1. Пусть из вакуума на плоскую границу металла падает плоская монохроматическая однородная волна, распространяющаяся вдоль волнового вектора $k_{1}$ (рис. 255). Возникнет однородная отраженная волна с волновым вектором $k_{1}^{\prime}$ и неоднородная волна, прошедшая в металл. Комплексный волновой вектор прошедшей волны обозначим через $\boldsymbol{k}$ (без индекса). Как было показано ранее, из граничных условий получаются соотношения
\[
k_{1 x}=k_{1_{x}}^{\prime}=k_{x} .
\]

Из них следует, что геометрические законы отражения света от металлов такие же, что и для непоглощающих сред. Различие есть лишь в законах преломления.

Прежде всего отметим, что плоскости равных амплитуд прошедшей волны параллельны границе металла. Действительно, представим комплексный вектор $\boldsymbol{k}$ в виде (71.11). Из (72.1) следует, что тангенциальная составляющая вектора $\boldsymbol{k}$ вещественна, а потому вектор $\boldsymbol{k}^{\prime \prime}$ перпендикулярен к поверхности металла. Это и доказывает наше утверждение. Прошедшая волна затухает в направлении вектора $\boldsymbol{k}^{\prime \prime}$. Поэтому вектор $\boldsymbol{k}^{\prime \prime}$ надо направить вниз, т. е. в сторону металла, так как затухание волны в металле должно идти в этом, а не в противоположном направлении. В сторону металла должен быть направлен и вектор $\boldsymbol{k}^{\prime}$, поскольку угол между векторами $\boldsymbol{k}^{\prime}$ $\boldsymbol{k}^{n}$ острый, как это следует из второго соотношения (71.12).

Вектор $\boldsymbol{k}^{\prime}$ перпендикулярен к плоскости равных фаз прошедшей волны. Угол $\chi$, образуемый этим вектором с положительным направлением оси $Z$, называется вещественным углом преломления. Отношение
\[
\frac{\sin \varphi}{\sin \chi}=n_{\varphi},
\]

вообще говоря, зависит от угла падения $\varphi$. Оно положительно и называется показателем преломления. Так как $k_{x}=k_{x}^{\prime}=k^{\prime} \sin \chi$, то из соотношения (72.1) следует
\[
k^{\prime}=k_{1} \frac{\sin \varphi}{\sin \chi}=\frac{\omega}{c} n_{\varphi} .
\]

По аналогии с (72.3) введем другую положительную величину $x_{\varphi}$, определяемую соотношением
\[
k^{\prime \prime}=\frac{\omega}{c} x_{\varphi} .
\]

Ее называют показателем затухания. Физический смысл показателя затухания легко установить, рассмотрев выражение для поля прошедшей волны. Таким путем не представляет труда установить, что на глубине
\[
z=h_{\varphi}=\frac{\lambda_{0}}{4 \pi x_{\varphi}},
\]

где $\lambda_{0}$ – длина волны в вакууме, интенсивность света (пропорциональная квадрату амплитуды) убывает в $e$ раз. Величина $h_{\varphi}$ называется глубиной проникновения света в металл. Таким образом, показатель затухания $x_{\varphi}$ можно определить как отноитение длины световой волны в вакууме к умноженной на 4л глубине проникновения света в металл.

Для металлов показатель затухания в видимой области спектра обычно порядка единицы. Например, для золота при нормальном падении $x_{\varphi}=2,82, h_{\varphi}=\lambda_{0} / 4 \pi x_{\varphi}=\lambda_{0} / 35,4$. Отсюда находим, что на протяжении длины волны интенсивность света в золоте убывает в $\exp \left(\lambda_{0} / h_{\varphi}\right) \approx 2,4 \cdot 10^{15}$ раз.

Пленки металлов с толщиной порядка длины волны, как правило, практически непрозрачны для света. Об оптических свойствах металлов обычно судят по отраженному свету. Тем не менее необходимо изучить законы проникновения света в металл, так как без этого нельзя понять и законы отражения. Свет, отраженный от металла (как и от диэлектрика), возникает в результате интерференции когерентных вторичных волн, излучаемых электронами и атомными ядрами металла. Но вторичные волны, очевидно, возбуждаются падающей волной, проникшей в металл. Если бы поле в металл совсем не проникало, то отражение света было бы невозможно.
2. Выразим теперь $n_{\varphi}$ и $x_{\varphi}$ через оптическне константы металла $n$, $x$ и угол падения $\varphi$. Подставляя выражения (72.3) и (72.4) в формулы (71.12), получим
\[
n_{\varphi}^{2}-x_{\varphi}^{2}=\varepsilon^{\prime}, \quad 2 n_{\varphi} x_{\varphi} \cos \chi=\varepsilon^{\prime \prime} .
\]

Сравнивая с (71.8), находим
\[
n_{\varphi}^{2}-x_{\varphi}^{2}=n^{2}-x^{2}, \quad n_{\varphi} x_{\varphi} \cos \chi=n \kappa .
\]

Кеттелер (1839-1900), впервые получивший эти соотношения, назвал их главными уравнениями ряспространения световых волн в металлах и поглощанщих средах. Они показывают, что величины
\[
a \equiv n_{\varphi}^{2}-x_{\varphi}^{2}, \quad b \equiv 2 n_{\varphi} x_{\varphi} \cos \chi
\]

не зависят от угла падения $\varphi$, а только от рода металла, его физического состояния и от длины световой волны. Величины $a$ и $b$ называются инвариантами Кеттелера и могут служить для характеристики оптических свойств металлов (вместо $n$ и $x$ ).

Если $\varphi=0$, то $\chi=0$, и уравнения (72.7) дают $n_{\varphi}= \pm n, x_{\varphi}=$ $= \pm x$. Здесь надо взять знах плюс, так как по определению величины $n_{\varphi}$ и $x_{\varphi}$ существенно положительны. Таким образом, при нормальном падении показатели преломления и затухания $n_{\varphi}$ и $x_{\varphi}$ принимают свои главные значения $n$ и $x$.

Для нахождения $n_{\varphi}$ и $x_{\varphi}$ как функций угла падения $\varphi$ перепишем второе уравнение (72.7) в виде
\[
n_{\varphi}^{2} x_{\varphi}^{2} \cos ^{2} \chi=n_{\Phi}^{2} x_{\varphi}^{2}\left(1-\sin ^{2} \chi\right)=n_{\varphi}^{2} x_{\varphi}^{2}-x_{\varphi}^{2} \sin ^{2} \varphi=\frac{1}{4} b^{2} .
\]

Решая его совместно с первым уравнением, найдем
\[
\begin{array}{l}
n_{\varphi}^{2}=\frac{1}{2}\left[ \pm \sqrt{\left(a-\sin ^{2} \varphi\right)^{2}+b^{2}}+\left(a+\sin ^{2} \varphi\right)\right], \\
x_{\varphi}^{2}=\frac{1}{2}\left[ \pm \sqrt{\left(a-\sin ^{2} \varphi\right)^{2}+b^{2}}-\left(a-\sin ^{2} \varphi\right)\right] .
\end{array}
\]

Знаки перед квадратными корнями должны быть одинаковы в обеих формулах, чтобы разность $n_{\varphi}^{2}-x_{\varphi}^{2}$ была равна а. Кроме того, $n_{\varphi}$ и $x_{\varphi}$ должны быть непрерывными функциями угла $\varphi$. Для действительно поглощающих сред инвариант $b$ не равен нулю, как это видно из выражения $b=2 n x=\varepsilon$ \”. Поэтому квадратный корень в формулах (72.9) не может обращаться в нуль и менять знак при изменении угла $\varphi$. Но при $\varphi=0$ величины $n_{\varphi}^{2}$ и $x_{\varphi}^{2}$ могут быть существенно положительными тогда и только тогда, когда оба квадратных корня в (72.9) взяты со знаком плюс. Значит, знак плюс следует брать и при любых значениях угла $\varphi$. Таким образом, для действительно поглощающих сред
\[
\begin{array}{l}
n_{\varphi}^{2}=\frac{1}{2}\left[\sqrt{\left(a-\sin ^{2} \varphi\right)^{2}+b^{2}}+\left(a+\sin ^{2} \varphi\right)\right], \\
x_{\varphi}^{2}=\frac{1}{2}\left[\sqrt{\left(a-\sin ^{2} \varphi\right)^{2}+b^{2}}-\left(a-\sin ^{2} \varphi\right)\right] .
\end{array}
\]

В частности, при $\varphi=0$
\[
n^{2}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a\right), \quad x^{2}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a\right) .
\]

Особые случаи в выборе знака могут иметь место только при $b \equiv 2 n x=0$, т. е. либо при $n=0, x
eq 0$, либо при $n
eq 0, x=0$. В обоих случаях диэлектрическая проницаемость вещественна, т. е. среда непоглощающая. Однако величины $n_{\varphi}$ и $x_{\varphi}$ сохраняют смысл и для таких случаев. Например, теорию полного отражения на границе прозрачных сред (см. §66) можно представить как частный случай теории, изложенной в этом параграфе.