1. Важнейшие из оптических инструментов или их составные части относятся к так называемым центрированным оптическим системам. Они представляют собой оптически однородные преломляющие или отражающие среды, отделенные одна от другой сферическими поверхностями, центры кривизны которых расположены на одной прямой, называемой главной оптической осью системы. Обычно, если это не может привести к недоразумениям, прилагательное «главная» мы будем опускать.
2. Начнем с простейшего случая одной сферической преломляющей поверхности, разграничивающей однородные среды с показателями преломления $n$ и $n^{\prime}$. Можно предполагать (хотя это и не обязательно), что эта поверхность обладает симметрией вращения относительно одной из прямых $O C$, проходящих через центр кривизны сферической поверхности Рис. 39. (рис. 39). Такая прямая и будет главной оптической осью. Примем ее за координатную ось. $X$. Начало координат поместим в точке $O$, в которой главная оптическая ось пересекает сферическую поверхность.

Ввиду симметрии вращения достаточно ограничиться рассмотрением хода лучей в координатной плоскости $X Y$. Совместим ее с плоскостью рисунка. Абсциссы и ординаты будем отсчитывать от начала координат $O$. Если направление отсчета совпадает с направлением распространения света вдоль оптической оси, то соответствующая абсцисса считается положительной; в противоположном случае она считается отрицательной. То же относится и ко всем другим направленным отрезкам. Например, на рис. 39 абсцисса точки $P$ отрицательна, а точка $P^{\prime}$ положительна. Ордината считается положительной, если соответствующая точка лежит выше оптической оси, и отрицательной, когда она расположена ниже.

Допустим, что точечный источник света $P$ находится на оптической оси системы (рис. 39). Произвольный луч $P A$ после преломления на сферической поверхности пойдет по пути $A P^{\prime}$. Обозначим длины $A P$ и $A P^{\prime}$ через $u$ и $u^{\prime}$ соответственно. Эти длины отсчитываются от точки $A$ и считаются положительными, если направление отсчета совпадает с направлением распространения света, и отрицательными в противоположном случае. Из рисунка видно, что
\[
\text { пл. } P A C+\text { пл. } C A P^{\prime}=\text { пл. } P A P^{\prime} \text {. }
\]

Так как $u<0, u^{\prime}>0$, то для этих площадей можно написать:
пл. $P A C=1 / 2|P A| \cdot|A C| \sin \varphi=-1 / 2 u R \sin \varphi$,
пл. $C A P^{\prime}=1 / 2 u^{\prime} R \sin \psi$,
пл. $P A P^{\prime}=-1 /{ }_{2} u u^{\prime} \sin (\varphi-\psi)=-1 /{ }_{2} u u^{\prime}(\sin \varphi \cos \psi-\sin \psi \cos \varphi)$. Здесь $R$ – радиус кривизны преломляющей поверхности. Он отсчитывается от сферической поверхности к ее центру (на рис. 39 радиус $R$ положителен). Таким образом,
\[
-u R \sin \varphi+u^{\prime} R \sin \psi=-u u^{\prime}(\sin \varphi \cos \psi-\sin \psi \cos \varphi) \text {. }
\]

По закону преломления $\sin \varphi / \sin \psi=n^{\prime} / n$, а потому

Отсюда
\[
-u^{\prime} R n^{\prime}+u^{\prime} R n=u u^{\prime}\left(n \cos \varphi-n^{\prime} \cos \psi\right) .
\]
\[
\frac{n}{u}-\frac{n^{\prime}}{u^{\prime}}=\frac{n \cos \varphi-n^{\prime} \cos \psi}{R} \text {. }
\]

Положение точки $P^{\prime}$ зависит от угла наклона $\alpha$ падающего луча к оптической оси. Ограничимся, однако, малыми углами $\alpha$ и допустим, что углы $\varphi$ и $\psi$ также малы. Лучи, удовлетворяющие таким условиям, называются параксиальными (приосевыми) лучами. Для них можно принять
\[
\cos \varphi=\cos \psi=1, \quad A P \approx O P=x, \quad A P^{\prime} \approx O P^{\prime}=x^{\prime} .
\]

В этом приближении формула (10.1) переходит в
\[
\frac{n}{x}-\frac{n^{\prime}}{x^{\prime}}=\frac{n-n^{\prime}}{R} .
\]

Отсюда видно, что в рассматриваемом приближении положение точки $P^{\prime}$ не зависит от угла $\alpha$. Следовательно, все параксиальные лучи, выходящие из одной точки оптической оси, после преломления на сферической поверхности пересекутся приближенно в одной точке, лежащей также на оптической оси. Точка $P^{\prime}$ будет поэтому оптическим изображением точки $P$ в параксиальных лучах. Во всем дальнейшем предполагается, что все лучи, проходящие через центрированные системы, параксиальны.

При выводе предполагалось, что источник света $P$ действительный. Однако все сказанное еправедливо и для мнимого источника, т. е. тогда, когда источником служит точка схождения продолжений падающих лучей. В этом легко убедиться, повторив рассуждения применительно к рис. 40. Полагая формально $n^{\prime}=-n$, из (10.2) получаем формулу для эферического зеркала:
\[
\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{\prime}}=\frac{2}{R} \text {. }
\]
3. Рассмотрим теперь случай, Рис. 40. когда точечный источник $P$ не лежит на главной оптической оси (рис. 41). Проведем прямую $P C$, ссединяющую точку $P$ с центром кривизны преломляющей поверхности. Такую прямую можно рассматривать как оптическую ось, сведя тем самым разбираемый случай к предыдущему. Для параксиальных лучей $O^{\prime} P \approx O Q, O^{\prime} P^{\prime} \approx O Q^{\prime}$ (здесь $Q$ и $Q^{\prime}$ – проекции точек $P$ и $P^{\prime}$ на главную оптическую ось). Абсцисса $x^{\prime}$ точки $P^{\prime}$ определится из уравнения (10.2), а ордината $y^{\prime}$ – из соотношения
\[
\frac{y^{\prime}}{y}=-\left|\frac{C Q^{\prime}}{C Q}\right|=\frac{x^{\prime}-R}{x-R},
\]

которое следует из подобия треугольников $P C Q$ и $P^{\prime} C Q^{\prime}$. В результате находим:
\[
x^{\prime}=\frac{n^{\prime} R x}{\left(n^{\prime}-n\right) x+n R}, \quad y^{\prime}=\frac{n R y}{\left(n^{\prime}-n\right) x+n R} .
\]

Проведем через точку $Q$ произвольный параксиальный луч $Q A$, образующий с главной оптической осью какой-то угол $\alpha$. Угол
Рис. 41.

наклона преломленного луча $A Q^{\prime}$ с той же осью обозначим через $\alpha^{\prime}$. Отсчет углов производится в направлении от главной оптической оси к лучу. Если это направление противоположно направлению вращения часовой стрелки, то угол считается голожительным; в противоположном случае его следует считать отрицательным (на рис. 41 угол $\alpha$ положительный, угол $\alpha^{\prime}$ отрицательный). Опустим из точки $A$ перпендикуляр $A A^{\prime}$ на главную оптическую ось. В приближении параксиальной оптики его длину можно представить в виде $\left|A A^{\prime}\right|=-x \alpha=-x^{\prime} \alpha^{\prime}$. Следовательно, $x \alpha=x^{\prime} \alpha^{\prime}$. Но из формул (10.4) следует
\[
\frac{x^{\prime}}{x}=\frac{n^{\prime} y^{\prime}}{n y} \text {, }
\]
a потому
\[
n y \alpha=n^{\prime} y^{\prime} \alpha^{\prime} .
\]

Таким образом, величина $n y \alpha$ не изменяется при преломлении параксиального луча на сферической поверхности. Эта величина называется инвариантом Лагранжа – Гельмгольца, а равенство (10.6) – теоремой Лагранжа – Гельмгольца. Теорема, очевидно, справедлива для центрированных систем, состоящих из какого угодно числа преломляющих и отражающих сферических поверхностей .

Формулы (10.4) можно положить в основу геометрической теории любых центрированных систем в параксиальных лучах. Применяя их к первой преломляющей поверхности сложной системы, найдем положение изображения, возникающее от преломления на этой поверхности. Полученное промежуточное изображение играет роль предмета для преломления на второй сферической поверхности. С помощью тех же формул (10.4) можно найти положение второго промежуточного изображения, возникающего от преломления на второй сферической поверхности, и т. д. В конце концов путем последовательного применения формул (10.4) к каждой из преломляющих поверхностей можно найти положение окончательного изображения, даваемого всей системой.
4. В качестве примера рассмотрим тонкую линзу, ограниченную сферическими поверхностями с радиусами кривизны $R_{1}$ и $R_{2}$. Относительный показатель преломления линзы обозначим через $n$, приняв за единицу показатель преломления окружающего пространства. Пусть точечный предмет $P$ находится на главной оптической оси линзы. Толщиной линзы будем пренебрегать и поместим начало координат в ее центре. Обозначим через $x$ абсциссу точки $P$, через $x_{1}$ – абсциссу ее промежуточного изображения $P_{1}$, возникающего от преломления лучей на первой поверхности линзы. Абсциссу $x_{1}$ можно найти с помощью формулы (10.2), если в ней сделать замену $n \rightarrow 1, n^{\prime} \rightarrow n, x^{\prime} \rightarrow x_{1}, R \rightarrow R_{1}$. Это дает
\[
\frac{1}{x}-\frac{n}{x_{1}}=\frac{1-n}{R_{1}} \text {. }
\]

Промежуточное изображение $P_{1}$ будем рассматривать как предмет при преломлении света на второй сферической поверхности линзы. Изображение точки $P$, возникающее при таком преломлении, и будет окончательным изображением $P^{\prime}$, которое дает линза. Абсцисса $x^{\prime}$ точки $P^{\prime}$ найдется из формулы (10.2), если в ней сделать замену $n^{\prime} \rightarrow 1, x \rightarrow x_{1}, R \rightarrow R_{2}$. Таким путем находим
\[
\frac{n}{x_{1}}-\frac{1}{x^{\prime}}=\frac{n-1}{R_{2}} \text {. }
\]

Складывая это равенство с предыдущим, получим
\[
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{\prime}}=-(n-1)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right) .
\]

Это хорошо известная формула тонкой линзы
\[
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{\prime}}=-\frac{1}{f} \text {. }
\]

Фокусное расстояние $f$ определяется формулой
\[
\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right) .
\]

Эта формула справедлива для всяких тонких линз: двояковыпуклых, двояковогнутых, плоско-выпуклых и т. д. Надо только придерживаться правила знаков, сформулированного в пункте 2 настоящего параграфа. Так, для двояковыпуклой линзы $R_{1}>0, R_{2}<0$, а потому фокусное расстояние $f$ положительно. Для двояковогнутой линзы $R_{1}<0, R_{2}>0$, и фокусное расстояние $f$ отрицательно. (В обоих случаях предполагается, что $n>1$.)