1. Нелинейные оптические явления в кристаллах позволяют преобразовывать излучение лазера не только в излучения гармоник, суммарных и разностных частот, но и в излучения с плавно перестраиваемой частотой. Принцип такого преобразования был указан в 1962 г. С. А. Ахмановым и Р. В. Хохловым (1926-1977). Он заключается в следующем. Пусть на среду, нелинейная поляризация которой с точностью до квадратичных членов определяется выражением $\boldsymbol{P}_{\text {нл }}=\alpha_{2} E \boldsymbol{E}$, падает мощная «волна накачки» $\boldsymbol{E}_{\Omega}=$ $=\boldsymbol{A}_{\mathrm{H}} \cos \left(\omega_{\mathrm{H}} t-\boldsymbol{k}_{\mathrm{H}} \boldsymbol{r}\right)$ и две слабые волны $\boldsymbol{E}_{1}=\boldsymbol{A}_{1} \cos \left(\omega_{1} t-\boldsymbol{k}_{1} \boldsymbol{r}\right)$ и $\boldsymbol{E}_{2}=\boldsymbol{A}_{2} \cos \left(\omega_{2} t-\boldsymbol{k}_{2} \boldsymbol{r}\right)$, частоты которых связаны соотношением
\[
\omega_{\mathrm{H}}=\omega_{1}+\omega_{2} .
\]

Считая для простоты, что направления амплитуд всех волн совпадают, перейдем к скалярной форме записи. В первом приближении нелинейная поляризация среды будет равна $\alpha_{2}\left(E_{11}+E_{1}+E_{2}\right)^{2}$. Возведя в квадрат, рассмотрим член $2 \alpha_{2} E_{1} E_{\text {н }}$, представляющий собой произведение двух косинусов. Преобразуем его в сумму двух косинусов и возьмем слагаемое с разностной частотой ( $\left.\omega_{н}-\omega_{1}\right)$, которая, ввиду (126.1), равна $\omega_{2}$. Так же поступим с произведением $2 \alpha_{2} E_{2} E_{\mathrm{H}}$. В результате из нелинейной поляризации $P_{\text {нл }}$ выделятся два члена с частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ :
\[
\begin{array}{l}
P_{\mathrm{H} \Omega}\left(\omega_{1}\right)=\alpha_{2} A_{2} A_{\mathrm{H}} \cos \left[\omega_{1} t-\left(\boldsymbol{k}_{\mathrm{H}}-\boldsymbol{k}_{2}\right) \boldsymbol{r}\right], \\
P_{\mathrm{H} \Omega}\left(\omega_{2}\right)=\alpha_{2} A_{1} A_{\mathrm{H}} \cos \left[\omega_{2} t-\left(\boldsymbol{k}_{\mathrm{H}}-\boldsymbol{k}_{1}\right) \boldsymbol{r}\right] .
\end{array}
\]

Следовательно, возникнет переизлучение волн с теми же частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Это может привести к усилению волн таких частот за счет энергии волны накачки. Такое явление называется параметрическим усилением света, так как его можно рассматривать как результат модуляции параметров среды (показателя преломления) при ее взаимодействии с волной накачки. Оно было открыто в 1965 г. Ахмановым и Хохловым с сотрудниками в СССР, а также Джердмейном и Миллером в США и использовано ими для создания когерентных генераторов света с плавно перест рацваемой частотой. Взаимодействие с волной накачки будет особенно сильным, когда фазы волн (126.2) длительно совпадают с фазами обеих волн $E_{1}$ и $E_{2}$, т. е. когда соблюдается условие
\[
\boldsymbol{k}_{\mathbf{1}}\left(\omega_{1}\right)+\boldsymbol{k}_{2}\left(\omega_{2}\right)=\boldsymbol{k}_{\mathrm{H}}\left(\omega_{\mathrm{H}}\right) .
\]

Это условие называется условием фазового синхронизма между волной накачки и обеими волнами с частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Полученное ранее условие (124.7) является частным случаем условия (126.3). Чтобы в этом убедиться, достаточно записать (124.7) в виде
\[
\boldsymbol{k}(\omega)+\boldsymbol{k}(\omega)=\boldsymbol{k}_{2}(2 \omega)
\]

и применить его к процессу образования волны частоты $\omega$ из ее второй гармоники.

Если условие синхронизма выполнено, то энергия от волны накачки будет в нелинейной среде передаваться волнам с частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Для эффективного усиления этих волн надо волну накачки заставить многократно проходить через нелинейную среду (кристалл). Для этого последнюю, как в лазерах, помещают в onтический резонатор между двумя зеркалами. Оба зеркала должныы иметь достаточно высокие коэффициенты отражения для волн обеих частот $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ и в то же время одно из них, через которое входит волна накачки, должно быть в достаточной степени прозрачным для этой волны. При достаточно высоких коэффициентах отражения зеркал и большой мощности волны накачки возникает генерация на частотах $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, удовлетворяющих условиям (126.1) и (126.3).

Нет необходимости специально посылать в резонатор волны с частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Они сами возникают либо из-за всегда имеющихся шумов, либо из-за тепловых флуктуаций. Происходит самовозбуждение генератора с последующим усилением генерируемых волн при нелинейном взаимодействии их с волной накачки. В қачестве волны накачки обычно используется вторая (или третья) гармоника рубинового или неодимового лазера.
2. В изотропных средах в области нормальной дисперсии нельзя удовлетворить одновременно обоим условиям (126.1) и (126.3). Действительно, допустим сначала, что все три волны с частотами $\omega_{\text {н }}$, $\omega_{1}, \omega_{2}$ распространяются в одном направлении. В этом случае условие (126.3) можно записать в виде $\omega_{1} n_{1}+\omega_{2} n_{2}=\omega_{\mathrm{H}} n_{\mathrm{H}}$, где $n_{1}$, $n_{2}, n_{\text {н }}$ – показатели преломления для соответствующих частот. С учетом (126.1) отсюда получаем $\left(n_{\text {н }}-n_{1}\right) \omega_{1}+\left(n_{\text {н }}-n_{2}\right) \omega_{2}=0$, а это невозможно, так как $\left(n_{\mathrm{H}}-n_{1}\right)>0$ и $\left(n_{\mathrm{н}}-n_{2}\right)>0$. Из приведенного рассуждения следует, что волновое число $k_{\mathrm{н}}$ всегда больше суммы волновых чисел $k_{1}$ и $k_{2}$, независимо от направления волн. Поэтому условию (126.3) нельзя удовлетворить и при различных направлениях векторов $\boldsymbol{k}_{1}, \boldsymbol{k}_{2}, \boldsymbol{k}_{\mathrm{н}}$. Иначе получился бы векторный треугольник, одна сторона которого длиннее суммы длин двук других сторон.

Однако синхронизм можно получить в некоторых кристаллах между обыкновенной $и$ необыкновенной волнами. Только теперь, когда частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ могут не совпадать, для осуществления синхронизма имеется больше возможностей, чем в аналогичном случае при генерации второй или третьей гармоник (см. § 124). В принципе синхронизм мог бы осуществляться в четырех случаях:
1) $\boldsymbol{k}_{\mathrm{H}}^{e}=\boldsymbol{k}_{1}^{o}+\boldsymbol{k}_{2}^{e}$,
2) $\boldsymbol{k}_{\mathrm{H}}^{e}=\boldsymbol{k}_{1}^{o}+\boldsymbol{k}_{2}^{o}$,
3) $\boldsymbol{k}_{\mathrm{H}}^{o}=\boldsymbol{k}_{\mathrm{1}}^{o}+\boldsymbol{k}_{2}^{e}$,
4) $\boldsymbol{k}_{\mathrm{H}}^{0}=\boldsymbol{k}_{1}^{e}+\boldsymbol{k}_{2}^{e}$,

где индексы о и $е$ относятся к обыкновенной и необыкновенной волнам. Разумеется, не всем этим условиям, и даже хотя бы одному из них, можно удовлетворить в реальных кристаллах. Так, в случае одноосного кристалла дифосфата калия $\mathrm{KH}_{2} \mathrm{PO}_{4}$ можно удовлетворить первым двум условиям. В первом случае в «направлении синхронизма» необыкновенная волна накачки будет генерировать в кристалле обыкновенную и необыкновенную волны с часто: тами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, а во втором случае обе генерируемые волны будут обыкновенными. Для одноосного кристалла ниобата лития $\mathrm{LiNbO}_{3}$, обладающего очень большой нелинейностью, можно удовлетворить только второму из условий (126.4).

Поворачивая кристалл (или изменяя его температуру, а также накладывая постоянное электрическое поле), можно изменять частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, для которых направление, перпендикулярное к зеркалам, является направлением синхронизма. Именно так действуют параметрические генераторы когерентного света, позволяющие плавно перестраивать частоту. Кпд таких генераторов, определяемый как отношение мощностей параметрически генерируемых волн к мощности волны накачки, достигает нескольких процентов при выходной мощности в несколько десятков и сотен кВт. Ясно, что генерируемые частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ всегда меньше частоты $\omega_{\text {н }}$ волны накачки. Плавно перестраивая параметрический генератор света, можно пройти весь диапазон видимого света от красного до фиолетового, а также далеко проникнуть и в инфракрасную область спектра.
3. Если (126.1) умножить на постоянную Планка $\hbar$, то получится
\[
\hbar \omega_{\mathrm{B}}=\hbar \omega_{1}+\hbar \omega_{2} .
\]

Это соотношение в квантовой физике интерпретируется как процесс распада фотона $\hbar \omega_{\text {н }}$ на два фотона $\hbar \omega_{1}$ и $\hbar \omega_{2}$, причем уравнение (126.5) выражает закон сохранения энереии для этого элементарного акта. Аналогично, генерация второй гармоники с квантовой точки зрения есъ процесс взаимодействия двух фотонов с энергией $\hbar \omega$ каждый, в результате которого рождается фотон $\hbar \omega_{2}$ с удвоенной частотой $\omega_{2}=2 \omega$. Точно так же можно интерпретировать генерацию третьей и высших гармоник, а также генерацию волн с суммарной и разностной частотами. Однако сейчас мы не будем входить в обсуждение всех этих вопросов, так как квантовые явления предполагается рассмотреть в пятом томе нашего курса.