1. Свет, дифрагировавший на обычной плоской решетке с равноотстоящими штрихами, должен направляться на линзу или другое фокусирующее устройство, чтобы в фокальной плоскости получилась картина резких спектральных линий. Однако можно обойтись и без линзы, если штрихи на плоской поверхности нанести неравномерно, надлежащим образом монотонно уменьшая или увеличивая расстояние между ними. Можно также придать поверхности решетки вогнутую сферическую форму и нанести на нее равноотстоящие штрихи.

Фокусирующее действие многих решеток было замечено давно, но до работ Роулэнда оно рассматривалось как недостаток решетки. Роулэнд превратил его в достоинство решетки, построив вогнутые отражательные решетки. Наряду с интерферометром Фабри – Перо такие решетки до настоящего времени являются основными спектральными аппаратами, широко используемыми в точных спектроскопических исследованиях. Спектральные линии, получаемье с помощью вогнутых отражательных решеток, по своей резкости значительно превосходят те же линии в решетках, где фокусировка осуществляется с помощью линз.
2. Пусть $G_{0} G$ (рис. 202) – отражающая сферическая поверхность радиуса $\rho$ с центром в точке $C$, на которой нанесены штрихи равноотстоящими плоскостями, перпендикулярными к плоскости рисунка и параллельными диаметру $O C$, а $d=$ расстояние между этими плоскостями (период решетки). Поместив источник света в точке $A_{0}$, выясним, при каких условиях спектр $m$-го порядка можно сфокусировать в заданной точке $A$, лежащей в плоскостн $A_{0} O C$. При исследовании ограничимся рассмотрением лучей, лежащих в той же плоскости, приняв ее за координатную плоскость $X Y$. Начало координат поместим в центре решетки $O$, ось $X$ направим вдоль диаметра $O C$, ось $Y$-по касательной к.сфере, лежащей в рассматриваемой плоскости. Пусть $P(x, y)$ точка на поверхности решетки, находящаяся у какого-либо штриха. Введем обозначения: $A_{0} O=r_{0}, A O=r, A_{0} P=u_{0}$, $A P=u$. Для фокусировки в точке $A$ спектра $m$-го порядка необходимо и достаточно, чтобы разность хода между лучами, приходящими от соседних штрихов, Рис, 202 , ет на результат), что начало $O$ находится также у штриха, запишем это условие в виде $u_{0}+u=r_{0}+r \pm n m \lambda$, где $n-$ номер штриха $P$. При описанном выше способе нанесения штрихов $n= \pm y / d$, а потому при любом $y$ должно быть
\[
u_{0}+u=r_{0}+r \pm \frac{m \lambda}{d} y .
\]

Обозначим через $a_{0}, b_{0}$ координаты точки $A_{0} ; a, b$ – координаты точки $A$. Тогда
\[
u_{0}^{2}=\left(y-b_{0}\right)^{2}+\left(x-a_{0}\right)^{2}=r_{0}^{2}+x^{2}+y^{2}-2 b_{0} y-2 a_{0} x .
\]

Уравнение окружности, по которой поверхность решетки пересекается с плоскостью рисунка, имеет вид
\[
x^{2}+y^{2}=2 \rho x .
\]

Подставив отсюда $2 x$ в предыдущее уравнение и использовав соотношение $r_{0}^{2}-b_{0}^{2}=a_{0}^{2}$, найдем
\[
u_{0}^{2}=\left(r_{0}-\frac{b_{0} y}{r_{0}}\right)^{2}+\left(\frac{a_{0}}{r_{0}^{2}}-\frac{1}{\rho}\right) a_{0} y^{2}+\left(1-\frac{a_{0}}{\rho}\right) x^{2} .
\]

Второй член – величина второго, а последний – четвертого порядка малости по $y$. Сохраняя только члены второго порядка, получим

Аналогично,
\[
u_{0}=r_{0}-\frac{b_{0} y}{r_{0}}+\frac{1}{2 r_{0}}\left(\frac{a_{0}}{r_{0}^{2}}-\frac{1}{\rho}\right) a_{0} y^{2} .
\]
\[
u=r-\frac{b y}{r}+\frac{1}{2 r}\left(\frac{a}{r^{2}}-\frac{1}{\rho}\right) a y^{2} .
\]

Подставим эти выражения в формулу (51.1) и приравняем нулю члены с первыми и вторыми степенями $y$. Тогда получим два условия:
\[
\begin{array}{c}
\frac{b_{0}}{r_{0}}+\frac{b}{r}=\mp \frac{m \lambda}{d}, \\
\frac{a_{0}}{r_{0}}\left(\frac{a_{0}}{r_{0}^{2}}-\frac{1}{\rho}\right)+\frac{a}{r}\left(\frac{a}{r^{2}}-\frac{1}{\rho}\right)=0,
\end{array}
\]

при выполнении которых, по крайней мере с рассматриваемой степенью точности, решетка будет обладать требуемыми фокусирующими свойствами.

3. Условие (51.7) определяет направления на дифракционные максимумы $m$-го порядка. Действительно, если $\vartheta_{0}$ – угол падения центрального луча на решетку, а $\vartheta$ – угол между соответствующим дифрагированным лучом и нормалью к ней (рис. 202), то $\sin \vartheta_{0}=b_{0} / r_{0}, \sin \vartheta=b / r$, и уравнение (51.7) принимаег внд
\[
d\left(\sin \theta+\sin \vartheta_{0}\right)= \pm m \lambda,
\]

такой же, что и при дифракции на плоской отражательной решетке.
Второе условие, (51.8), определяет расстояние $r$ точки $A$ от центра решетки $O$. Вместе с уравнением (51.9) оно, таким образом, однозначно определяет положение этой точки, если известно положение источпика света $A_{0}$. Используя соотношения $a_{0}=r_{0} \cos \theta_{0}$ и $a=r \cos \theta$, уравнение (51.8) можно представить в виде
\[
\frac{\cos ^{2} \vartheta_{0}}{r_{0}}+\frac{\cos ^{2} \vartheta}{r}=\frac{\cos \vartheta_{0}+\cos \vartheta}{\rho} .
\]

При малых углах $\hat{\theta}_{0}$ и $\vartheta$ получается общеизвестное уравнение вогнутого зеркала радиуса $\rho$. Таким образом, каково бы ни было положение источника света $A_{0}$, всегда существует такая точка $A$, в которой приближенно собираются дифрагированные лучи. Однако можно достигнуть большей точности и простоты в установке решетки, а также лучшей резкости спектральных линий, если распорядиться выбором точки $A_{0}$ так, чтобы в выражении (51.4) исчезли члены второго порядка. Для этого должно быть $\frac{a_{0}}{r^{2}}-\frac{1}{\rho}=0$. Тогда, ввиду (51.8), будет $\frac{a}{r^{2}}-\frac{1}{\rho}=0$. Эти соотношения можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
r_{0}^{2}=a_{0} \rho, & \text { или } \quad r_{0}=\rho \cos \vartheta_{0} ; \\
r^{2}=a \rho, & \text { или } \quad r=\rho \cos \vartheta .
\end{aligned}
\]

Соотношение (51.11) означает, что источник света должен лежать на окружности диаметра $\rho$, касающейся поверхности решетки в точке $О$. Из (51.12) тогда следует, что дифрагированные лучи соберутся в точке $A$, лежащей на той же окружности. Эта окружность называется кругом Роулэнда. На рис. 202 она изображена пунктиром.

Угловая дисперсия решетки $d \vartheta / d \lambda=m /(d \cos \vartheta)$ не будет зависеть от угла $\vartheta$, если спектры получаются при малых $\vartheta$ вблизи $\vartheta=0$. Тогда $\cos \vartheta \approx 1$, угол $\vartheta$ будет линейной функцией длины волны, т. е. получится нормальный спектр. Поэтому в обычных условнях решетка устанавливается так, чтобы изучаемый спектр получался вблизи ее главной оптической оси.

Большие үешетки в первом порядке имеют разрешаюшую способность около 200 000. Угловое расстояние между спектральными линиями, еще разрешаемыми решеткой, составляет $m \delta \lambda /(d \cos \vartheta)=m \lambda /(R d \cos \vartheta)$, а линейное
\[
\Delta x=\frac{m}{d \cos \vartheta} \frac{\rho \lambda}{R} \approx \frac{m}{d} \frac{\rho \lambda}{R} .
\]

Для эффективного использования разрешающей способности решетки необходимо, чтобы величина $\Delta x$ была не меньше определенного предела. Положим $\Delta x=0,01 \mathrm{мм}, m=1, R=200000, \lambda=500 \mathrm{нм}, d=1 / 600$ мм. Тогда по предыдущей формуле найдем, что радиус кривизны решетки $\rho$ должен быть не меньше $\approx 7$ м, т. е. очень велик.
4. Вычисления, приведенные выше, применимы только к лучам, лежащим в плоскости рисунка. Более подробное исследование показывает, что лучи, выходящие из этой плоскости, дают астигматические изображения: точечный источник, помещенный в $A_{0}$, изображается в виде отрезка, перпендикулярного к плоскости рисунка и проходящего через точку $A$. Астигматизм увеличивается по мере возрастания угла падения $\vartheta_{0}$, т. е. с увеличением порядка спектра. Когда источником света является щель, то наличие астигматизма ведет к уменьшению резкости изображения и понижению разрешающей способности, если щель установлена не совсем параллельно штрихам решетки, Поэтому необходимо добивағся тщательной установки щели на параллельность штрихам решетки. По той же причине нельзя делать штрихи решетки очень длинными. Обычно наносят короткие штрихи вдоль широких участков, а не стремятся покрыть ими большую площадь, как в случае плоской решетки, не обладающей астигматизмом.
5. Роулэнду принадлежит и теоретически наиболее совершенный способ установки дифракционной решетки, показанный на схематическом рис. 203. Решетка $G_{0} G$ и фотографическая камера устанавливаются на противоположных концах твердого стержня $O A$, длина которого равна радиусу кривизны решетки $\rho$. Они могут скользить вдоль взаимно перпендикулярных рельсов $A_{0} O$ и $A_{0} A$ на салазках, шарнирно соединенных со стержнем $O A$. Для достижения лучшей отчетливости изображения фотопластинку $P_{0} P$ изгибают по окружности, совпадающей с кругом Роулэнда. Щель помещается в точке пересечения $A_{0}$ направляющих рельсов. При фотографировании спектров разных порядков, а также различных участков одного и того же спектра щель $A_{0}$ и источник света $L$ остаются неподвижными. Так как точки $O, A_{0}, A$ лежат на круге Роулэнда, то при надлежащем положении стержня $O A$ изображение щели $A_{0}$ получится в
Рис. 203. точке $A$. При перемещении концов стержня вдоль направляющих рельсов через точку $A$ бу. дут последовательно проходить фокусы различных длин волн в спектре рассматриваемого порядка. Так как в установке Роулэнда $\vartheta=0$, то $d \sin \vartheta_{0}=m \lambda$. С другой стороны, $O A_{0}=\rho \sin \vartheta_{0}$. Комбинирул өти дие формулы, находим
\[
O A=\frac{\rho m}{d} \lambda .
\]

На стержне, связанном о рельсом $O A_{0}$, можно нанести равномерную шкалу длин волн, Тогда длина волны, попадающей в центр поля зрения $A$, может быть отсчитана непосредственно по этой шкале.

При установке решетки по способу Роулэнда объем, занимаемый приборам:, пастолько велик, что в нем трудно поддерживать постоянство температуры, нео э-: ходимое при длительных экспозициях. Кроме тоюо, установка Роулэнда довольно дорога. По этим и по ряду других причин она применяется редко. Пашеном, Иглом и др. были разработаны другие способы; с ними можно ознакомиться по специальным руководствам по технике спектроскопии.