1. Допустим, что свет падает перпендикулярно к плоскости непрозрачного экрана с отверстиями. (Обобщение на случай наклонного падений не встречает никаких затруднений.) Координатную плоскость $X Y$ совместим с плоскостью экрана, через $d F$ обозначим элемент площади в этой плоскости. Направление дифрагировӓнного света будем характеризовать единичным вектором $s$ (рис. 178). Разность хода между лучами, вышедшими в этом направлении из элемента площади $d F$ и из начала координат $O$, т. е. длина отрезка $O A$, равна $(r s)$, где $r(x, y)$ радиус-вектор элемента $d F$. Соответствующая разность фаз будет $k(r s)$. Результир ующее поле в фраунгоферовой дифракционной картине представится интегралом
\[
E=\int e^{t k(s r)} d F,
\]

распространенным по всем отверстиям.

В случае прямоугольного отверРис. 178. стия удобно перейти к прямоугольным координатам, предполагая, что координатные оси параллельны сторонам отверстия. Еслн а и $b$ – длины этих сторон, то
\[
E=\int_{-a / 2}^{+a / 2} \int_{-b / 2}^{b / 2} e^{i k\left(s_{x} x+s_{y} y\right)} d x d y .
\]

Это – в точности такие же интегралы, которые встречались нам при рассмотрении дифракции на щели. Выполнив интегрирование, получим
\[
E=a b\left(\frac{\sin \alpha}{\alpha}\right)\left(\frac{\sin \beta}{\beta}\right),
\]

где
\[
\alpha=\frac{1}{2} k a s_{x}=\frac{\pi a s_{x}}{\lambda}, \quad \beta=\frac{1}{2} k b s_{y}=\frac{\pi b s_{y}}{\lambda} .
\]

Заменив в одном из интегралов пределы интегрирования бесконечными, получим предельный случай бесконечно длинной щели.

Интенсивность определяется формулой
\[
I=I_{0}\left(\frac{\sin \alpha}{\alpha}\right)^{2}\left(\frac{\sin \beta}{\beta}\right)^{2} .
\]

Дифракционную картину можно получить, если наложить друг на друга две взаимно перпендикулярные дифракционные картины, одна из которых получена при дифракции на щели ширины $a$, а другая на щели ширины $b$ (рис. 179). Картина вытянута в направлении более короткой стороны прямоугольного отверстия.

Случай круглого отверстия на практике представляет большой интерес, так как все оправы линз и объективов имеют обычно круглую форму. В этом случае при вычислении интеграла (45.1) естественно перейти к
Рис. 179.
Рис. 180 ,

полярным координатам. При малых углах дифракции интеграл выражается через бесселеву функцию первого порядка $J_{1}(\alpha)$, где $\alpha=k R \vartheta=2 \pi R \vartheta / \lambda \quad(R-$ радиус отверстия, $\vartheta-$ угол дифракции). Опуская вычисления, приведем окончательные результаты. Дифракционная картина, естественно, имеет вид концентрических светлых и темных колец (рис. 180). Центр картины светлый, так как в него все вторичные волны приходят в одинаковых фазах. Распределение амплитуд (пунктирная кривая) и интенсивностей (сплошная кривая) в зависимости от угла дифракции $\vartheta$ (или, что то же, расстояния от центра картины) приведено на рис. 181. Соответствующие кривые мало отличаются от кривых рис. 175 не только качественно, но и количественно. Приближенно угловые радиусы темных колец определйются формулой
\[
\vartheta_{m}=\left[0,61+\frac{m-1}{2}\right] \frac{\lambda}{R} \text {. }
\]

Более точные данные приведены в табл. 5. Из нее видно, что около $98 \%$ света приходится на центральный максимум. Если исключить центральный максимум, то остальные темные и светлые кольца практически равноотстоящие.
Таблица 5
2. Таким же путем, по крайней мере численно, можно рассчитать дифракционную картину Фраунгофера на отверстии любой формы. При решении подобных задач полезно руководствоваться сојбажениями подобия. Представим волновое поле интегралом вида (45.2), но распространенным по области $F$, занимаемой рассматриваемым отверстием. Введем новые координаты $x^{\prime}=\mu x$, $y^{\prime}=y$, где $\mu$ – постоянная. Область $F$ плоскости $X Y$ преобразуется в область $F^{\prime}$ плоскости $X^{\prime} Y^{\prime}$. Она получаелся из $F$ равномерным растяжением в $\mu$ раз в направлении оси $X$. Интеграл (45.2) преобразуется в
\[
\begin{array}{l}
E(s)= \\
=\frac{1}{\mu} \int_{F^{\prime}} \int^{l\left(s_{x}^{\prime} x^{\prime}+s_{y^{\prime}}^{\prime}\right)} d x^{\prime} d y^{\prime},
\end{array}
\]

где единичный вектор $\boldsymbol{s}^{\prime}$ определяется своими проекциями $s_{x}^{\prime}=s_{x} / \mu, s_{y}^{\prime}=s_{y}$. (Постоянная $\mu$ должна быть такой, чтобы $s_{x}^{\prime 2}+s_{y}^{\prime 2}<1$.) Но последний интеграл представляет волновое поле $E^{\prime}$ (s’) (в штрихованной системе координат) в направлении единичного вектора $\boldsymbol{s}^{\prime}$ при фраунгоферовой дифракции на отверстии $F^{\prime}$, а потому
\[
E^{\prime}\left(s^{\prime}\right)=\mu E(s) .
\]

Таким образом, по известной дифракционной картине на какомлибо отверстии можно без новых вычислений получить новые дифракционные картины. Для этого надо отверстие равномерно вытянуть (сжать) в каком-либо направлении. Тогда, как видно из формул $x^{\prime}=\mu x, s_{x}^{\prime}=s_{x} / \mu$, дифракционная картина сожмется (вытянется) в том же направлении. Так, при растяжении круглого отверстия оно переходит в эллиптическое, а дифракционные кольца сжимаются, также принимая эллиптическую форму. Конечно, отверстие можно вытянуть или сжать и вдоль каких-либо двух направлений.
3. Рассмотрим теперь случай, когда в экране имеется большое число $N$ одинаковых и одинаково ориентированных отверстий. Волновое поле в бесконечности представится суммой $E=\Sigma E_{t}$, где $E_{i}$ – поле, которое возникло бы при дифракции при наличии одного только $i$-го отверстия. Для интенсивности получим
\[
I=\overline{E E^{*}}=\sum J_{i}+\sum_{i
eq j} \overline{E_{i} E_{j}} .
\]

При фраунгоферовой дифракции распределение интенсивности в дифракционной картине определяется только направлением лучей, а не положением световых пучков. При боковом смещении последних интенсивность не меняется. Распределение интенсивности не изменится, если отверстие в плоскости экрана сместить в сторону без изменения его ориентации. Поэтому в последней сумме все интенсивности одинаковы: $I_{i}=I_{1}$.

Рассмотрим особо два случая: 1) отверстия расположены хаотически; 2) отверстия расположены «правильно», в определенном порядке. В первом случае среди членов двойной суммы с $i
eq j$ в среднем найдется столько же положительных членов, сколько и отрицательных. При сложении таких членов в среднем получится нуль. Поэтому $I=N I_{1}$. Получается такая же дифракционная картина, что и от одного отверстия, но усиленная по интенсивности в $N$ раз. Интенсивности отдельных картин арифметически складываются, но сами картины не интерферируют между собой. Во втором случае, напротив, члены с $i
eq j$ не компенсируются. Они могут интерферировать и существенно влиять на дифракционную картину. Этот случай будет рассмотрен в следующем параграфе на примере дифракционной решетки.

Первый случай легко демонстрировать на стеклянной пластинке, запыленной спорами ликоподия. Последние имеют форму шариков практически одинаковых размеров. При освещении пластинки параллельным пучком лучей на удаленном экране появляется дифракционная картина, состоящая из концентрических колец. При освещении белым светом внешние края колец окрашены в красный, а внутренние – в фиолетовый цвет. Это указывает на дифракционную природу явления, так как длины волн красных лучей больше, чем фиолетовых.
4. Описанное явление наблюдается в природе в виде венцов. Так называются светлые туманные кольца на небесном своде вокруг Солнца или Луны. Иногда венцы наблюдаются вокруг ярких звезд или планет, а также вокруг земных источников света. Венцы возникают в результате дифракции света на водяных капельках (или кристалликах льда), когда перед светилом проходит полупрозрачное облако (чаще всего высококучевое) или туман. Угловые радиусы венцов обычно не превосходят $5^{\circ}$. Дифракционная природа колец в явлении венцов подтверждается тем, что наружные края колец имеют красноватый цвет, а внутренние – синеватый. При наличии в атмосфере капель всевозможных размеров кольца венцов налагаются друг на друга и образуют общее белое сияние вокруг диска светила, называемое в случае Солнца околосолнечным ореолом.

Or венцов следует отличать гало. Так называется группа оптических явлений в атмосфере, возникающая при преломлении или отражении лучей Солнца или Луны на плавающих в воздухе крислал.ликах льда, образующих перистые облака. Угловые радиусы гало значительно больше угловых радиусов венцов и составляют $22^{\circ}$ нли $46^{\circ}$. Наружный край колец гало имеет синеватую, а внутренний – красноватую окраску. Это указывает на рефракционную природу явления (дисперсия). В отличие от венцов, угловые размеры которых могут меняться с изменением радиусов водяных капелек, угловые размеры колец гало строго постоянны, так как они зависят только от углов между гранями кристалликов, которые при изменении размеров последних остаются неизменными.