Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1. Согласно геометрической оптике, волновое поле в центре сферической сходящейся волны (фокусе) обращается в бесконечность. Это указывает на неприменимость геометрической оптики в фокусе и его ближайшей окрестности. Рассмотрим задачу о волновом поле в окрестности фокуса с точки зрения волновой оптики. Пусть на пути сходящейся сферической волны поставлена диафрагма с отверстием $A B$ (рис. 210). Неприкрытую часть волнового фронта $F$ примем за вспомогательную поверхность, из которой исходят вторичные волны Гюйгенса. Следуя приближенному методу Френеля ( $\$ 41$ ), поле на поверхности $F$ запишем в виде Если пренебречь зависимостью амплитуд вторичных волн от (малого) угла $\gamma$, то поле в точке наблюдения $P$ представится интегралом Рис. 210, где $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{r}_{0} / r_{\theta}$ – единичный вектор нормали к поверхности $F$, направленный к фокусу $O$. В дадьнейшем в этом выражении сохраним только линейный член. Это можно делать, если поправка в фазе, вносимая квадратичным членом, много меньше $\pi$, т. е. когда С учетом всего изложенного для волнового поля (в условных единицах) в точке $P$ получим где $d \Omega=d F / r_{0}^{\circ}$ – телесный угол, под которым из точки $O$ видна площадка $d F$. Когда диафрагма удалена в бесконечность, а расстояние $R$ остается конечным, то $R^{2} / r_{0}=0$. Тем самым ограничение (55 1) снимается, а (55.2) переходит в точное решение задачи. Это видно и из самой структуры выражения (55.2). Действительно, $d \Omega e^{i(\omega t-k n R)}$ есть плоская волна, распространяющаяся в направлении волнового вектора $\boldsymbol{k}=\boldsymbol{k n}$, а потому она удовлетворяет волновому уравнению (43.1). Интеграл (55.2) есть суперпозиция таких плоских волн различных направлений, а следовательно, является точным решением того же уравнения. Такое решение позволяет точно исследовать все явления, связанные с прохождением сферической волны через фокус. Это в точности такой же интеграл, какой встречался в § 45 при рассмотрении фраунгоферовой дифракции на прямоугольном отверстии. Поэтому распределение интенсивности света в фокальной плоскости в окрестности фокуса можно представить формулой В фокальной плоскости получается система светлых пятен прямоугольной формы со светлым центром (см. рис. 179). Расстояния между двумя соседними минимумами, а также от центра центра́льного максимума до первого минимума равны Остается проверить, выполняется ли условие (55.1). Так как заметная интенсивность по формуле (55.3) получается при $R$ порядка $\Delta x$, то формула (55.1) переходит в В оптических приборах под $r_{0}$ следует понимать расстояние от линзы (или сферического зеркала) до точки геометрического схождения лучей. Например, если лучи сходятся в главном фокусе, то $r_{0}$ равно фокусному расстоянию $f$ линзы или зеркала. Ввиду малости длины волны, условие (55.5) очень хорошо выполняется во всех оптических приборах. Так, при $f=10 \mathrm{~cm}, \lambda=500$ нм из (55.5) получаем $\beta>$ $>4 \cdot 10^{-3}$ рад $\approx 15^{\prime}$. Поэтому применимость выведенных здесь формул к оптическим приборам с линзами и зеркалами не вызывает сомнений. Для теории оптических приборов наибольшее значение имеет случай круглой диафрагмы. Исследование этого случая, конечно, не встречает каких-либо затруднений. Қачественно ясно, что дифракционная картина в фокальной плоскости должна иметь вид светлых и темных концентрических кругов со светлым центром (см. рис. 180). Для определения размеров дифракционных кругов надо вычислить интеграл (55.2). В случае круглой диафрагмы результат вычисления выражается через бесселеву функцию первого порядка. Радиусы темных колец имеют следующие значения: где $\beta$ – угловой размер радиуса диафрагмы, если его рассматривать из точки $O$. где верхний знак относится к случаю, когда точка наблюдения расположена левее, а нижний – правее фокуса. Вычислив модуль этого выражения, находим амплитуду колебаний поля на оси пучка: Во всякой плоскости, перпендикулярной к оси пучка, дифракционная картина имеет вид концентрических колец. Однако, в зависимости от положения этой плоскости, центр пучка может быть и светлым, и темным. Амплитуда на оси обращается в нуль, когда $k R(1-\cos \beta)=m \pi$, т. е. В этом случае, как легко убедиться, в неприкрытой части сферического волнового фронта содержится четное число зон Френеля, а потому центр колец и получается темным. Расстояние между ближайшими минимумами интенсивности, расположенными по разные стороны от фокуса, равно Эта величина может служить мерой продольных размеров области, в которой концентрируется свет вблизи фокуса. Объем этой области порядка $\frac{4 \lambda}{\beta^{2}} \cdot\left(\frac{\lambda}{\beta}\right)^{2}=\frac{4 \lambda^{3}}{\beta^{4}}$.
|
1 |
Оглавление
|