1. Если используется белый свет, то в изображении возникают дополнительные аберрации. Действительно, показатель преломления зависит от длины волны (дисперсия света). Поэтому оптическая система дает не одно, а множество монохроматических изображений, отличающихся друг от друга по величине и положению. В этом можно убедиться, разложив белый свет на монохроматические составляющие и воспользовавшись принципом суперпозиции. Результирующее изображение, получающееся от наложения таких монохроматических изображений, оказывается нерезким и с окрашенными краями. Это явление называется хроматической аберрацией, или хроматизмом.

Хроматическая аберрация устраняется путем комбинации линз, изготовленных из стекла $\mathfrak{c}$ различными оптическими свойствами. Устранение ее для всех лучей спектра невозможно. Обычно совмещают изображения только для каких-либо двух лучей с различными длинами волн. Тогда говорят, что оптическая система ахроматизована или исправлена в хроматическом отношении. Оставшаяся хроматическая аберрация называется вторичным спектром, В большинстве случаев на практике она уже не сказывается существенно на качестве изображения. Выбор лучей, для которых должна быть ахроматизована оптическая система, определяется ее назначением. В случае визуальных приборов эти лучи надо выбирать по разные стороны вблизи желто-зеленой области спектра, к которой наиболее чувствителен человеческий глаз. Обычно в таких приборах ахроматизация производится для фраунгоферовых линий с длинами волн $\lambda_{C}=656,3$ нм и $\lambda_{F}=486,1$ нм. В фотографических аппаратах ахроматизация осуществляется для лучей, лежащих ближе к синему концу спектра, так как эти лучи сильнее действуют на фотографическую пластинку. Здесь обычно ахроматизация выполняется для фраунгоферовых линий с длинами волн $\lambda_{D}=589,3$ нм и $\lambda_{a}=$ $=434,0 \mathrm{HM}$.

Для полной ахроматизации, т. е. совмещения изображений двух цветов (например, красньх и синих), необходимо, чтобы были равны не только фокусные расстояния для этих цветов, но и совпадали соответствующие им главные плоскости. Однако во многих случаях достаточна уже частичная ахроматизация, т. е. либо равенство только фокусных расстояний без точного совмещения главных плоскостей, либо совмещение только главных плоскостей без точного равенства фокусных расстояний. Это зависит от назначения прибора и определяется тем, что́ в его работе важнее – увеличение изображения или его местоположение. Так, в окулярах зрительных труб и микроскопов главный интерес представляют углы, под которыми глаз видит различные окрашенные изображения предмета. Для равенства этих углов необходимо, чтобы окуляры были ахроматизованы в смысле одинаковости фокусных расстояний (см. § 24, пункт 4).

Подробное рассмотрение ахроматизации дается в руководствах по расчету оптических систем. Здесь мы можем остановиться только на простейших принципиальных вопросах и притом только в параксиальном приближении. В высших приближениях также возникает хроматическая аберрация, устранение которой требует выполнения особых условий. Но мы не будем их рассматривать.
2. Ахроматизацию фокусного расстояния можно получить с помощью уже одной толстой линзы (см. задачу 2). Однако этот способ не имеет практического значения. Практически более важной является монохроматизация тонкой линзы или системы тонких линз.

Рассмотрим сначала фдиночную тонкую линзу или систему тонких линз и подсчитаем, как меняется ее фокусное расстояние при малых изменениях показателя преломления. Взяв логарифмическую производную от выражения (10.9), получим
\[
\frac{\delta f}{f}=-\frac{\delta n}{n-1} .
\]

Так как показатель преломления уменьшается с увеличением длины волны, то из этой формулы следует, что фокусное расстояние $f$ по абсолютной величине больше для красных лучей, чем для синих.

По сравнению с изменением фокусного расстояния положения главных плоскостей линзы меняются ничтожно. Рассмотрим, например, это изменение для главной плоскости пространства предметов. Для не слишком толстой линзы можно воспользоваться формулой (12.21), из которой находим: $\delta h / h=-\delta n / n$, и следовательно,
\[
\frac{\delta h}{\delta f}=\frac{h}{f} \frac{n-1}{n}=-\frac{d}{R_{2}}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{2} .
\]

Так как даже для сравнительно толстой линзы, как правило, $d \ll R_{2}$ и, кроме того, $n-1<n$, то $\delta h \ll \delta f$. Поэтому тонкая линза будет практически полностью ахроматизована, когда ахроматизовано ее фокусное расстояние.

В практических расчетах принимается, что формула (16.1) приближенно справедлива и для конечных изменений показателя преломления. В случае визуальных приборов полагают $\delta n=$ $=n_{C}-n_{F}$ и вводят величину
\[
v=\frac{n_{D}-1}{n_{F}-n_{C}},
\]

где $n_{D}$ – показатель преломления для желтой $D$-линии натрия $\lambda=589,3$ нм. Эта величина называется коэффициентом дисперсии, или числом $A$ ббе. (Вместо $n_{D}$ в числителе можно взять показатель преломления для любой другой длины волны из видимой области спектра, так как от этого $v$ изменится самое большее на $2 \%$.) В результате формула (16.1) преобразуется к виду
\[
\frac{\delta f}{f}=\frac{1}{v},
\]

откуда
\[
\delta \frac{1}{f}=-\frac{1}{f v} \text {. }
\]

В табл. 2 приведены оптические характеристики некоторых марок оптического стекла. Разность показателей преломления $n_{F}-n_{C}$ называется средней дисперсией, отношения
\[
\left(n_{F}-n_{D}\right) /\left(n_{F}-n_{C}\right), \quad\left(n_{Q}-n_{F}\right) /\left(n_{F}-n_{C}\right)
\]

и аналогичные им – относительными или частными дисперсиями.

Таблица 2
Обозначения: ЛК-легкий крон, К-крон, БК-баритовый крон, ТК-тяжелый крон, ЛФ-легкий флинт, $Ф$ – флинт, БФ-баритовый флинт, ТФ – тяжелый флинт.
3. Рассмотрим теперь ахроматизацию тонкой линзы, сложенной из двух тонких линз, прижатых вплотную друг к другу. Обозначим через $n_{1}$ и $f_{1}$ показатель преломления и фокусное расстояние первой линзы, а через $n_{2}$ и $f_{2}$ – второй. Фокусное расстояние составной линзы находится по формуле
\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}} .
\]

Оно будет одно и то же для длин волн $\lambda_{F}$ и $\lambda_{C}$, если выполнено условие
\[
\delta \frac{1}{f}=-\left(\frac{1}{\hat{f}_{1} v_{1}}+\frac{1}{f_{2} v_{2}}\right)=0,
\]

или
\[
f_{1} v_{1}+f_{2} v_{2}=0 .
\]

Это и есть условие ахроматизации составной линзы. Так как коэффициенты дисперсии для всех оптических стекол положительны, то из равенства (16.6) следует, что фокусные расстояния $f_{1}$ и $f_{2}$ должны иметь противоположные знаки. Из уравнений (16.5) и (16.6) находим
\[
\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{f} \frac{v_{1}}{v_{1}-v_{2}}, \frac{1}{f_{2}}=-\frac{1}{f} \frac{v_{2}}{v_{1}-v_{2}} .
\]

Если общее фокусное расстояние $f$ положительно, то линза с бо̀льшим коэффициентом дисперсии будет иметь положительное, а линза с меньшим коэффициентом дисперсии – отрицательное фокусное расстояние. В частности, собирательная линза должна делаться из крона, а рассеивающая – из флинта (см. табл. 2).

Если задано фокусное расстояние $f$ составной линзы, а также указаны сорта стекол, из которых изготовлены первая и вторая линзы, то фокусные расстояния $f_{1}$ и $f_{2}$ определятся из уравнений (16.8). Тем самым по формуле (10.9) определятся разности $\frac{1}{R_{1}^{(1)}}-$ – $\frac{1}{R_{2}^{(1)}}$ и $\frac{1}{R_{1}^{(2)}}-\frac{1}{R_{2}^{(2)}}$, где $R_{1}^{(1)}$ и $R_{2}^{(1)}$ – радиусы сферических поверхностей первой, а $R_{1}^{(2)}$ и $R_{2}^{(2)}$ – второй линз. Два из этих радиусов можно выбрать произвольно. Если линзы 1 и 2 должны склеиваться, то надо положить $R_{2}^{(1)}=R_{1}^{(2)}$. Остается еще один радиус (или, в общем случае, один свободный параметр). Им целесообразно распорядиться так, чтобы сделать сферическую аберрацию возможно меньше (см. задачу 1).

Ахроматические пары тонких склеенных линз широко применяются в объективах микроскопов. Каждая пара состоит из двояковыпуклой линзы из крона, склеенной с плоско-вогнутой линзой из флинта, плоская поверхность которой обращена в сторону падающего света.
4. Если составные части (подсистемы) сложной оптической системы полностью ахроматизованы, то будет полностью ахроматизована и система в целом. Действительно, так как первая подсистема полностью ахроматизована, то изображения, даваемые ею, совмещаются в двух цветах. Рассматривая совмещенные изображения как предмет для второй подсистемы, найдем, что изображения, даваемые и этой подсистемой, также совмещаются для тех же двух цветов. Применив это рассуждение для всех подсистем, найдем, что совмещение изображений будет иметь место и для системы в целом,

Обратное утверждение не справедливо. Система может быть полностью ахроматизована без того, чтобы были полностью ахроматизованы ее составные части. Однако, если система состоит из двух тонких линз, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, то справедливо и обратное утверждение. Действительно, пусть $x_{1}, x_{1}^{\prime}$ и $y_{1}, y_{1}^{\prime}$ – абсциссы и ординаты точки-предмета и ее промежуточного изображения, даваемого первой линзой, причем за начало координат принят центр этой линзы. Пусть $x_{2}, y_{2}$ и $x_{2}^{\prime}, y_{2}^{\prime}$ имеют тот же смысл для второй линзы, причем роль предмета в этом случае играет промежуточное изображение. Очевидно, ординаты промежуточного изображения $y_{1}^{\prime}$ и $y_{2}$ одинаковы, а абсциссы $x_{1}^{\prime}$ и $x_{2}$ связаны соотношением $x_{1}^{\prime}=x_{2}+l$, где $l$ – расстояние между линзами. Поперечные увеличения первой и второй линз равны соответственно
\[
\frac{y_{1}^{\prime}}{y_{1}}=\frac{x_{1}^{\prime}}{x_{1}}, \quad \frac{y_{3}^{\prime}}{y_{2}}=\frac{x_{3}^{\prime}}{x} .
\]

Отсюда с учетом соотношения $y_{1}^{\prime}=y_{2}$ находим
\[
\frac{y_{2}^{\prime}}{y_{1}}=\frac{x_{1}^{\prime}}{x_{1}} \frac{x_{2}^{\prime}}{x_{2}},
\]
т. е. поперечное увеличение всей системы. По условию сложная система полностью ахроматизована, а потому увеличение должно быть одно и то же для обоих рассматриваемых нами цветов. Значит, вариация левой, а с ней и правой части равенства (16.9) обращается в нуль. Но абсцисса предмета $x_{1}$ постоянна, а абсцисса окончательного изображения $x_{2}^{\prime}$ одинакова для обоих цветов. Поэтому, взяв вариацию логарифма от правой части (16.9), получим: $\frac{\delta x_{1}^{\prime}}{x_{1}^{\prime}}-\frac{\delta x_{2}}{x_{2}}=0$. Кроме того, из соотношения $x_{1}^{\prime}=x_{2}+l$, ввиду постоянства расстояния $l$ между линзами, следует: $\delta x_{1}^{\prime}=\delta x_{2}$. Таким образом, $\left(\frac{1}{x_{1}^{\prime}}-\frac{1}{x_{2}}\right) \delta x_{1}^{\prime}=0$. Если $\frac{1}{x_{1}^{\prime}}-\frac{1}{x_{2}}
eq 0$, т. е. $l
eq 0$, то $\delta x_{1}^{\prime}=0$, т.е. промежуточные изображения совмещаются в обоих цветах. Но это означает, что первая линза полностью ахроматизована. Учтя свойство обратимости световых лучей, убедимся, что полностью ахроматизована и вторая линза. Исключение составляет случай, когда $\frac{1}{x_{1}^{\prime}}-\frac{1}{x_{2}}=0$. В этом случае линзы вплотную прижаты друг к другу ( $l=0$ ), и ахроматизация возможна даже тогда, когда каждая из линз не ахроматизована. Такой случай был разобран выне.
5. Таким образом, чтобы система из двух тонких линз, расстояние $l$ между которыми не равно нулю, была полностью ахроматизована, необходимо, чтобы были в отдельности полностью ахроматизованы обе составляющие ее линзы. Однако, если не требовать полной ахроматизации системы, а ограничиться только ахроматизацией ее фокусных расстояний, то такая ахроматизация может быть получена и с неахроматизованными линзами.

Действительно, фокусное расстояние системы из двух тонких линз определяется формулой (12.8). Из нее находим условие ахроматизации фокусного расстояния:
\[
\delta \frac{1}{f}=\left(\frac{1}{f_{1}}-\frac{l}{f_{1} f_{2}}\right) \frac{\delta n_{1}}{n_{1}-1}+\left(\frac{1}{f_{2}}-\frac{l}{f_{1} f_{2}}\right) \frac{\delta n_{2}}{n_{2}-1}=0,
\]

где $n_{1}$ – показатель преломления первой линзы, а $n_{2}$ – второй. Если $n_{1}$ и $n_{2}$ одинаковы, то это условие переходит в
\[
l=\frac{1}{2}\left(f_{1}+f_{2}\right)
\]

Таким образом, система из двух тонких линз, изготовленных из одного и того же стекла, будет ахроматизована в отношении фокусного расстояния и притом для всех цветов спектра, если расстояние между линзами равно полусумме их фокусных расстояний. Такой способ ахроматизации применяется в окулярах зрительных труб (см. $\S 24)$.
6. Объективы, в которых ахроматизация выполнена для двух цветов спектра, называются ахроматами. В некоторых оптических системах (в объективах микроскопов, длиннофокусных астрономических труб и спектральных аппаратов) наличие вторичного спектра (см. пункт 1) сущестРис. 60. венно ухудшает качество изображения. Аббе ввел в микроскопию апохроматы, т. е. объективы, в которых ахроматизация выполнена для трех цветов спектра и, кроме того, удовлетворено условие синусов (см. § 18). Остающаяся при этом хроматическая аберрация называется третичным спектром.
7. В заключение упомянем о сложных призмах, изготовляемых из стекол различных сортов. На рис. 60 изображена ахроматическая призма. Первая призма, из крона, отклоняет и рассеивает лучи. Вторая призма, из флинта, отклоняет их в противоположную сторону. Рассеивающая способность (дисперсия) флинта больше, чем

крона. Поэтому вторую призму можно подобрать так, чтобы компенсировать рассеивающую способность первой призмы, т. е. добиться одинаковости направлений каких-либо двух лучей (например, красного и фиолетового) при их выходе из рассматриваемой системы. Однако отклонение лучей, вызываемое первой призмой, компенсируется лишь частично. В результате белый луч проходит через сложную призму без заметной дисперсии, но испытывает отклонение в сторону,

На рис. 61, а изображена дисперсионная призма, применяемая в спектрографах. У нее дисперсия очень значительна благодаря большому преломляющему углу внутренней призмы из флинта. Боковые призмы из крона мало влияют на общую дисперсию призмы, но сильно уменьшают отклонение лучей, так как угол между их наружными гранями сравнительно невелик. Кроме того, эти призмы позволяют увеличить нреломляющий угол внутренней призмы, величина которого лимитируется полным отражением. Наконец, на рис. 61, б изображена призма прямого зрения. Она производит спектральное разложение, но оставляет неотклоненным средний луч пучка света.
з Ад А ч и
1. Рассчитать ахроматический объектив с фокусным расстоянием $f=50 \mathrm{cм}$, склеенный из двух линз. Передняя линза изготовлена из крона $\mathrm{K} 1$, задняя – из флинта Ф 8. Задняя линза – выпукло-вогнутая, обращена выпуклой поверхностью наружу, радиус кривизны этой поверхности равен 100 см.

Решение. Из табл. 2 находим для первой линзы: $v_{1}=65,1, n_{D}=$ $=1,4982$; для второй линзы $v_{2}=35,6, n_{D}=1,6248$. По формулам (16.8) вычисляем фокусные расстояния лин:
\[
\begin{array}{c}
f_{1}=f \frac{v_{1}-v_{2}}{v_{2}}=50 \cdot \frac{65,1-35,6}{65,1}=22,66 \mathrm{~cm}, \\
f_{2}=-f \frac{v_{1}-v_{2}}{v_{2}}=-50 \cdot \frac{65,1-35,6}{35,6}=-41,43 \mathrm{~cm} .
\end{array}
\]

По условию задачи $R_{2}^{(9)}=-100 \mathrm{~cm}$. По формуле (10.9) находим $R_{1}^{(2)}$ :
\[
R_{1}^{(2)}=\frac{(n-1) f_{2} R_{2}^{(2)}}{(n-1) f_{2}+R_{2}^{(2)}}=\frac{0,6248 \cdot 41,43 \cdot 100}{0,6248 \cdot 41,43-100}=-20,56 \mathrm{~cm} .
\]

Той же величине равен радиус $R_{2}^{(1)}$, так что
\[
R_{1}^{(1)}=\frac{(n-1) f_{1} R_{2}^{(1)}}{(n-1) f_{1}+R_{2}^{(1)}}=-\frac{0,4982 \cdot 22,66 \cdot 20,56}{0,4982 \cdot 22,66-20,56}=25,02 \mathrm{cм} .
\]

Вид рассчитанного объектива изображен на рис. 62.
2. Возможна ли ахроматизация толстой одиночной линзы относительно фокусных расстояний для двух длин волн?

Ответ. Ахроматизация возможна потому, что в формулу для фокусного расстояния толстой линзы входит $n^{2}$. Следовательно, для заданного фокусного расстояния могут существовать два значения показателя преломления $n_{1}$ и $n_{2}$, которым соответствует это фокусное расстояние. Толщина линзы должна быть равна
\[
d=\frac{n^{2}}{n^{2}-1}\left(R_{1}-R_{2}\right),
\]

где $n=\sqrt{n_{1} n_{2}}$ – среднее геометрическое из $n_{1}$ и $n_{2}$. Так как толщина $d$ существенно положительна, то для возможности ахроматизации необходимо, чтобы $R_{1}-R_{2}>0$. Этому условию удовлетворяют только двояковыпуклые и плоско-вогнутые линзы. Все прочие толстые линзы не могут быть
Рис. 62. ахроматизованы.
3. Написать условие ахроматизации преломляющей призмы для двух близких цветов. Призма состоит из двух призм с малыми преломляющими углами, изготовленных из стекол с коэффициентами, дисперсии $v_{1}$ и $v_{2}$.

Ответ, Призмы должны быть обращены преломляющими углами в противоположные стороны. Условие ахроматизации: $\frac{\varphi_{1}}{v_{1}}-\frac{\varphi_{2}}{v_{2}}=0$, где $\varphi_{1}-$ угол отклонения луча, даваемый первой призмой, а $\varphi_{2}$ – второй. Если $v_{1}
eq v_{2}$, то результирующее отклонение $\varphi_{1}-\varphi_{2}$ отлично от нуля.