1. Согласно геометрической оптике, волновое поле в центре сферической сходящейся волны (фокусе) обращается в бесконечность. Это указывает на неприменимость геометрической оптики в фокусе и его ближайшей окрестности.

Рассмотрим задачу о волновом поле в окрестности фокуса с точки зрения волновой оптики. Пусть на пути сходящейся сферической волны поставлена диафрагма с отверстием $A B$ (рис. 210). Неприкрытую часть волнового фронта $F$ примем за вспомогательную поверхность, из которой исходят вторичные волны Гюйгенса. Следуя приближенному методу Френеля ( $\$ 41$ ), поле на поверхности $F$ запишем в виде
\[
E_{F}=\frac{1}{r_{0}} e^{i\left(\omega t+k r_{0}\right)} .
\]

Если пренебречь зависимостью амплитуд вторичных волн от (малого) угла $\gamma$, то поле в точке наблюдения $P$ представится интегралом
\[
E_{P} \sim e^{i \omega t} \int \frac{e^{i k\left(r_{0}-r\right)}}{r_{0} r} d F,
\]

Рис. 210,
распространенным по всей неприкрытой поверхности волнового фронта. Если точка $P$ лежит в малой окрестности фокуса $O$, то расстояния $r_{0}$ и $r$ в знаменателе подынтегрального выражения могут считаться постоянными. Различие между ними надо учесть только в фазовом множителе $e^{\boldsymbol{k}\left(r_{0}-r\right)}$. Как видно из рис. $210, \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{0}+\boldsymbol{R}$. Возведем это равенство в квадрат, учтем, что $R \ll r_{0}$, а затем приближенно извлечем квадратный корень с точностью до квадратичных членов по $R$ включительно. Получим
\[
r-r_{0}=\frac{\left(r_{0} R\right)}{r_{0}}+\frac{R^{2}}{2 r_{0}}-\frac{\left(r_{0} R\right)^{2}}{r_{0}^{3}}=(n R)+\frac{R^{2}}{2 r_{0}} \sin ^{2}(R, n),
\]

где $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{r}_{0} / r_{\theta}$ — единичный вектор нормали к поверхности $F$, направленный к фокусу $O$. В дадьнейшем в этом выражении сохраним только линейный член. Это можно делать, если поправка в фазе, вносимая квадратичным членом, много меньше $\pi$, т. е. когда
\[
R^{2} / \digamma_{0} \ll \lambda .
\]

С учетом всего изложенного для волнового поля (в условных единицах) в точке $P$ получим
\[
E_{P}=\int e^{l(\omega t-k n R)} d \Omega,
\]

где $d \Omega=d F / r_{0}^{\circ}$ — телесный угол, под которым из точки $O$ видна площадка $d F$.

Когда диафрагма удалена в бесконечность, а расстояние $R$ остается конечным, то $R^{2} / r_{0}=0$. Тем самым ограничение (55 1) снимается, а (55.2) переходит в точное решение задачи. Это видно и из самой структуры выражения (55.2). Действительно, $d \Omega e^{i(\omega t-k n R)}$ есть плоская волна, распространяющаяся в направлении волнового вектора $\boldsymbol{k}=\boldsymbol{k n}$, а потому она удовлетворяет волновому уравнению (43.1). Интеграл (55.2) есть суперпозиция таких плоских волн различных направлений, а следовательно, является точным решением того же уравнения. Такое решение позволяет точно исследовать все явления, связанные с прохождением сферической волны через фокус.
2. Если точка $P$ находится в фокусе $O$, т. е. $R=0$, то все вторичные волны приходят в $O$ в одинаковых фазах, а потому интенсивность света в этой точке максимальна. Формула (55.2) в этом случае дает $E_{O}=\Omega e^{t \omega t}$. Наибольший интерес представляет распределение интенсивности света в фокальной плоскости, т. е. в плоскости, проходящей через фокус $O$ перпендикулярно к оси пучка $M O$. Чтобы интегрирование в (55.2) выполнялось элементарно, будем предполагать телесный угол $\Omega$ небольшим, так что при вычислении интеграла неприкрытую часть сферического волнового фронта можно заменить плоской. Саму диафрагму возьмем прямоугольной формы со сторонами $2 a$ и $2 b$. Угловые размеры этих сторон при наблюдении из точки $O$ будут $2 \alpha=2 a / r_{0}$ и $2 \beta=2 b / r_{0}$ соответственно. Начало координат поместим в точке $O$, направив оси $X$ и $Y$ параллельно стөронам прямоугольной диафрагмы. Координаты точки наблюдения $P$ обозначим через $X$ и $Y$, текущие координаты в плоскости диафрагмы — через $x$ и $y$. Тогда $d F=d x d y=r_{0}^{2} d \varphi d \psi$, $d \Omega=d \varphi d \psi$, где $\varphi$ и $\psi$ — углы, под которыми из точки $O$ видны отрезки $x$ и $y$. Далее, $(\boldsymbol{n R})=n_{x} X+n_{y} Y=-\left(x / r_{0}\right) X-\left(y / r_{0}\right) Y=$ $=-(\varphi X+\psi Y)$. В результате интеграл (55.2) перейдет в
\[
E_{P}=e^{i \omega t} \int_{-\alpha}^{+\alpha} \int_{-\beta}^{+\beta} e^{i k(X \varphi+Y \psi)} d \varphi d \psi .
\]

Это в точности такой же интеграл, какой встречался в § 45 при рассмотрении фраунгоферовой дифракции на прямоугольном отверстии. Поэтому распределение интенсивности света в фокальной плоскости в окрестности фокуса можно представить формулой
\[
I=I_{0}\left(\frac{\sin k x \alpha}{k x \alpha}\right)^{2}\left(\frac{\sin k y \beta}{k y \beta}\right)^{2} .
\]

В фокальной плоскости получается система светлых пятен прямоугольной формы со светлым центром (см. рис. 179). Расстояния между двумя соседними минимумами, а также от центра центра́льного максимума до первого минимума равны
\[
\Delta x=\frac{\pi}{k \beta}=\frac{1}{2} \frac{\lambda}{\beta} .
\]

Остается проверить, выполняется ли условие (55.1). Так как заметная интенсивность по формуле (55.3) получается при $R$ порядка $\Delta x$, то формула (55.1) переходит в
\[
\beta \gg \sqrt{\lambda / r_{0}} .
\]

В оптических приборах под $r_{0}$ следует понимать расстояние от линзы (или сферического зеркала) до точки геометрического схождения лучей. Например, если лучи сходятся в главном фокусе, то $r_{0}$ равно фокусному расстоянию $f$ линзы или зеркала. Ввиду малости длины волны, условие (55.5) очень хорошо выполняется во всех оптических приборах. Так, при $f=10 \mathrm{~cm}, \lambda=500$ нм из (55.5) получаем $\beta>$ $>4 \cdot 10^{-3}$ рад $\approx 15^{\prime}$. Поэтому применимость выведенных здесь формул к оптическим приборам с линзами и зеркалами не вызывает сомнений.

Для теории оптических приборов наибольшее значение имеет случай круглой диафрагмы. Исследование этого случая, конечно, не встречает каких-либо затруднений. Қачественно ясно, что дифракционная картина в фокальной плоскости должна иметь вид светлых и темных концентрических кругов со светлым центром (см. рис. 180). Для определения размеров дифракционных кругов надо вычислить интеграл (55.2). В случае круглой диафрагмы результат вычисления выражается через бесселеву функцию первого порядка. Радиусы темных колец имеют следующие значения:
\[
R=0,61 \lambda / \beta ; \quad 1,12 \lambda / \beta ; \quad 1,62 \lambda / \beta ; \ldots,
\]

где $\beta$ — угловой размер радиуса диафрагмы, если его рассматривать из точки $O$.
3. Найдем теперь распределение интенсивности света на оси $M O$, предполагая, что пучок лучей ограничен круглой диафрагмой. В этом случае в (55.2) можно взять $d \Omega=2 \pi \sin \vartheta d \vartheta$ (рис. 210). Если точка $P$ лежит перед фокусом, то $n R=-R \cos \vartheta$. Если же она лежит за фокусом, то $\boldsymbol{n} \boldsymbol{R}=R \cos \vartheta$. По формуле (55.2)
\[
E_{P}=2 \pi e^{t \omega t} \int_{0}^{\beta} e^{ \pm i k R \cos \vartheta} \sin \vartheta d \vartheta=\frac{2 \pi e^{i(\omega t \pm k R)}}{ \pm i k R}\left[1-e^{ \pm i k R(\cos \beta-1)}\right] \text {, }
\]

где верхний знак относится к случаю, когда точка наблюдения расположена левее, а нижний — правее фокуса. Вычислив модуль этого выражения, находим амплитуду колебаний поля на оси пучка:
\[
a \sim \frac{1}{R} \sin \frac{k R(1-\cos \beta)}{2} .
\]

Во всякой плоскости, перпендикулярной к оси пучка, дифракционная картина имеет вид концентрических колец. Однако, в зависимости от положения этой плоскости, центр пучка может быть и светлым, и темным. Амплитуда на оси обращается в нуль, когда $k R(1-\cos \beta)=m \pi$, т. е.
\[
R=\frac{m \lambda}{1-\cos \beta} \quad(m=1,2,3, \ldots .) .
\]

В этом случае, как легко убедиться, в неприкрытой части сферического волнового фронта содержится четное число зон Френеля, а потому центр колец и получается темным. Расстояние между ближайшими минимумами интенсивности, расположенными по разные стороны от фокуса, равно
\[
\delta=\frac{2 \lambda}{1-\cos \beta} \approx \frac{4 \lambda}{\beta^{2}} .
\]

Эта величина может служить мерой продольных размеров области, в которой концентрируется свет вблизи фокуса. Объем этой области порядка $\frac{4 \lambda}{\beta^{2}} \cdot\left(\frac{\lambda}{\beta}\right)^{2}=\frac{4 \lambda^{3}}{\beta^{4}}$.