1. Қогда волновая нормаль $\boldsymbol{N}$ параллельна одной из оптических осей второго рода, нормальные скорости обеих волн $v_{1}$ и $v_{2}$ совпадают между собой, а направления векторов $\boldsymbol{D}$ становятся неопределенными. Значит, в направлении оптической оси второго рода может распространяться плоская волна любой поляризации, причем скорость распространения не зависит от характера поляризации. В этом отношении рассматриваемый случай аналогичен распространению волн в изотропной среде. Однако, если кристалл двуосный, между ними имеется существенное различие.

В изотропной среде направления векторов $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{E}$, а также $\boldsymbol{N}$ и $\boldsymbol{S}$ всегда совпадают. Для волны, распространяющейся вдоль оптической оси двуосного кристалла, положение меняется. В этом случае вектор $\boldsymbol{D}$ может принимать любое направление, перпендикулярное к $N$. Так как $N$ лежит в плоскости $Z X_{1}$ то одним из возможных направлений вектора $\boldsymbol{D}$ будет ось $Y$. Тогда и только тогда вектор $\boldsymbol{D}$ будет совпадать по направлению с вектором $\boldsymbol{E}$, а нормаль $N$ — с лучом $s$. Во всех остальных случаях направления луча и волновой нормали отличаются друг от друга. Придавая $\boldsymbol{D}$ всевозможные направления, перпендикулярные к оптической оси, получим бесчисленное множество направлений луча $s$. Направление вектора $s$ становится неопределенным, Докажем, что в рассматриваемом случае все лучи лежат на поверхности конуса.

Для доказательства воспользуемся соотношением (81.27), которое справедливо при любом направлении волновой нормали. Так как волновая нормаль $\boldsymbol{N}$ направлена вдоль оптической оси, то $N_{y}=0$, и соотношение (81.27) принимает вид
\[
\frac{N_{x} s_{x}}{a_{x}^{2}-u^{2}}+\frac{N_{z} s_{z}}{a_{z}^{2}-u^{2}}=0 .
\]

Отсюда
\[
a_{z}^{2} N_{x} s_{x}+a_{x}^{2} N_{z} s_{z}=u^{2}(N s) .
\]

Ввиду соотношения (81.3), $u(N s)=v=a_{y}$. Следовательно,
\[
\left(a_{z}^{2} N_{x} s_{x}+a_{y}^{2} N_{z} s_{z}\right)\left(N_{x} s_{x}+N_{z} s_{z}\right)=a_{y}^{2} .
\]

Рассмотрим произвольную точку на луче $s$ с радиусом-вектором $\boldsymbol{r}(x, y, z)$. Очевидно, $x_{\alpha}=r s_{\alpha}$, и предыдущее соотношение переходит в
\[
\left(a_{z}^{2} N_{x} x+a_{y}^{2} N_{z} z\right)\left(N_{x} x+N_{z} z\right)=a_{y}^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) .
\]

Это однородное уравнение второго порядка представляет конус. Образующими конуса являются лучи, соответствующие волновой нормали $N$, параллельной одной из двух оптических осей второго рода. Конус (82.1) называется конусом внутренней конической рефракции. Волновая нормаль есть одна из образующих конуса (82.1). Это следует из того, что направлення $\boldsymbol{s}$ и $\boldsymbol{N}$ совпадают, когда вектор $D$ параллелен диэлектрической оси $Y$.
2. Конус внутренней конической рефракции пересекается фронтом волны
\[
N r \equiv N_{x} x+N_{z} z=a_{y}
\]

по кругу. В самом деле, линия пересечения определяется системой уравнений (82.1) и (82.2), равносильной системе
\[
\begin{aligned}
a_{z}^{2} N_{x} x+a_{y}^{2} N_{z} z & =a_{y}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right), \\
N r & =a_{y} .
\end{aligned}
\]
Рис. 290.
Первое уравнение есть уравнение сферы, второе — уравнение плоскости. Их пересечение есть круг, и наше утверждение доказано.

Определим угол раствора конуса внутренней конической рефракции, точнее — угол $\chi$, получающийся от пересечения этого конуса плоскостью $Z X$, проходящей через өптическую ось кристалла (рис. 290). Когда вектор $\boldsymbol{D}$ направлен вдоль диэлектрической оси $Y$, векторы $\boldsymbol{S}$ и $\boldsymbol{N}$, а также оптическая ось второго рода совпадают по направлению. Если же вектор $\boldsymbol{D}$ лежит в плоскости $Z X$, то в той же плоскости будет лежать и луч $s$, так как четыре вектора $E, D, s, N$ всегда должны лежать в одной плоскости (см. § 75). Искомый угол $\chi$ будет равен углу между векторами $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{E}$, поскольку стороны этих углов взаимно перпендикулярны. Его легко определить из формулы (75.8), так как в рассматриваемом случае нормальиая скорость $v$ равна $a_{y}$, Формула (75.8) дает
\[
\cos \chi=\frac{D}{E}\left(\frac{a_{y}}{c}\right)^{2} .
\]

Как видно из рис. $290, D_{x}=-D \cos \beta, D_{z}=D \sin \beta$, где $\beta-$ угол между оптической осью второго рода и осью $Z$. Поэтому
\[
E_{x}=\frac{D_{x}}{\varepsilon_{x}}=-\frac{D \cos \beta}{c^{2}} a_{x}^{\mathbf{s}}, \quad E_{z}=\frac{D_{z}}{\varepsilon_{z}}=\frac{D \sin \beta}{c^{2}} a_{z}^{2} .
\]

Подставляя эти значения в выражение для $\cos \chi$, получим
\[
\cos \chi=\frac{a_{y}^{2}}{\sqrt{a_{x}^{4} \cos ^{2} \beta+a_{z}^{4} \sin ^{2} \beta}},
\]

откуда
\[
\operatorname{tg} \chi=\frac{1}{a_{y}^{2}} \sqrt{a_{x}^{4} \cos ^{2} \beta+a_{z}^{4} \sin ^{2} \beta-a_{y}^{4}} .
\]

Использовав формулу (80.17), после несложных преобразований найдем
\[
\operatorname{tg} \chi=\frac{1}{a_{y}^{2}} \sqrt{\left(a_{x}^{2}-a_{y}^{2}\right)\left(a_{y}^{2}-a_{z}^{2}\right) .}
\]

Конус внутренней конической рефракции пересекает лучевую поверхность по кругу, вдӧль которого ее касается фронт волны. Это непосредственно следует из теоремы, доказанной в § 81 (пункт 2).
3. Теорема обращения распространяет полученные результаты на лучи. Если луч в двуосном кристалле направлен вдоль одной из оптических осей первого рода, то ему соответствует бесконечное множество волновых нормалей, образующих конус. Этот конус называется конусом внешней конической рефракции. Луч есть одна из образующих этого конуса. Сечение конуса внешней конической рефракции плоскостью, перпендикулярной лучу, есть круг. Угол раствора конуса определяется уравнением
\[
\operatorname{tg} \psi=a_{y}^{2} \sqrt{\left(\frac{1}{a_{x}^{2}}-\frac{1}{a_{y}^{2}}\right)\left(\frac{1}{a_{y}^{2}}-\frac{1}{a_{z}^{2}}\right)}=\frac{1}{a_{x} a_{z}} \sqrt{\left(a_{x}^{2}-a_{y}^{2}\right)\left(a_{y}^{2}-a_{z}^{2}\right)} .
\]

Проведем касательную плоскость к лучевой поверхности в точке $S$ пересечения ее с лучевой осью. Такая плоскость будет перпендикулярна к волновой нормали. А так как волновых нормалей, соответствующих лучу, направленному вдоль лучевой оси, бесконечно много, то в точке $S$ можно провести бесконечное множество касательных плоскостей к лучевой поверхности. Это означает, что в окрестности такой точки лучевая поверхность имеет воронкообразную форму.
На рис. 291 представлено сечение поверхности нормалей и лучевой поверхности плоскостью $Z X$. Точка $N$ есть двойная точка поверхности нормалей, ON — оптическая ось второго рода. Перпендикуляр NA к этой оси дает сеченне фронта волны плоскостью рисунка. Прямая $N A$ касается лучевой поверхности в точке $A$, угол $\chi=\angle N O A$ есть угол раствора конуса внутренней конической рефракции, $S$ — двойная точка лучевой поверхности, $O S$ — лучевая ось. Рис. 291. Касательная к лучевой поверхности в точке $S$ пересекает поверхность нормалей в точке $B$; прямая $O B$ будет одной из волновых нормалей, принадлежащих лучу $O S$, Сам луч $O S$ является нормалью плоской волны, которая касается кругового сечения лучевой поверхности $u=a_{y}$ в точке $S$, Угол $\boldsymbol{\Psi}=\angle S O B$ есть угол раствора конуса внешней конической рефракции,

Каждому лучу, принадлежащему конусу внутренней конической рефракции, например лучу $O A$ (рис. 291), соответствует вполне определенная линейная поляризация, В самом деле, в направлении $O A$ могут распространяться два луча, өлектрические векторы которых взаимно перпендикулярны. Однако только один из них соответствует волне, распространяющейся вдоль волнсвой нормали ON. Другому. лучу соответствует лучевая скорость $O L$ и, следовательно, иное направление волновой нормали. Аналогично, каждой волновой нормали, принадлежащей конусу внешней конической рефракции, также соответствует гполне определенная линейная поляризация.
4. Волновой фронт $A N$, распространяющийся в направлении оптической оси второго рода $O N$, как было показано, касается лучевой поверхности по кругу, вдоль которого эта поверхность пересекается конусом внутренней конической рефракции. Такой волновой фронт не может пересекать лучевую поверхность. В самом деле, пересечем лучевую поверхность плоскостью $A N O$, проходящей через оптическую ось $O N$ (рис. 292). В сечении получится кривая $С B A$. Если бы фронт $A N$ пересекал лучевую поверхность, то, ввиду конечности лучевой скорости, на кривой $C B A$ нашлись бы такие точки $B, C$, что проекции радиусоввекторов $O B, O C$ на направление $O N$ были бы минимальны или максимальны. Если плоскость $A N O$ проводить во всевозможных направлениях, проходящих через оптическую ось $O N$, то точки $B, C$ опишут замкнутые кривые. На этих кривых в свою очередь найдутся точки, проекции радиусов-векторов которых на
Рис. 292.
Рис. 293.

направление бинормали $O N$ будут максимальны или минимальны. Пусть $B$ одна из таких точек. Тогда касательная плоскость $B N^{\prime}$ к лучевой поверхности в точке $B$ будет параллельна волновому фронту $A N$, т.е. перпендикулярна к бинормали $O N$, Значит, плоскость $B N^{\prime}$ сама является волновым фғонтом, распространяющимся в направлении бинормали $O N$.

Таким образом, если бы волновой фронт $N A$ мог пересекать лучевую поверхность, то вдоль бинормали могли бы распространяться две волны с различными нормальными скоростями $v=O N$ и $v^{\prime}=O N^{\prime}$, что противоречит определению бинормали. Поскольку волновой фронт касается лучевой поверхности по кругу (в точках $A$ ), из доказанного следует, что лучевая поверхность целиком лежит с той стороны волновог о фронта $A N$, с которой находится ее центр $O$ (рис. 291), Значит, в точке $S$ лучевая поверхность имеет не просто воронкообразную форму, как было отмечено выше, но воронкообразное углубление.
5. После выяснения этих геометрических соотношений обратимся к рассмотрению внутренней конической рефракции, теоретически предсказанной Гамильтоном (1805-1865) в 1832 г. Примерный ход рассуждений Гамильтона был следующий. Пусть плоскопараллельная пластинка из двуосного кристалла прикрыта с одной стороны непрозрачным экраном с малым отверстием $O$ (рис. 293). Осветим пластинку параллельным пучком неполяризованных лучей таким образом, чтобы после преломления на передней поверхности пластинки волновая нормаль оказалась направленной вдоль одной из оптических осей второго рода OA. Волновой нормали $O A$ соответствует конус лучей, Энергия распространяется вдоль лучей, поэтому при достаточно малых размерах отверстия $O$ световой пучок внутри пластинки развернется в конус $O A B$. После преломления на задней поверхности пластинки волновая нормаль примет свое исходное направление. А так как в изотропных средах направления лучей и волновых нормалей совпадают, то все лучи выйдут из пластинки параллельным пучком и расположатся по поверхности цилиндра. Если на их пути поместить экран, то на нем должно получиться светлое кольцо. По предложению Гамильтона отысканием этого явления занялся Ллойд, который и обнаружил его в 1833 г. на кристалле арагонита: на экране наблюдалось светлое эллиптическое кольцо. (Угол $\chi$ для арагонита равен $1^{\circ} 52^{\prime}$.)

Хотя Гамильтон и предсказал коническую рефракцию, его объяснение неправильно. При более детальном изучении оказалось, что явление выглядит иначе, чем предсказывал Гамильтон. Применяя более узкие отверстия в экране, Поггендорф (1796-1877) нашел, что кольцо в действительности двойное. Объяснение было дано Фохтом (1850-1919). Гамильтон рассматривал строго плоскую волну, распространяющуюся в кристалле точно в направлении оптической оси. Физически это реализовать невозможно. Если бы даже можно было осветить отверстие $O$ строго плоской волной, то после прохождения через него волна перестала бы быть плоской из-за дифракции. Такая волна распадается на бесконечное множество плоских волн, направления распространения которых близки к направлению октической оси. Нельзя ограничиться рассмотрением поведения только одной волны, распространяющейся строго в направлении оптической оси. Это ясно уже из того, что на ее долю приходится исчезающе малая энергия, и физически ничего не изменится, если эту волну даже совсем удалить из волнового комплекса. Необходимо рассмотреть бесконечное множество плоских волн, волновые нормали которых группируются вблизи оптической оси. Это и было сделано Фохтом.
Если строго плоская волна распространяется в направлении оптической оси второго рода, то, как было показано, волновой фронт касается лучевой поверхности по кругу. Примем плоскость такого круга за плоскость рис. 294. Пусть $N$ точка пересечения плоскости рисунка с оптической осью. Допустим, что имеется бесконечная совокупность плоских волн, волновые нормали которых лежат в пределах небольшого конуса, ось которого совпадает с оптической осью. Этот конус пересе-
Рис. 294 кается плоскостью рисунка по кругу $k$. Қаждой волновой нормали соответствует точка внутри или на границе круга $k$. Найдем, где расположатся соответствующие ей лучи. Волновой нормали $N$ соответствует конус лучей, пересекающих плоскость рисунка по окружности $K$. Лучевая поверхность касается плоскости рисунка вдоль этой окружности, а поэтому кривизна лучевой поверхности в направлении окружности $K$ равна нулю. Кроме того, лучевая поверхность должна лежать по одну сторону от плоскости рисунка. Ради опре деленности примем, что все волны распространяются к читателю. Тогда лучевая поверхность будет лежать за плоскостью рисунка, и следовательно, ее окрестность вблизи окружности $K$ будет обращена к читателю своей выпуклостью. В такой окрестности лучевая поверхность имеет баранкообразную форму.

Пересечем лучевую поверхность двумя параллельными плоскостями $P_{A} P_{B}$ и $A B$, перпендикулярными к плоскости рисунка и проходящими через центры окружностей $K$ и $k$. Бесконечно малые отрезки $P_{A} P_{B}$ и $P_{A}^{\prime} P_{B}^{\prime}$ перпендикулярны к окружности $K$, поэтому в направлениях этих отрезков кривизна лучевой поверхности будет максимальна, а в перпендикулярных направлениях равна нулю. Следовательно, перпендикуляры к этим бесконечно малым отрезкам должны лежать в плоскости $P_{A} P_{B}^{\prime}$, т. е. они будут параллельны волновым нормалям, лежащим в плоскости $A B$, Значит, касательная плоскость к лучевой поверхности в какой-либо точке отрезка $P_{A} P$ или отрезка $P_{A}^{\prime} P^{\prime}$ будет перпендикулярна к соответствующей волновой нормали, проходящей через отрезок $A N$. Қасательная же плоскость к лучевой поверхности в какой-либо точке отрезков $P P_{B}$ и $P^{\prime} P_{B}^{\prime}$ будет перпендикулярна к волновой нормали, проходящей через отрезок $N B$. Это означает, что каждой волновой нормали, проходящей через отрезок $A N$, соответствуют два луча, из которых один проходит через отрезок $P_{A} P$, а другой — через отрезок $P_{A}^{\prime} P^{\prime}$. Каждой же волновой нормали, проходящей через отрезок $N B$, соответствуют два луча, проходящие через отрезки $P P_{B}$ и $P^{\prime} P_{B}^{\prime}$. Таким образом, каждой волновой нормали, наклоненной под малым углом к оптической оси второго рода, соответствуют два луча, один из которых проходит внутри конуса внутренней конической рефракции, а другой вне этого конуса.

Теперь ясно происхождение двойного светлого кольца Поггендорфа. Волновым нормалям, пересекающим плоскость рисунка внутри малого круга радиуса $d r$ с цен̈тром в $N$, соответствует малая доля энергии, которая должна распределиться по сравнительно большой площади $d S$ кольца по обе стороны от окружности $K$. Если же взять волновые нормали, пересекающие плоскость рисунка внутри кольца со средним радиусом $r$ и той же толщиной $d r$, то таким волновым нормалям будет соответствовать значительно бо́льшая энергия, поскольку она пропорциональна площади кольца $2 \pi r d r$. Эта энергия должна распределиться по площади двух колец, одно из которых лежит внутри, а другое вне окружности $K$. Площади обоих колец с точностью до бесконечно малых высшего порядка попрежнему равны $d S$. Поэтому освеценность обоих колец будет много больше освещенности центрального кольца в окрестности окружности $K$. Освещенность должна равняться нулю вдоль окружности $K$ и непрерывно возрастать по мере удаления от этой окружности как в наружную, так и во внутреннюю стороны. Таким образом, там, где по Гамильтону должна была бы получаться максимальная освещенность, в действительности наблюдается темнота.
6. Гамильтоном была предсказана еще внеиняя коническая рефракция, экспериментально обнаруженная также Ллойдом в 1833 г. Она связана с тем, что световому лучу, идущему вдоль лучевой оси двуосного кристалла, соответствует бесконечная совокупность волновых нормалей, лежащих на конической поверхности. Нет необходимости входить в теорию этого явления. Достаточно сослаться на теорему обращения и описать явление, как оно наблюдалось в установке Ллойда. Обе поверхности плоскопараллельной арагонитовой пластинки были покрыты экранами с малыми Рис. 295. отверстиями $O$ и $O^{\prime}$ (рис. 295), центры которых лежали на оптической оси первого рода. Линза $L$ концентрировала на $O$ сходящийся пучок лучей. Диафрагмы $O$ и $O^{\prime}$ выделяли только те лучи, которые шли вдоль оптической оси $O O^{\prime}$. По выходе из пластинки лучи развертывались в конус, и на экране Э наблюдалось светлое кольцо. Разумеется, при достаточно далых размерах отверстий $O$ и $O^{\prime}$ кольцо будет двойное.