E_{-}}{\partial t}-\frac{i g}{c^{2}} \frac{\partial^{2} H_{-}}{\partial t^{2}} .
\end{array}
\]

Уравнения разделились на две группы независимых уравнений В одну группу входят комбинации $E_{+}$и $H_{+}$, описывающие волны с левой круговой поляризацией, в другую – комбинации $E_{-}$и $H_{-}$, которым соответствует правая круговая поляризация. Ввиду однотипности обеих групп достаточно исследовать одну из них, например группу (96.20). Исключим из нее стандартным способом величину $H_{+}$. Отбрасывая члены, содержащие $g^{2}$, получим
\[
\frac{\partial^{2} E_{+}}{\partial z^{2}}=\frac{\varepsilon}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{+}}{\partial t^{2}}+\frac{2 i g}{c^{2}} \frac{\partial^{3} E_{+}}{\partial t^{2} \partial z}
\]

и такое же уравнение для $H_{+}$. В монохроматической плоской волне $E_{\llcorner}=C \exp i(\omega t-k z)$ дифференцирование по $z$ эквивалентно умножению на $-i k$. Поэтому
\[
\frac{\partial^{2} E_{+}}{\partial z^{2}}=\frac{\varepsilon^{\prime}}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{+}}{\partial t^{2}}+\frac{2 g k}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{+}}{\partial t^{2}} .
\]

Здесь в последнем члене вместо $k$ можно подставить волновое число в нулевом приближении, т. е. $k=\omega \sqrt{\varepsilon} / c$. Тогда получится волновое уравнение
\[
\frac{\partial^{2} E_{+}}{\partial z^{2}}=\frac{1}{v_{+}^{2}} \frac{\partial^{2} E_{+}}{\partial t^{2}},
\]

в котором
\[
v_{+}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon}} \frac{1}{[1+2 g \omega / c \sqrt{\varepsilon}]^{1 / 2}}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon}}-\frac{g \omega}{\varepsilon},
\]

или.
\[
v_{+}=\frac{c}{n}-\frac{g \omega}{n^{2}},
\]

где $n$ – показатель преломления среды. Аналогично, для волны с левой круговой поляризацией
\[
v_{-}=\frac{c^{\top}}{n}+\frac{g \omega}{n^{2}} .
\]

Скорости $v_{+}$и $v_{-}$различны. Поэтому должно существовать круговое двойное лучепреломление, а следовательно, и вращение плоскости поляризации.

Убедимся еще, что в каждой поляризованной по кругу плоской волне электрический и магнитный векторы взаимно перпендикулярны. Для этого в уравнениях (96.20) достаточно произвести замену $\partial / \partial t \rightarrow i \omega, \partial / \partial z \rightarrow-i k$. Тогда первое уравнение перейдет в
\[
\frac{\omega}{c} H_{+}=i\left(k-\frac{g \omega^{2}}{c}\right) E_{+} .
\]

Отсюда видно, что отношение $E_{+} / H_{+}$чисто мнимое, а это эквивалентно утверждению, что векторы $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ в рассматриваемой волне взаимно перпендикулярны.
7. В средах, обладающих центром симметрии, разложение (96.9) тензора $\varepsilon_{j l}(\omega, \boldsymbol{k})$ не может содержать линейных членов по $\boldsymbol{k}$. В таких случаях пространственная дисперсия может быть обусловлена квадратичными членами. С ней связана слабая зависимость поглощения кубических кристаллов закиси меди $\mathrm{Cu}_{2} \mathrm{O}$ от поляризации света (Гросс и Қаплянский, 1960 г.), а также слабая анизотропия показателя преломления кубических кристаллов кремния (Пастернак и Ведам, 1971 г.). Эффекты очень малы, так как они определяются квадратом $(a / \lambda)^{2}$, т. е. величиной порядка $10^{-6}-10^{-5}$ ( $a$ – размер молекулы или постоянная кристаллической решетки). Существуют и другие эффекты пространственной дисперсии, в обсуждение которых мы входить не будем.