1. Плазма есть ионизованный газ, в котором электроны и ионы могут рассматриваться как свободные частицы с собственными частотами, равными нулю (см. т. III, § 121). Диэлектрическая проницаемость плазмы определяется в основном свободными электронами. Влиянием ионов можно пренебречь, так как их массы практически бесконечно велики по сравнению с массами легких электронов. Полагая в формуле (84.5) $\omega_{0}=0$ и пренебрегая затуханием, получим для плазмы
\[
\varepsilon=1-\left(\frac{\omega_{p}}{\omega}\right)^{2},
\]

где введено обозначение
\[
\omega_{p}^{2}=4 \pi N e^{2} / m,
\]

a $N$ означает концентрацию свободных электронов. Величина $\omega_{p}$ называется плазменной или ленгмюровской частотой. Частота о $_{p}$ играет для плазмы роль собственной частоты. Однако она характеризует не отдельные частицы, а весь коллектив заряженньі частиц, из которых состоит плазма.

Чтобы понять, как может появиться такая «собственная частота» у коллектива частиц, каждая из которых в отдельности собственными частотами не обладает, рассмотрим следующий пример. Допустим, что нейтральная плазма занимает пространство между бесконечными плоскостями, перпендикулярными к оси $X$. Среднее электрическое поле в такой нейтральной плазме равно нулю. Сместим все электроны плазмы параллельно оси $X$ на малое расстояние $x$ (рис. 305), а ионы оставим несмещенными. Тогда на границах плазмы возникнут электрические заряды с поверхностной плотностью $\sigma=N e x$, и в плазме возникнет электрическое поле $E=4 \pi \sigma=4 \pi N e x$. На каждый электрон будет действовать квазиупругая сила $F=4 \pi N e^{2} x$. Если плазму предоставить самой себе, то возникнет свободное гармоническое колебание электронов с собственной частотой $\sqrt{4 \pi N e^{2} / m}$. Но это и есть плазменная частота.
2. Для плазменной частоты $\omega=\omega_{p}$ диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ обращается в нуль. При $\omega>\omega_{p}$ величина $\varepsilon$ (а с ней и показатель преломления $n=\sqrt{\varepsilon}$ ) положительна, но меньше единицы. При $\omega<\omega_{p}$ диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ отрицательна, а показатель преломления чисто мнимый, т. е. $n=-i$. Поэтому длинные электромагнитные волны (частота которых $\omega<\omega_{p}$ ) в плазме распространяться не могут. Они могут проникать только в тонкий поверхностный слой плазмы, испытывая от него полное отражение. Действительно, предположим, что падающая волна поляризована перпендикулярно к плоскости падения. (Случай другой поляризации разбирается так же.) Тогда по формуле Френеля
\[
\frac{R}{\mathscr{E}}=\frac{\cos \varphi-\sqrt{\varepsilon} \cos \psi}{\cos \varphi+\sqrt{\varepsilon} \cos \psi}=\frac{\cos \varphi+i \varkappa \cos \psi}{\cos \varphi-i \kappa \cos \psi},
\]

причем $\sin \varphi / \sin \psi=\sqrt{\varepsilon}=-i$ к. Следовательно, $\cos \psi=\sqrt{1-\sin ^{2} \psi}=$ $=\sqrt{1+\sin ^{2} \varphi / x^{2}}$. Таким образом, $\cos \psi$ — величина вещественная, а потому $|R / \mathscr{E}|=1$, что и доказывает наше утверждение.

Изложенное играет исключительно важну ю роль в осуществлении на Земле дальней радиосвязи. В земной атмосфере имеется ионизованная область, называемая ионосферой. Она начинается примернө с высоты 60 км и простирается, по-видимому, до высот $\sim 20000$ км. Основными источниками ионизаци и ионосферы являются ультрафиолетовое излучение Солнца и мягкое (от 0,8 до 30 ңм) рентгеновское излучение солнечной короны. Другим источником служит корпускулярное излучение Солнца. Концентрация электронов $N$ меняется с высотой неравномерно. Имеется несколько относительных максимумов ионизации, расположенных на различных высотах. Область ионосферы, содержащая один из таких максимумов, условно называется ионосферным слоем. Слои, расположенные в порядке возрастания высоты, обозначаются через $D, E_{1}, E_{2}, F_{1}, F_{2}$. Максимумы электронной концентрации в них меняются примерно в пределах $10^{4}-10^{6}$ электронов на см $^{3}$. Концентрация электронов зависит от географической широты места и испытывает регулярные суточные и годичные изменения. Летом она больше, чем зимой, днем больше, чем ночью. Кроме того, наблюдаются спорадические изменения концентрации, вызванные вспышками на Солнце и пр.

Посмотрим теперь, как радиоволны, излученные какой-либо радиостанцией $A$, находящейся на земной поверхности, могут достигнуть приемника $B$, расположенного также на земной поверхности на расстоянии нескольких тысяч километров. Прямой путь через землю исключен, так как радиоволны в земле сильно поглощаются из-за ее высокой электрической проводимости. Показатель преломления неионизованного воздуха очень мало отличается от единицы, так что рефракция радиоволн практически не играет роли. Если бы не было ионосферы, то единственным способом достигнуть приемника $B$ была бы дифракция. Но приемник $B$ расположен глубоко в области геометрической тени на расстоянии в тысячи или десятки тысяч длин волн от ее границы. При таких условиях интенсивность дифрагированной волны в точке нахождения приемника $B$ будет ничтожно мала, и никакой приемник практически не сможет обнаружить эту волну. Положение меняется при наличии ионосферы, так как радиоволна может отразиться от ионосферы и таким путем достигнуть приемника. Только благодаря такому отражению возможна передача радиосигналіов на земной поверхности на многие тысячи километров.
3. Найдем связь между фазовой $v$ и групповой $u$ скоростями электромагнитных волн в плазме при $\omega>\omega p$. Используя выражение (87.1), для волнового числа $k$ получаем
\[
c^{2} k^{2}=\omega^{2} \varepsilon=\omega^{2}-\omega_{p}^{2} .
\]

Дифференцирование этого соотношения дает: $c^{2} k d k=\omega d \omega$, т. е. $(\omega / k)(d \omega / d k)=c^{2}$, или
\[
v u=c^{2} .
\]

Фазовая скорость в плазме
\[
v=\frac{c}{\sqrt{\mathrm{e}}}=\frac{1 c}{\sqrt{1-\omega_{p}^{2} / \omega^{2}}}
\]

всегда больше скорости света в вакууме. Для групповой скорости соотношение (87.3) дает
\[
u=c^{2} / v=c \sqrt{1-\omega_{\rho}^{2} / \omega^{2}} .
\]

Она всегда меньше $c$, как это и должно быть.
Отметим интересное астрофизическое применение формулы (87.5). После открытия Хьюишем в 1967 г. пульсаров (нейтронных звезд) сразу же было обнаружено, что длинноволновые сигналы доходят от пульсаров до Земли медленнее коротковолновых. (В этом можно убедиться, принимая один и тот же сигнал с помощью двух радиоприемников, настроенных на разные частоты.) Это было объяснено влиянием межзвездной плазмы, через которую проходит сигнал. Квазимонохроматический сигнал распространяется в межзвездной плазме с групповой скоростью (87.5). Время распространения сигнала от пулльсара до Земли определяется интегралом $t=\int d x / u$ по всему пути сигнала. Концентрация свободных электронов $N$, а с ней и плазменная частота $\omega_{p}$ имеют разные значения в разных точках пути. Однако всюду $\omega_{p} \ll \omega$, так что можно ограничиться первым членом разложения подынтегрального выражения по степеням отношения $\omega_{p}^{2} / \omega^{2}$. Это дает
\[
t=\frac{1}{c} \int d x\left(1-\omega_{p}^{2} / \omega^{2}\right)^{-1 / 2}=\frac{1}{c} \int d x\left(1+\frac{1}{2} \frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}\right) .
\]

По сравнению с вакуумом время распространения сигнала увеличивается на
\[
\Delta t=\frac{1}{2 c \omega^{2}} \int \omega_{p}^{2} d x=\frac{\lambda^{2} e^{2}}{2 \pi c m c^{2}} \int N d x=\frac{\lambda^{2} r}{2 \pi c} \int N d x,
\]

где $r=e^{2} /\left(m c^{2}\right) \approx 2,8 \cdot 10^{-13}$ см — классический радиус электрона. Интеграл $\int N d x$ имеет смысл полного числа электронов в цилиндрическом канале, поперечное сечение которого равно $1 \mathrm{~cm}^{2}$, а длина — пути, пройденному сигналом от пульсара до Земли. Он является одной из интегральных характеристик межзвездной плазмы на пути распространения сигнала. Несмотря на ничтожную концентрацию такой плазмы, из-за колоссальности расстояний до пульсаров величина этого интеграла оказалась достаточной, чтобы обнаружить запаздывание (в области сантиметровых волн) длинноволновых сигналов относительно коротковолновых. Таким путем впервые были оценены расстояния до пульсаров. В предположении, что на пути от пульсаров к Земле около $10 \%$ атомов водорода ионизовано, было найдено, что расстояния до большинства зарегистрированных пульсаров лежат между 200 и $7000^{\circ}$ световых лет.