Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Қогда волновая нормаль $\boldsymbol{N}$ параллельна одной из оптических осей второго рода, нормальные скорости обеих волн $v_{1}$ и $v_{2}$ совпадают между собой, а направления векторов $\boldsymbol{D}$ становятся неопределенными. Значит, в направлении оптической оси второго рода может распространяться плоская волна любой поляризации, причем скорость распространения не зависит от характера поляризации. В этом отношении рассматриваемый случай аналогичен распространению волн в изотропной среде. Однако, если кристалл двуосный, между ними имеется существенное различие. В изотропной среде направления векторов $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{E}$, а также $\boldsymbol{N}$ и $\boldsymbol{S}$ всегда совпадают. Для волны, распространяющейся вдоль оптической оси двуосного кристалла, положение меняется. В этом случае вектор $\boldsymbol{D}$ может принимать любое направление, перпендикулярное к $N$. Так как $N$ лежит в плоскости $Z X_{1}$ то одним из возможных направлений вектора $\boldsymbol{D}$ будет ось $Y$. Тогда и только тогда вектор $\boldsymbol{D}$ будет совпадать по направлению с вектором $\boldsymbol{E}$, а нормаль $N$ — с лучом $s$. Во всех остальных случаях направления луча и волновой нормали отличаются друг от друга. Придавая $\boldsymbol{D}$ всевозможные направления, перпендикулярные к оптической оси, получим бесчисленное множество направлений луча $s$. Направление вектора $s$ становится неопределенным, Докажем, что в рассматриваемом случае все лучи лежат на поверхности конуса. Для доказательства воспользуемся соотношением (81.27), которое справедливо при любом направлении волновой нормали. Так как волновая нормаль $\boldsymbol{N}$ направлена вдоль оптической оси, то $N_{y}=0$, и соотношение (81.27) принимает вид Отсюда Ввиду соотношения (81.3), $u(N s)=v=a_{y}$. Следовательно, Рассмотрим произвольную точку на луче $s$ с радиусом-вектором $\boldsymbol{r}(x, y, z)$. Очевидно, $x_{\alpha}=r s_{\alpha}$, и предыдущее соотношение переходит в Это однородное уравнение второго порядка представляет конус. Образующими конуса являются лучи, соответствующие волновой нормали $N$, параллельной одной из двух оптических осей второго рода. Конус (82.1) называется конусом внутренней конической рефракции. Волновая нормаль есть одна из образующих конуса (82.1). Это следует из того, что направлення $\boldsymbol{s}$ и $\boldsymbol{N}$ совпадают, когда вектор $D$ параллелен диэлектрической оси $Y$. по кругу. В самом деле, линия пересечения определяется системой уравнений (82.1) и (82.2), равносильной системе Определим угол раствора конуса внутренней конической рефракции, точнее — угол $\chi$, получающийся от пересечения этого конуса плоскостью $Z X$, проходящей через өптическую ось кристалла (рис. 290). Когда вектор $\boldsymbol{D}$ направлен вдоль диэлектрической оси $Y$, векторы $\boldsymbol{S}$ и $\boldsymbol{N}$, а также оптическая ось второго рода совпадают по направлению. Если же вектор $\boldsymbol{D}$ лежит в плоскости $Z X$, то в той же плоскости будет лежать и луч $s$, так как четыре вектора $E, D, s, N$ всегда должны лежать в одной плоскости (см. § 75). Искомый угол $\chi$ будет равен углу между векторами $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{E}$, поскольку стороны этих углов взаимно перпендикулярны. Его легко определить из формулы (75.8), так как в рассматриваемом случае нормальиая скорость $v$ равна $a_{y}$, Формула (75.8) дает Как видно из рис. $290, D_{x}=-D \cos \beta, D_{z}=D \sin \beta$, где $\beta-$ угол между оптической осью второго рода и осью $Z$. Поэтому Подставляя эти значения в выражение для $\cos \chi$, получим откуда Использовав формулу (80.17), после несложных преобразований найдем Конус внутренней конической рефракции пересекает лучевую поверхность по кругу, вдӧль которого ее касается фронт волны. Это непосредственно следует из теоремы, доказанной в § 81 (пункт 2). Проведем касательную плоскость к лучевой поверхности в точке $S$ пересечения ее с лучевой осью. Такая плоскость будет перпендикулярна к волновой нормали. А так как волновых нормалей, соответствующих лучу, направленному вдоль лучевой оси, бесконечно много, то в точке $S$ можно провести бесконечное множество касательных плоскостей к лучевой поверхности. Это означает, что в окрестности такой точки лучевая поверхность имеет воронкообразную форму. Каждому лучу, принадлежащему конусу внутренней конической рефракции, например лучу $O A$ (рис. 291), соответствует вполне определенная линейная поляризация, В самом деле, в направлении $O A$ могут распространяться два луча, өлектрические векторы которых взаимно перпендикулярны. Однако только один из них соответствует волне, распространяющейся вдоль волнсвой нормали ON. Другому. лучу соответствует лучевая скорость $O L$ и, следовательно, иное направление волновой нормали. Аналогично, каждой волновой нормали, принадлежащей конусу внешней конической рефракции, также соответствует гполне определенная линейная поляризация. направление бинормали $O N$ будут максимальны или минимальны. Пусть $B$ одна из таких точек. Тогда касательная плоскость $B N^{\prime}$ к лучевой поверхности в точке $B$ будет параллельна волновому фронту $A N$, т.е. перпендикулярна к бинормали $O N$, Значит, плоскость $B N^{\prime}$ сама является волновым фғонтом, распространяющимся в направлении бинормали $O N$. Таким образом, если бы волновой фронт $N A$ мог пересекать лучевую поверхность, то вдоль бинормали могли бы распространяться две волны с различными нормальными скоростями $v=O N$ и $v^{\prime}=O N^{\prime}$, что противоречит определению бинормали. Поскольку волновой фронт касается лучевой поверхности по кругу (в точках $A$ ), из доказанного следует, что лучевая поверхность целиком лежит с той стороны волновог о фронта $A N$, с которой находится ее центр $O$ (рис. 291), Значит, в точке $S$ лучевая поверхность имеет не просто воронкообразную форму, как было отмечено выше, но воронкообразное углубление. Хотя Гамильтон и предсказал коническую рефракцию, его объяснение неправильно. При более детальном изучении оказалось, что явление выглядит иначе, чем предсказывал Гамильтон. Применяя более узкие отверстия в экране, Поггендорф (1796-1877) нашел, что кольцо в действительности двойное. Объяснение было дано Фохтом (1850-1919). Гамильтон рассматривал строго плоскую волну, распространяющуюся в кристалле точно в направлении оптической оси. Физически это реализовать невозможно. Если бы даже можно было осветить отверстие $O$ строго плоской волной, то после прохождения через него волна перестала бы быть плоской из-за дифракции. Такая волна распадается на бесконечное множество плоских волн, направления распространения которых близки к направлению октической оси. Нельзя ограничиться рассмотрением поведения только одной волны, распространяющейся строго в направлении оптической оси. Это ясно уже из того, что на ее долю приходится исчезающе малая энергия, и физически ничего не изменится, если эту волну даже совсем удалить из волнового комплекса. Необходимо рассмотреть бесконечное множество плоских волн, волновые нормали которых группируются вблизи оптической оси. Это и было сделано Фохтом. Пересечем лучевую поверхность двумя параллельными плоскостями $P_{A} P_{B}$ и $A B$, перпендикулярными к плоскости рисунка и проходящими через центры окружностей $K$ и $k$. Бесконечно малые отрезки $P_{A} P_{B}$ и $P_{A}^{\prime} P_{B}^{\prime}$ перпендикулярны к окружности $K$, поэтому в направлениях этих отрезков кривизна лучевой поверхности будет максимальна, а в перпендикулярных направлениях равна нулю. Следовательно, перпендикуляры к этим бесконечно малым отрезкам должны лежать в плоскости $P_{A} P_{B}^{\prime}$, т. е. они будут параллельны волновым нормалям, лежащим в плоскости $A B$, Значит, касательная плоскость к лучевой поверхности в какой-либо точке отрезка $P_{A} P$ или отрезка $P_{A}^{\prime} P^{\prime}$ будет перпендикулярна к соответствующей волновой нормали, проходящей через отрезок $A N$. Қасательная же плоскость к лучевой поверхности в какой-либо точке отрезков $P P_{B}$ и $P^{\prime} P_{B}^{\prime}$ будет перпендикулярна к волновой нормали, проходящей через отрезок $N B$. Это означает, что каждой волновой нормали, проходящей через отрезок $A N$, соответствуют два луча, из которых один проходит через отрезок $P_{A} P$, а другой — через отрезок $P_{A}^{\prime} P^{\prime}$. Каждой же волновой нормали, проходящей через отрезок $N B$, соответствуют два луча, проходящие через отрезки $P P_{B}$ и $P^{\prime} P_{B}^{\prime}$. Таким образом, каждой волновой нормали, наклоненной под малым углом к оптической оси второго рода, соответствуют два луча, один из которых проходит внутри конуса внутренней конической рефракции, а другой вне этого конуса. Теперь ясно происхождение двойного светлого кольца Поггендорфа. Волновым нормалям, пересекающим плоскость рисунка внутри малого круга радиуса $d r$ с цен̈тром в $N$, соответствует малая доля энергии, которая должна распределиться по сравнительно большой площади $d S$ кольца по обе стороны от окружности $K$. Если же взять волновые нормали, пересекающие плоскость рисунка внутри кольца со средним радиусом $r$ и той же толщиной $d r$, то таким волновым нормалям будет соответствовать значительно бо́льшая энергия, поскольку она пропорциональна площади кольца $2 \pi r d r$. Эта энергия должна распределиться по площади двух колец, одно из которых лежит внутри, а другое вне окружности $K$. Площади обоих колец с точностью до бесконечно малых высшего порядка попрежнему равны $d S$. Поэтому освеценность обоих колец будет много больше освещенности центрального кольца в окрестности окружности $K$. Освещенность должна равняться нулю вдоль окружности $K$ и непрерывно возрастать по мере удаления от этой окружности как в наружную, так и во внутреннюю стороны. Таким образом, там, где по Гамильтону должна была бы получаться максимальная освещенность, в действительности наблюдается темнота.
|
1 |
Оглавление
|